两圆相切存在性问题解题策略应用举例

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两圆的公切线相切在画图中的应用人教四年制1

两圆的公切线相切在画图中的应用一. 本周教学内容6.14 两圆的公切线（2） 6.15 相切在画图中的应用二. 重点、难点了解两圆的外公切线的长相等，两圆的内公切线的长也相等的性质，了解两圆公切线长的求法。

公切线长公式[例1] 解：当连结O 1∵ A O 1∵ AB 当r R ≠AB A O ⊥1O O O 221>∴ O O 1[例2]∴ 222114)2(6)(6R R R R EF G O -=+-=+-==在G O O Rt 21∆中 22112R R R G O -=-= 221212R R R O O +=+= ∵ 2221221G O G O O O += ∴ 222222)4()2()2(R R R -+-=+ 即 01616222=+-R R∴ 3482-=R )(cm [例3] 如图，已知⊙O 与⊙线交⊙O 于D 。

求证：（1）DF F O =⋅'证明：（1∴ EF CF DF F O ⋅=⋅'（2）∵ A O ='∴ DB O BA O '∠='∠ ∴ D O F O B O '⋅'='2[例4] 如图，⊙O 1与⊙O 2211且FD 是⊙O 1的直径，延长FE 交BD 于点H 。

（2）解：连结DE 并延长交BC 于点G∵54=HB DH ∴ 不妨设k DH 4= k HB 5= ∴ k DB 9= ∵ DF 是⊙O 1的直径 ∴ HF DE ⊥ ︒=∠90DEH∵ BC EF // ∴ ︒=∠=∠90DEH DGB95==DB HB DG EG 而︒=∠60DBG ∴ ︒=∠30BDG ∴ 2992121kk BD BG ===k k k BG BD DG 239)29()9(2222=-=-= ∴ k k DG EG 2352399595=⨯==在BGE Rt ∆中，222239k EG BG BE =+= ∵ BD 是⊙O 1的切线∴ BA BE BD ⋅=2∴ BE BD AB 2= ∴ 2713813922222====kk BD BE BEBD BE AB BE ∴2714271311=-=-=AB BE AB AE [例5] 如图，⊙O 1与⊙O 2相交，大圆⊙O 1的弦21O O AB ⊥垂足是F 且交⊙2O 于点C ，D ，过B 作⊙2O 的切线E 为切点，已知DE BE =，m BD =，n BE =，AC 、CE 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两个根。

2022年高考数学必刷压轴题专题40圆的“双切线”问题含解析

专题40 圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 【典型题示例】例1 （2020·新课标Ⅰ·理科·11）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2d ==，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1 x 2+ y 1y 2=－2，则实数k 的取值范围为 . 【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞)12121212=cos =4cos 2x x y y OA OB OA OB AOB AOB +=⋅∠∠=-，则23AOB π∠=，在△PAC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4即满足题意.又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.由点到直线的距离公式得：2641k ≤+，解之得5522k k ≤-≥或所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞). 例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”. 设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-，故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-= 故PA PB ⋅ 的最小值为214.点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为．【答案】[－65，0]【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____．【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题. 【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝ x 2＋(－3)2－5，d 2＝ (x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝ x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和．当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2(r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________．7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△PAB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．【答案与提示】1.【答案】 [2314,22)【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化. 2．【答案】[1，5]【提示】∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题. 3.【答案】3(0,)3【分析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直，可知62OP b =，由题知OP a >，解得63b a >，又21b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可得出结果. 【解析】如图，设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点M N ，，由两条切线相互垂直，可知36=222OP b b ⨯=，又因为在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以OP a >，即得62b a >，所以63b a >，所以椭圆C 1的离心率22222631133c a b b e a a a ⎛⎫-⎛⎫===-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0e >，所以303e <<. 4.【答案】(][)+∞⋃,146,0 5.【答案】3(,)4+∞6.【答案】[2，+∞]【解析】如下图，设∠MPO ＝α，由切线的性质知∠NPO ＝α，PM ＝PN ，则PM →·PN →＝|PM →|·|PN →|·cos 2α＝|PN →|2(1－2sin 2α)＝23，即(PO 2－1)⎝⎛⎭⎪⎫1－2PO 2＝23，解得PO ＝3，故点P 的轨迹为x 2＋y 2＝3. 因为点P 在直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)上，所以直线l 与圆x 2＋y 2＝3有交点，即圆心到直线l 的距离为d ＝|－3|1＋a2≤3，解得a ≥ 2.7.【答案】12 8.【答案】[2,6]。

数学“存在性”问题的解题策略(含解答)-

数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且， 3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。

