第11章 Logistic回归分析

p ln 些 1 p 值都可以和在大于 0 小于 1 范围内的 P 值相对
p ln 应。统计学中，常把 1 p 称为 Logit 变换。
Logistic 回归方程：
p ln 1 p =
0 1 x1 n x n
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≥40岁
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MI 服OC 合计 21 47 未服OC 26
非MI 合计 17 59 76 38 85 123
MI 18 88
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非MI 合计 7 95 25 183 208
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= 17. 88 P〈0. 01
268
331
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40岁以上服用OC的比例远小于40岁以下组。
Mantel-Haenszel分层分析法
按年龄分层,可以得到下表:
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〈40岁
非条件Logistic回归
• Logistic回归分析在医学研究中应用广泛。
目前主要是用于流行病学研究中危险因素 的筛选，但它同时具有良好的判别和预测 功能，尤其是在资料类型不能满足Fisher判 别和Bayes判别的条件时，更显示出Logistic 回归判别的优势和效能。本研究对Logistic 回归方程的判别分析进行了探讨，并用一 实例介绍其应用。
非条件Logistic回归
• 研究者将所研究的问题转换一个角度，不
是直接分析y与x的关系，而是分析y取某个 值的概率P与x的关系。例如，令y为1，0变 量，y=1表示有病，y=0表示未患病；x是 与患病有关的危险因素。如果P表示患病的 概率，即P=prob（y=1），那么研究患病 的概率P与危险因素x的关系就不是很困难 的事情了。
建立的logistic 回归方程形式为： Logit P = -0.2478 + 1.3107 x X取值：1 使用过雌激素 0 未使用过雌激素
使用过雌激素的Logit 为： Logit P(x=1) = -0.2478 + 1.3107 = 1.063 即：Ln (p1/q1) = 1.063 所以，使用过雌激素的比值（odds) 为： p1/q1 = exp(1.063) =2.895
未使用过雌激素的Logit 为： Logit P(x=0) = -0.2478 + 0 = -0.2478 即：Ln (p0/q0) = -0.2478 所以，未使用过雌激素的比值（odds) 为： p0/q0 = (exp(-0.2478)) = 0.781 使用过雌激素相对于未使用过雌激素的比值比为： OR (odds ratio) = 2.895 / 0.781 = 3.709
非条件Logistic回归
• 医学研究中经常需要分析分类型变量的问题。比如，生存
与死亡、有病与无病、有效与无效、感染与未感染等二分 类变量。研究者关心的问题是，哪些因素导致了人群中有 些人患某种病而有些人不患某种病，哪些因素导致了某种 治疗方法出现治愈、显效、好转和无效等不同的效果等。 这类问题，实质上是一个回归问题，因变量就是上述提到 的这些分类型变量，自变量x是与之有关的一些因素。但 是，这样的问题却不能直接用线性回归分析方法解决，其 根本原因在于因变量是分类型变量，严重违背了线性回归 分析对数据的假设条件。那么应该怎样解决这个问题呢？
不同年龄组内服用避孕药的比例
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年龄
服OC
不服OC
合计
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〈40 ≥40
38(0.31) 25(0.12)
85 183
123 208
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合计
2
63
•
问题的提出
• 在流行病学研究中，经常遇到因变量为离散型分
类变量的情况。如治疗效果的无效好转、显效、 痊愈；不同染毒剂量下小白鼠的存活或死亡；在 某种暴露下的发病与不发病等。最常见的情况是 因变量为二分变量的问题。 多元线性回归的局限性 经典流行病学统计分析方法—分层分析的局限性
• •
