点电荷周围的电势计算

点电荷周围电势分布的计算

无锡市第一中学 高帆 指导教师 沈志斌

电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。

一个点电荷+q 位于内半径为a ，外半径为b 的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E 和电势U 。

解：在球壳内表面产生感应电荷-q ，由于球壳原先不带

电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q 。

（1）电场强度

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()

(0)

(22a r r

q k b r a b r r q k E （2）电势

假设有一个很薄的导体球壳，半径为R ，带电量q ，则有：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=)()(R r r

q k R r R q k U 在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分：

I. 半径为b ，均匀带电+q 的薄球壳

II. 半径为a ，均匀带电-q 的薄球壳

III. 中心点电荷+q 。

那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量

叠加。

① 当r ≥b 时，r

q k r q k r q k

U +-+=； ② 当a ≤r ＜b 时，b

q k r q k r q k U +-+=； ③ 当0＜r ＜a 时，b q k a q k r q k U +-+=

即 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()

(a r b a r kq b r a b

q k b r r q k U

右边就是它的r-U 图像。我们看到，它是一条完整的曲线。

还可以用做功来解。 这里的电场满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()(0)

(22a r r

q k b r a b r r q k E

所以

① 距中心r(r ≥b)处的电势：

将带电量q ’的粒子从距中心r(r ≥b)处移动到无穷远处需做功

r q k q W U r qq k r qq k dr r qq k W b r b ===-=⋅=∞-∞

∞-⎰''0''2

② 距中心r(a ≤r

因为a~b 之间均等势， 所以b

q k U U b == ③ 距中心r(0

将带电量q ’的粒子从距中心r(0

∞---++=b b a a r W W W W ，

因为a~b 之间均等势，将这个带电粒子从a 移动到b 不需做功，所以

)111(')111(')0'(0)''('0'000220b a r kq q W U b

a r kqq W

b qq k a qq k r qq k W dr r

qq k dr r qq k W a a a b a

r a +-==+-=-++-=⋅++⋅=---∞-⎰⎰ 综上所述，⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()

(a r b a r kq b r a b

q k b r r q k U 【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】