关于两圆相切的问题剖析与解题探究

关于两圆相切的问题剖析与解题探究作者：罗荣昭来源：《数学教学通讯·初中版》2021年第04期[摘要] 两圆相切是初中几何常见的位置关系，分析两圆的位置关系、计算圆心距、推导圆方程在中考试题中十分常见. 解题探究时要关注相切时圆心距与圆半径的关系，总结不同知识背景下的突破思路. 文章将深入剖析两圆相切，结合问题探讨解题策略，并提出相应的教学建议.[关键词] 圆;相切;函数;几何图形问题背景相切是几何中较为特殊的位置关系，两圆相切时圆心距等于两圆半径的和差. 对于以两圆相切为背景的综合题，探究时要充分利用圆心距与圆半径之和的关系，结合圆的几何性质构建模型. 在中考命题中关于两圆相切主要有两种形式：一是以函数为背景探究两圆相切;二是以几何图形为背景探究两圆相切. 针对不同类型的问题，需要掌握两圆相切的知识核心以及对应问题的解题策略，这也是教学探究的重点.问题剖析1. 函数背景中的两圆相切探究以函数为背景的两圆相切问题融合了函数知识，常结合坐标系综合构建模型，相切时圆心距与点坐标紧密相关，两点之间的距离公式是突破的核心方法. 对于较为复杂的图像，可提取其中的特殊图形，结合图形的特殊关系来简化解析. 其中的线段问题需要转化为距离问题，结合点坐标求出.例1：在图1所示的平面直角坐标系中，已知四边形OABC为等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，试回答下列问题.（1）试求经过O，B，C三点的二次函数解析式;（2）如果点P位于第四象限，且△POC与△AOB为相似关系，试写出所有满足条件的点P的坐标;（3）在（2）问条件成立下，如果⊙P与以OC为直径的圆相切，求出⊙P的方程.整体分析：（1）二次函数经过点O，B，C，可求出点坐标，使用待定系数法求解析式.（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则可推得OA=AB=BC，即△OAB为等腰三角形，若△POC与△AOB相似，则△POC必然也为等腰三角形，故存在两种情形：PO=PC和OC=CP，后续构建具体模型，结合相似性质逐步剖析即可.（3）该问在（2）问条件的基础上深入探究，已知⊙P与直径为OC长的圆相切，需根据点P坐标判断相切情形（内切或外切）;然后结合相切时圆心距与半径之间的关系可确定⊙P的半径;最后结合点P坐标即可求出⊙P的方程.过程探究：（1）四边形OABC为等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，则点O （0，0），B（6，2 ），C（8，0），可设二次函数解析式为y=ax（x-8），将点B坐标代入其中，解得a= - ，所以二次函数的解析式为y= - x2+ x.（2）因为tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，则∠CBA=∠BAO=120°. 因为OA=AB=BC=4，进而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC 与△AOB相似，则△POC也为等腰三角形.①当PO=PC时，如图2所示，则∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 过点P作x轴的垂线，设垂足为点D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，则DP=OD·tan∠POD= ，所以点P的坐标为4，- .②当OC=CP时，如图3所示，则∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同樣过点P作x 轴的垂线，设垂足为点D，已知OC=PC=8，则∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以点P的坐标为（12，-4 ）.综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为4，- 和（12，-4 ）.（3）①当点P坐标为4，- 时，如图4所示，由于点P位于⊙D内，故⊙D与⊙P只可能是内切关系，但存在“互包”两种情形. 则⊙D的半径应为CD±DP，即R=4± . 当⊙P位于⊙P内时，⊙P的半径为4+ ;当⊙D位于⊙P外时，⊙P的半径为4- . 所以⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2.②当点P坐标为（12，-4 ）时，如图5所示，此时⊙Q与⊙P有内切和外切两种情形，当两者外切时，⊙P的半径R=PQ-4=4 -4;当两者内切时，⊙P的半径R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程为（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.综上可知，⊙P的方程为（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.解后评析：上述第（3）问探究两圆相切时圆的方程，问题突破的难点有两个，一是两圆相切时的情形判断;二是不同相切情形下半径的计算方法. 