1.两种主要的流行病学设计 1）病历对照研究 2）队列研究 2.判断结局（疾病）和暴露（因素）联系强弱的指标 1） 相对危险度：RR = p1 / p0 p1: 暴露于某个危险因素下发病的概率 p0: 不暴露于某个危险因素下发病的概率（对照） 2）比值比： OR = {P(D=1|E=1)/P(D=0|E=1)} / {P(D=1|E=0)/P(D=0|E=0)} D=1: 患某种疾病， D=0：不患某种疾病 E=1: 暴露于某个危险因素， E=0: 不暴露于某个危险因素 可以简单地表述成：OR = (p1 / q1) / (p0 / q0) p1 : 暴露于某个危险因素下发病的概率 q1 : 暴露于某个危险因素下不发病的概率 p0 : 不暴露于某个危险因素下发病的概率 q0 : 不暴露于某个危险因素下不发病的概率
非条件Logistic回归
• 分析因变量y取某个值的概率P与自变量x的关系，就是寻
找一个连续函数，使得当x变化时，它对应的函数值P不超 出[0，1]范围。数学上这样的函数是存在且不唯一的， Logistic回归模型就是满足这种要求的函数之一。与线性 回归分析相似，Logistic回归分析的基本原理就是利用一 组数据拟合一个Logistic回归模型，然后借助这个模型揭 示总体中若干个自变量与一个因变量取某个值的概率之间 的关系。具体地说，Logistic回归分析可以从统计意义上 估计出在其它自变量固定不变的情况下，每个自变量对因 变量取某个值的概率的数值影响大小。 Logistic回归模型有条件与非条件之分，前者适用于配对 病例对照资料的分析，后者适用于队列研究或非配对的病 例-对照研究成组资料的分析。
合计
a+c
b+d
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暴露者发病概率 p1 = a /(a+b); 不暴露者发病概率 p0= c/(c+d) OR= ad/(bc)
用发病概率来表示四格表，可以得到四格表的另外一种表示形式： 四格表的另外一种表达形式(1) ————————————————————————————
不暴露者发病概率: p0 = exp(α)/[1+ exp(α)] 不暴露者不发病概率: q0= 1- p0 = 1/[1+ exp(α)] ;
用发病概率来表示四格表，可以得到四格表的另外一种表示形式：
三、Logistic 回归和OR值间的关系
p ln 1 p = 1 x1
p X1 1 q X1 1
1 1

p 1 x1 e 1 p
e 1 x1 e 1 1 1 = e 1 x1 = e 1 0 =e
发病(y=1)
p1
不发病(y=0)
1- p1
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暴露(x=1)
不暴露(x=0)
p0
1- p0
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暴露者发病概率: p1 = exp(α + βx)/[1+ exp(α + βx)]
暴露者不发病概率: q0= 1- p1 = 1/ [1+ exp(α + βx)];
则，暴露对于不暴露的比值比(odds ratio)为： OR = exp(α + β ) / exp(α) = exp(β)
举例2
使用雌激素与子宫内膜癌病例对照研究
（病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》，P76）
以一个最简单的Logistic回归模型做为例子。
—————————————————————————— 使用过 未使用过 合计 —————————————————————————— 病例 55 128 183 对照 19 164 183 —————————————————————— 合计 74 293 366 ——————————————————————————
分层分析的局限性
只能控制少数因素（分层因素过多，
每个格子中的样本例数太少） 定量资料需要分组，信息丢失 不能对因素作用大小进行定量分析 （交互作用）
y
y = log2x
二、Logistic 回归原理
0
1
经过数理统计学家证明：把疾病概率 P 转换成
p ln 1 p ，会使该回归方程的统计性能更好一些。而且， p ln 在经过转换以后， 1 p 的值域为-∞到+∞，而且这
( 0 1 x1 n x n )
，
而且有：
e p ( 0 1 x1 n x n ) 1 e
Logistic 模型中系数的意义： 回归系数的流行病学意义是：在其它自变量都 不变的条件下，当因素X变化一个测量单位时所引起的 OR值自然对数的改变量。
第11章 Logistic回归分析
学习目标
• 了解Logistic回归模型的建立和假设检验； • 了解Logistic回归模型的应用领域； • 掌握Logistic回归模型系数的解释，及回归系数与
• • • • •
OR值之间的关系； 掌握Logistic回归过程步； 掌握哑变量的设置和结果的解释； 掌握多元Logistic回归模型的逐步过程法和系数的 解释； 了解条件Logistic回归的应用； 掌握条件Logistic回归的SAS程序；