即使是两圆内切时也可能存在两圆“互包”两种情形，采用数形结合可避免漏解，同时有助于利用圆心距推导圆的半径.2. 几何图形背景中的两圆相切探究几何图形背景中的两圆相切，其探究重点有两个：一是圆的相切关系，二是圆与其他图形的知识关系. 而其中的距离问题需要转化为线段问题，可结合勾股定理、相似关系和全等关系推导，也可结合三角函数进行计算.例2：已知，如图6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，点M在边BC上，且AB=12，BM=4，如果将△ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点D处，点O为AC 边上的一个动点，连接OB，以O圆心，OB为半径作⊙O，交线段AB于点B和点E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于点F，OF交线段AB于点G.（1）分别求点D到点B的距离，以及到直线AB的距离;（2）若点F平分劣弧BE，求此时线段AE的长度;（3）若△AOE为等腰三角形，以A为圆心的⊙A与此时的⊙O相切，求⊙A的半径.整体分析：（1）可设BD与AM的交点为N，则∠BNM=90°，BN=DN，通过解直角三角形可分别求距离.（2）求AE的長，需要求出BE的长，可先确定∠CAB的正弦值，然后设出BG=3m，OG=4m，构建关于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE长.（3）该问讨论两圆相切，可先求出△AOE为等腰三角形时⊙O的半径以及圆心距，然后讨论相切情形下⊙A的半径.过程探究：（1）简答，BD=2BN= ，点D到AB的距离为 .（2）过点D作AB的垂线，设垂足为H，如图7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，则sin∠CAB= .按照题意绘制如图8所示图像，其中点F平分弧BE，连接DF，与AB的交点设为G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可设BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半径”，然后讨论“两圆相切”.第一步，求△AOE为等腰三角形时⊙O的半径.由于△AOE为等腰三角形，则可能EO=EA，如图9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK 中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半径rO =OE=5n= ，圆心距d=OA= .第二步，讨论⊙A与⊙O的相切情形.⊙A与⊙O相切，有外切和内切两种情形.①如图10所示，若⊙A与⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;②如图11所示，若⊙A与⊙O内切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;综上可知，⊙A的半径为或20.解后评析：上述第（3）问探究几何图形背景中两圆的相切，结合相关知识推导两圆的圆心距及半径是重点，通常将距离问题转化为线段问题. 上述充分把握特殊三角形性质，利用直角三角形构建代数方程. 突破过程涉及了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、两圆相切的位置关系等知识，同时涉及数形结合、分类讨论思想，是知识与方法综合的典型代表.总结思考1. 关于两圆相切的解读归纳两圆相切是一种特殊的位置关系，通常有内切和外切两种情形，即对于半径长分别为R 和R 的两个圆，当两圆为外切关系时，圆心距d=R +R ;为内切关系时，d=R -R . 当一圆心位于另一圆内时，只能为内切关系，同时由于“互包”会出现两种情形. 实际上，“线段和差”是两圆相切的本质，故求线段和距离长是解析的关键. 在不同背景下可按照对应思路进行问题转化，如函数背景下可将“两点之间的距离”作为研究重点，而几何图形背景下可将“线段长”作为研究的重点.另外，在实际解题时有如下解题思路：思路一：结合动点的运动方式来表示相关线段长，重点是理解动点条件.思路二：利用几何性质来表示线段间的关系，重点是提取几何特性.思路三：根据相似或全等关系、勾股定理构建关于线段长的代数方程，重点是探索特性成立的条件.思路四：把握坐标系中的点坐标，结合两点之间的距离关系直接求线段长.2. 关于相切问题教学中的建议建议一：挖掘知识本质，开展知识归纳.两圆相切是一种特殊的位置关系，在探究教学中需要引导学生挖掘相切的知识本质，结合图像归纳相切的不同的情形，归纳圆心距与圆半径之间的关系. 虽然两圆相切的问题类型较为众多，但实则可归为函数与几何两大构建背景，探究教学要立足知识本质，把握求“线段”或“距离”这一本质内容，探索关联知识，串联知识体系.建议二：关注解题思想，形成解题策略.两圆相切问题中有两大难点：一是相切关系的多样性，二是问题转化解析多视角. 前者与图形位置关系相关，后者关系到解题思路的构建，问题突破过程常涉及分类讨论、数形结合、化归转化等思想方法. 教学中建议教师引导学生体验问题的突破过程，关注学生思维，合理渗透数学思想，充分探究审题突破的视角，形成相应的解题策略.。

两圆相切的判定及应用_吴远宏

数苑纵横辽宁省大连市三洋压缩机有限公司（１１６０３３）　吴远宏初中教科书在介绍圆和圆的位置关系时，给出了两圆相切的判定方法，即：设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ，圆心距为ｄ，若ｄ＝Ｒ＋ｒ，则两圆外切；若ｄ＝Ｒ－ｒ（Ｒ＞ｒ），则两圆内切．本文不妨统称为“圆心距法”．下面介绍另一种判定方法，这里统称为“公切线法”．一、两圆相切的判定１．两圆外切的判定　过两圆的公共点作其中一圆的切线，若这条切线也是另一圆的切线，且两圆的圆心在该切线的异侧，则两圆外切．图１已知，如图１，Ｐ是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的公共点，过点Ｐ作⊙Ｏ１的切线ＭＮ，而ＭＮ也是⊙Ｏ２的切线，且两圆的圆心Ｏ１和Ｏ２在ＭＮ的异侧．求证：⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于点Ｐ．证明　连结Ｏ１Ｐ和Ｏ２Ｐ，∵　ＭＮ是⊙Ｏ１的切线，∴　Ｏ１Ｐ⊥ＭＮ，即∠Ｏ１ＰＭ＝９０°，而ＭＮ也是⊙Ｏ２的切线，同理∠Ｏ２ＰＭ＝９０°，∴　∠Ｏ１ＰＭ＋∠Ｏ２ＰＭ＝１８０°，∴　Ｏ１、Ｐ、Ｏ２三点共线，∴　Ｏ１Ｏ２＝Ｏ１Ｐ＋Ｏ２Ｐ，显然Ｏ１Ｐ与Ｏ２Ｐ分别是⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的半径，由“圆心距法”可知⊙Ｏ１与⊙Ｏ２外切于点Ｐ．２．两圆内切的判定　过两圆的公共点作其中一圆的切线，若这条切线也是另一圆的切线，且两圆的圆心在该切线的同侧，则两圆内切．证明　略，与图１的证明类似．二、应用举例例１　如图２，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的ＡＢ和ＡＣ反向延长线上的点，且ＤＥ∥ＢＣ，求图２证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．证明　过点Ａ作⊙ＡＢＣ的切线ＭＮ，则∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＮ＝∠ＥＡＭ，∵　ＤＥ∥ＢＣ，∴　∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，∴　∠ＥＡＭ＝∠ＡＤＥ，∴　ＭＮ是⊙ＡＤＥ的切线（弦切角定理的逆定理），显然⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ的圆心在ＭＮ的异侧，由“公切线法”可知⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．图３例２　如图３，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ和ＡＣ上的点，且ＤＥ∥ＢＣ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．证明　略，与例１的证明类似．注　图３中Ｄ、Ｅ点在ＡＢ和ＡＣ的延长线上，其它条件不变结论仍成立．图４例３　图４中Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点，且∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．证明　过点Ａ作⊙ＡＢＣ的切线ＭＮ，设⊙ＡＤＥ交ＡＢ于点Ｆ，连结ＤＦ，则∠ＡＥＣ＝∠ＡＦＤ，（下转第２２页）重庆市合川太和中学（４０１５５５）　袁安全贵刊２０１０年３月（下）刊登了文［１］．其中有如下两个推广问题：图１推广１　如图１，Ｐ是⊙Ｏ中的弦ＡＢ上的任意一点，过Ｐ点任作两弦ＣＤ和ＥＦ，ＣＥ、ＤＦ分别交ＡＢ于点Ｍ、Ｎ，ＦＣ和ＥＤ的延长线分别交直线ＡＢ于点Ｍ′、Ｎ′．则１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．参考文献利用了一个已证的关系式证明的．本文笔者从分析结论入手，利用面积关系以及相似三角形性质，给出如下巧妙简单自然的证明．分析　欲证　１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′，即证　１ＰＡ－１ＰＭ′＝１ＰＢ－１ＰＮ′，亦证　ＡＭ′ＰＡ·ＰＭ′＝ＢＮ′ＰＢ·ＰＮ′，需证　ＡＭ′ＰＭ′·ＰＮ′ＢＮ′＝ＰＡＰＢ．上式可用面积关系及相似三角形证得．证明　如图１所示．连接ＡＣ、ＡＥ、ＢＤ、ＢＦ．则ＡＭ′ＰＭ′·ＰＮ′ＢＮ′＝Ｓ△ＡＣＥＳ△ＰＥＣ·Ｓ△ＰＤＦＳ△ＢＤＦ＝Ｓ△ＡＣＥＳ△ＢＤＦ·Ｓ△ＰＤＦＳ△ＰＣＥ＝ＡＣ·ＡＥ·ＣＥＢＤ·ＢＦ·ＤＦ·ＤＦ（）ＣＥ２＝ＡＣＢＤ·ＡＥＢＦ·ＤＥＰＥ＝ＰＡＰＤ·ＰＥＰＢ·ＰＤＰＥ＝ＰＡＰＢ．所以　１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．由坎迪定理知１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′－１ＰＮ′．图２推广２　如图２，Ｐ是⊙Ｏ中的弦ＡＢ上的任意一点，过Ｐ点作两弦ＣＤ和ＥＦ，ＣＥ、ＤＦ分别交ＡＢ于点Ｍ、Ｎ，ＦＣ和ＤＥ的延长线分别交ＢＡ的延长线于点Ｍ′、Ｎ′．则１ＰＭ－１ＰＮ＝１ＰＡ－１ＰＢ＝１ＰＭ′＋１ＰＮ′．注　此推广的证明方法与推广１的证明方法完全一致，请读者自己完成证明．参考文献［１］吴远宏．一道课外练习题的推广及联想［Ｊ］．中学生数学（下），２０１０，３．（责审　周春荔檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪）（上接第２１页）∵　∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，∴　△ＡＥＣ∽△ＡＦＤ，∴　∠ＡＣＥ＝∠ＡＤＦ，而ＭＮ是⊙ＡＢＣ的切线，∴　∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＝∠ＭＡＢ，∴　∠ＡＤＦ＝∠ＭＡＢ，因此ＭＮ是⊙ＡＤＥ的切线（弦切角定理的逆定理），显然⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ的圆心在ＭＮ的同侧，由“公切线法”可知⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ内切于点Ａ．图５例４　如图５，Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ延长线上两点，且∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＦ，求证：⊙ＡＢＣ和⊙ＡＤＥ外切于点Ａ．证明　略，与例３的证明类似．（责审　周春荔）。

如何利用圆的相切性质解决问题

如何利用圆的相切性质解决问题关键信息项1、圆的相切性质的定义及分类：直线与圆相切圆与圆相切2、利用圆的相切性质解决几何问题的方法：求线段长度求角度大小证明几何关系3、利用圆的相切性质解决实际问题的案例：工程中的应用数学建模中的应用11 圆的相切性质的定义圆的相切是指直线或圆与圆之间只有一个公共点的位置关系。

111 直线与圆相切当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。

此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。

112 圆与圆相切分为内切和外切两种情况。

两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差；两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和。

12 利用圆的相切性质解决几何问题的方法121 求线段长度通过构建与圆相切的图形，利用圆的半径、圆心到切点的距离以及相关线段之间的关系，可以求解线段的长度。

例如，在一个直角三角形中，如果一条直角边是圆的半径，斜边是圆心到切点的距离，那么可以利用勾股定理求出另一条直角边的长度。

122 求角度大小利用圆的切线与经过切点的半径垂直这一性质，可以得到直角，从而求解相关角度。

或者通过两圆相切时圆心角与圆周角的关系来求角度大小。

123 证明几何关系证明线段相等、平行、垂直等关系时，可以借助圆的相切性质构建辅助线，创造条件进行证明。

13 利用圆的相切性质解决实际问题的案例131 工程中的应用在机械制造中，零件的设计和加工常常需要用到圆的相切性质。

例如，齿轮的齿廓曲线就是基于圆的相切原理设计的，以保证齿轮的平稳传动。

132 数学建模中的应用在优化问题中，如确定最优路径、最小面积等，可以通过构建圆相切的模型来求解。

例如，要在一个区域内铺设管道，使管道长度最短，可以利用圆的相切性质找到最优解。

21 具体解题示例假设存在一个圆 O，半径为 r，直线 l 与圆 O 相切于点 A，连接 OA。

已知 OA 的长度为 5，圆 O 的半径 r 为 3，求直线 l 上一点 B 到圆心 O的距离。

因为直线 l 与圆 O 相切，所以 OA 垂直于直线 l。

【中考冲刺】九年级春季班-第14讲：两圆相切的存在性问题-学生版

九年级下学期春季班（学生版）最新讲义1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y =-+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲例题解析ABCOxy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．xyABCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P e 与以OC 为直径的D e 相切，请直接写出P e 的半径．DBAC OP【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =g ，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P e 和以CD 为半径的C e 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =g g 时，求扇形OAB 的半径长．1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况． 2、两圆相切本质：线段的和差； 3、解题思路：（1）根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；（2）利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；（3）根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；（4）求出方程的解，并根据题意进行取舍．模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题知识精讲ABCDMP【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =g ；（2）如果以AD 为半径的A e 与以BP 为半径的B e 相切，求线段BP 的长度．例题解析ABCEF【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E e 与边AC○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．ABCD PQ【习题1】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，4sin 5C，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ ⊥CD ．设DP = x ，若以点B 为圆心、BQ 为半径的B e 与以点C 为圆心、CP 为半径的C e 相切，求线段DP 的长．随堂检测【习题2】如图1，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，∠BPE = ∠CPD ．（1）如图2，当点E 与点A 重合时，求∠DPC 的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的B e 和以AD 为直径的O e 相切，求BP 的长．ABCDPA （E ） BCD图1图211 / 13【习题3】如图，在梯形ABCD 中，∠ABC = 90°，AD // BC ，AB = 8，BC = 18，4sin 5BCD ∠=，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果P e 的半径为6，Q e 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时P e 与Q e 外离、外切、相交？ABCDPQ12 / 13ABCD PH【作业1】如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，25sin BCD ∠=，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ．（1）求证：∠BCD = ∠BDC ；（2）如图，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长．课后作业13/ 13AB COP【作业2】如图，Rt ABC∆中，∠ACB = 90°，AC = 4厘米，BC = 3厘米，Oe为ABC∆的内切圆．（1）求Oe的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若Pe与Oe相切，求t的值．。

直线与圆的位置关系常见问题及求解策略

数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年1月直线垢圆痕置和常见间题及求解获■郭兴甫直线与圆的位置关系是高中数学的重要内二、考查圆的切线相关问题容，是平面解析几何的基础，也是高考命题的热点。

下面举例说明直线与圆的位置关系常见问题及求解策略，以期对同学们的学习有所帮助。

—、根据直线与圆的位置关系求参数例1在平面直角坐标系^Oy中，直线x+y+32=0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,—1)。

(1)求圆C的方程。

(2)设直线y=kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围。

(3)设直线y=x+m与圆C交于M,N 两点，且OM丄ON，求m的值。

解：(1)由直线x+y+32=0与圆C 相切，且圆心C的坐标为(1,—1),可得圆CI1一1Q py的半径厂=\=3,则圆C的方程V2为(x—1)+(y+1)=9。

()由直线y=kx+2与圆C没有公共点，可得点C(1,—1)到直线的距离k-k++〉3,解得0V k<3,所以k的取k+14值范围为(0,3)!y=x+m,x—1)2+y+1)2=9,可得2x2+2mx+m2+2m—7=0。

由△4m2—8(m2+2m—7)>0,解得—2—32V m<—2+3J2。

设点M(x〕，y1),N(x2,.m2+2m—7y2),贝U x1+x2= —m,x〕x2=-------------------------。

因为O1M丄ON,所以k OM•k ON=—1,可得x1x2+y1y2=0,艮卩x1x2+(x1+m)(x2+ m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,所以m2+2m—7=0,解得m=—1±22。

评注：本题考查了直线与圆位置关系的应用，合理转化、细心计算是解题关键。

例2已知点P(2+1,2—2),点M(3,1),圆C：(x—1)2+(y—2)2=4。

(1)求过点P的圆C的切线方程。

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。

解:(1)由题意得圆心C(1,2),半径r= 2。

聚焦圆中的两解问题

聚焦圆中的双解问题陈国玉（甘肃省武威第十中学 733000）圆中的双解题常常出现在两圆相交、两圆相切、弦所对的圆周角等几种情况中，通常不出现图形。

解这种题时要根据题意，先画出图形可能出现的情况，再根据图形求出解。

下面举例加以就明：一、两圆相交时例1：已知相交两圆的半径分别是4cm 和5cm, 公共弦长是6cm ，求这两圆的圆心距。

点拨：根据题意画出如图1、图2所示的两个图形。

因为相交两圆的连心线垂直平分它们的公共弦,所以在图1中，圆心距O 1O 2是弦心距O 1C 和O 2C 的和；在图2中，圆心距O 1O 2是弦心距O 2C 和O 1C 的差.以此为切入点,根据勾股定理就可求出两条弦心距O 1C 和O 2C 的长,从而求出O 1O 2的长.解：如图1：AB 是⊙O 1和⊙O 2的公共弦，连结O 1O 2交AB 于C 点，则O 1O 2垂直平分AB ；再连结O 1A ，O 2A在Rt ⊿AO 1C 中O 1在Rt ⊿AO 2C 中O 2∴O 1O 2=O 1C ＋O 2如图2：连结O 2O 1并延长交于AB 于C 点，再连结O 1A ，O 2A则O 1O 2= O 2C －O 1C = 4或4二、两圆相切时例2：已知两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径是2，求另一圆的半径。

解析：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1和⊙O 2外切时（如图1）⊙O 1的半径是：O 1C=O 1O 2－O 2C=7－2=5当⊙O 1和⊙O 2内切时（如图2）⊙O 1的半径是：O 1C=O 1O 2＋O 2C=7＋2=9所以另一圆的半径是5或9三、弦所对的圆周角例3：一条弦将圆周分成1：2两部分，求这条弦所对的圆周角。

解析：如图弦AB 所对的弧有优弧 ACB 和劣弧AB ，所以弦AB 所对的圆周角有两个即∠ADB 和∠ACB 。

根据题意得：∠ADB=12×23×3600×=1200，∠ACB=12×13×3600=600所以这条弦所对的圆周角是1200或600四、两平行弦之间的距离例4：在半径是5cm 的⊙O 中，弦AB=8cm ，CD=6cm ，且AB ∥CD ，求这两条弦之间的距离.点拨：根据题意画出如图1、图2所示的两个图形。

初中数学圆中常见的两解及多解问题

初中数学圆中常见的两解及多解问题摘要：随着我国的素质教育的改革力度不断加强下，其中初中数学的教学中，为了养成学生们正确的解题思路和思考模式，是提高学生的思维能力，促进学生们探索和创新能力的重要途径。

在初中数学中，鉴于圆的特殊性质,所以有关圆的问题常常会出现两解甚至多解问题。

教师可以引导学生们加以辩证的思维角度的分析此类问题，将便于他们今后的学习过程中遇到的各种各样问题，进一步培养学生发展自己的思维能力和创新能力。

关键词：平面几何，初中数学，多解问题，思维能力同其他平面图形一样，圆形是一个对称图形，在大家的日常生活中到处都能见到。

教师引导学生理解并掌握圆形的性质，一定要采用较为科学的教学手法。

教师可以根据圆形图形的特殊性质来引导学生们从不同的角度去观察圆形，从而找到一个教学突破口，让学生能够不光带着兴趣和热情投入学习，还可以在学习中真正理解圆的特殊。

教师需要从圆的两解和多解问题题型的角度出发，引导学生找到正确解题方法和思路，从而为学生提供有趣，形象的数学课堂教学。

一、圆的概述1.1圆的定义在一个平面内，一条线段上一动点以另一个定点为中心，旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆形的长度，是圆的周长，。

圆是平面上的一条封闭曲线，而曲线上的每一个点到圆中心的距离都是相等的。

通过圆心、半径以及圆周率三方面的相互联系来进行对圆周长。

面积等的计算，圆内最中心的一点被便是圆心，圆心与圆曲线中任意一点的连接线段又被称为半径，在圆曲线上的两点经过圆心相互连接的是直线则被称为直径，圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆周率属于一个无限不循环小数，通常用字母π（读作“派”）来表示。

1.2圆的两解与多解圆的知识涉及范围较广，其在初中数学阶段也占据了较多的学习比例，而不管是圆的两解还是多解都离不开圆本身的概念，老师只有将圆内包含的所有因素的概念全部让学生了解清楚，不光要了解定义，还需要了解其生成原理以及其它各个方面的数据。

这样才能够使学生遇到圆的两解以及多解等题型的时候，首先将其进行一定程度上的剖析，然后在通过相关的理论将其更好的解答出来，从而达到提高学生解题准确率的目的。

第14讲：两圆相切的存在性问题-教师版

1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A 、B 两点间的距离公式为：221212()()AB x x y y =-+-．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．两圆相切的存在性问题知识结构模块一：以函数为背景的两圆相切问题知识精讲A BCO xy【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =--与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中点A 的坐标为（3-，0），点D 在线段AB 上，AD = AC ．如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径．【答案】见解析．【解析】∵抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴2(3)2(3)40a a ----=，解得：415a =． ∴所求抛物线的关系式为：24841515y x x =--． ∴抛物线的对称轴是直线1x =．当0x =时，4y =-，即得C （0，-4）．又由A （-3，0），得22(30)(04)5AC =--++=． ∴AD = AC = 5．又由A （-3，0），得D （2，0）， ∴22(20)(04)25CD =-++=．又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ． ∵圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．即得：253r =+．解得：253r =-． ∴圆C 的半径长为253-．【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．例题解析xyA BCO 【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，其中OA = AB = BC = 4，tan 3BCO ∠=．（1）若点P 在第四象限，且POC ∆与AOB ∆相似，求满足条件的所有点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若P 与以OC 为直径的D 相切，请直接写出P 的半径．【答案】见解析．【解析】（1）∵tan ∠BCO=3，∴∠AOC =∠BCO = 60°， ∵等腰梯形OABC ， ∴AB // CO ，∴∠CBA= 120° =∠BAO = 120°．在OAB ∆中，∵OA = AB = BC = 4， ∴∠OBA=∠BOA = 30°，OC = 8．要使POC ∆∽AOB ∆，则POC ∆必为等腰三角形，存在两种情况．○1如图1，当PO = PC 时，则∠OPC = 120°． ∴∠POC =∠PCO = 30°，∴P （4，43-）．○2如图2，当OC = CP 时，则∠OCP =120°． ∴∠COP =∠CPO =30°， ∵OC = PC = 8， ∴∠PCD = 60°， ∴PD = 43，CD = 4， ∴P （12，43-），综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为（4，43-）或（12，43-）； ABCDOPx yABC O Pxy图1 图2（2）P 的半径4±和4．如图1，∵PD∴P 的半径为4或4．如图2，取OC 中点Q ，作QM OP ⊥．∵∠POC = 30°，∴11224QM OQ OC ===，OM =∵P （12，-，∴OP =∴PM OP OM =-=∴PQ =，∴P 的半径为4或4．综上，P 的半径为4或4或4或4．【总结】本题主要考查平面直角坐标系背景下的相似问题及相切问题，注意进行分类讨论，并对相应的解题方法进行归纳整理．【例3】如图，线段P A = 1，点D 是线段P A 延长线上的点，AD = a （a > 1），点O 是线段AP 延长线上的点，2OA OP OD =，以O 圆心，OA 为半径作扇形OAB ，90BOA ∠=︒，点C 是弧AB 上的点，联结PC 、DC ．（1）联结BD 交弧AB 于E ，当a = 2时，求BE 的长；（2）当以PC 为半径的P 和以CD 为半径的C 相切时，求a 的值；（3）当直线DC 经过点B ，且满足PC OA BC OP =时，求扇形OAB 的半径长．【答案】见解析．【解析】（1）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ．设OA x =，则1OP x =-，OD x a =+； ∵2OA OP OD =⋅，即2(1)()x x x a =-+，解得：1ax a =-； ∴1a OA a =-，11OP a =-，21a OD a =-；当2a =时，可得：2OA =，4OD =，∴25BD =；易得BOF ∆∽BDO ∆，∴BF OB OB OD=，又2OB OA ==，∴255BF =，∴455BE =．（2）当点C 与点A 重合时，CD ADa PC PA==．当点C 与点A 不重合时，联结OC ， ∵OC OA =，∴2OC OP OD =⋅；即OP OCOC OD=，又COP DOC ∠=∠， ∴OCP ∆∽ODC ∆，∴CD ODa PC OC==， ∴CD aPC =；又1a >，∴CD PC >；∵⊙P 和⊙C 相切，PC 是圆心距， ∴⊙P 和⊙C 相只能内切； ∴CD PC PC -=；即aPC PC PC -=；解得：2a =．DBAC OP E F（3）联结BP 、OC ．∵OCP ∆∽ODC ∆，∴OCP D ∠=∠； ∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠； ∵90D OBC ∠+∠=︒，∴90OCP OCB ∠+∠=︒，即90BCP ∠=︒． ∵PC OA BC OP ⋅=⋅，OA OB =， ∴PC OPBC OB=；又90BOP BCP ∠=∠=︒， ∴BOP ∆∽BCP ∆； ∴1OB BPCB BP==； ∴CB OB =， ∴CB OB OC ==； ∴OBC ∆是等边三角形， ∴60OBC ∠=︒；在Rt BOD ∆中，90BOD ∠=︒，tan ODDOB a OB∠==，即tan 60a =︒1a OA a ==-即扇形OAB ．【总结】本题主要考查扇形背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转变为数量关系进行计算，另外第（3）问中注意对所给出的条件进行分析，从而找出相似的三角形进行求解．1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R 和2R ，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12d R R ⇔>+；两圆外切12d R R ⇔=+；两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+；两圆内切120d R R ⇔<=-；两圆内含120d R R ⇔≤<-．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；（2）利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；（3）根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；（4）求出方程的解，并根据题意进行取舍．模块二：以几何图形为背景的两圆相切问题知识精讲【例4】如图，已知：在ABC ∆中，射线AM // BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD交射线AM 于点D ，联结CD ．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．（1）求证：2AP AD BP =；（2）如果以AD 为半径的A 与以BP 为半径的B 相切，求线段BP 的长度．【答案】见解析．【解析】（1）∵AM // BC ，∴∠P AD =∠APB ． ∵∠APD =∠B ，∴APD ∆∽PBA ∆． ∴BPAPAP AD =．∴2AP AD BP =．（2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵∠B = 60°，AB = 4，∴BH = 2，32=AH ．设BP = x ，那么2-=x PH ．∴164)32()2(2222+-=+-=x x x AP ．∴xx x BP AP AD 16422+-==．（i ）当A 与B 外切时，AB AD BP =+．即41642=++-x xx x ．整理，得：0842=+-x x ，∵08442<⨯-=∆，∴此方程无实数解．（ii ）当A 与B 内切时，AB AD BP =-．即24164-x x x x-+=．当41642=-+-x xx x 时，解得x = 2；当41642=+--xx x x ，此方程无解．综上所述，如果两圆相切，那么BP = 2．【总结】本题比较基础，主要考查几何背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转化为相应的数量关系，并进行分类讨论．例题解析ABCDMPHABCE F【例5】如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，点E 、F 分别在边BC 、AC 上（点F不与点A 、C 重合），EF // AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC = x ．（1）求∠B 的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE 、DF 分别交AB 于M 、N ，若MN = y ，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E 为圆心，BE 为半径的E 与边AC ，○1有公共点时，求x 的取值范围； ②一个公共点时，求x 的取值范围；○3个公共点时，求x 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）如图1，作AH BC ⊥垂足为H ．∵10AB AC ==，12BC =， ∴6BH CH ==． ∴228AH AB BH =-=， ∴ 63cot 84BH B AH ∠===．（2）∵EF // AB ， ∴EC CFBC CA=， ∴65EC x =，∴6125BE x =-．∵CEF DEF ∠=∠，EF // AB ，∴BM E DEF ∠=∠，CEF B ∠=∠，∴BME B ∠=∠，∴6125ME BE x ==-，∴12125DM DE ME x =-=-． ∵EF // MN ，∴DM MN DE EF ==1212565x y x x -=． ∴210y x =-(510)x <<．（3）①当55018x <<或50109x <<时，E 与边AC 没有公共点； ②当509x =或55518x ≤<时，E 与边AC 有一个公共点； ③5059x ≤<时，E 与边AC 有两个公共点．【总结】本题主要考查几何图形背景下的锐角三角比及相似的综合，第（3）问中，主要从临界点区分即可，由于是圆与边的交点个数，因此要从多个角度考虑．ABCH 图1A BCDE FNM图2【习题1】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，4sin 5C =，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ ⊥CD ．设DP = x ，若以点B 为圆心、BQ 为半径的B 与以点C 为圆心、CP 为半径的C 相切，求线段DP 的长．【答案】见解析．【解析】延长BA 、CD 相交于点S ，由题意条件，易得BC =12．∵AD // BC 且BC = 12，∴AD =12BC ， ∴12SA SD AD SB SC BC ===，∴SD = DC = 10，SA = AB = 8． ∵DP = x ，∴SP = x +10．由SPQ ∆∽SAD ∆，得：54SQ SD SP SA ==．∴5(10)4SQ x =+，∴55716(10)442BQ x x =-+=-+．当B 与C 相切时，有三种情况：（∽）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，只有可能两圆外切，由BQ +CP = BC ，57101242x x -++-=，解得：23x =；（∽）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，两圆不可能相切；（∽）当点P 在线段DC 的延长线上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，此时5742BQ x =-, CP = x -10，若两圆外切，BQ +CP = BC ，即57101242x x -+-=，解得：343x =；若两圆内切，BQ CP BC -=，即57(10)1242x x ---=；由57(10)1242x x ---=，解得：22x =；由57(10)1242x x ---=-，解得：74x =-．综上所述，B 与C 相切时，线段DP 的长为23或343或22．【总结】本题主要考查梯形背景下的两圆相切问题，本题综合性较强，要从多个角度考虑问题，首先要分析动点的位置，其次相切问题下要分为内切和外切两种情况进行讨论．随堂检测A BCD PQ S【习题2】如图1，已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点E ，∠BPE = ∠CPD ．（1）如图2，当点E 与点A 重合时，求∠DPC 的正切值；（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设以BE 长为半径的B 和以AD 为直径的O 相切，求BP 的长．【答案】见解析．【解析】（1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ．由题意得，3AH DC ==．在 Rt APH ∆中，∵cot 1B =，∴3BH =，32AB =．由5BC =，可得2CH =．易证AHP ∆≌DCP ∆． ∴1HP CP ==， ∴tan 3DPC ∠=．（2）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．在 Rt ∽EBG 中，22BG EG y ==， ∴22PG x y =-． ∵BPE CPD ∠=∠， ∴tan tan BPE CPD ∠=∠．可得232522yx x y=--，解得：328xy x=-． x 的取值范围为04x <≤．ABCDPA （E ） BCD图1图2PABCD H PA BCDG E（3）联结BO ，过点O 作OQ BC ⊥，垂足为点Q ．在Rt OBQ ∆中，得5BO =．○1B 和O 外切时，BE AO BO +=，即15y +=，将328x y x=-代入上式，得分式方程3248xx=-，解得：48264x =-；经检验，48264x =-是方程的根且符合题意． ∴当B 和O 外切时，48264x =-．○2B 和O 内切时，BE AO BO -=，得6BE =．设EP 与AD 的交点为M ，AM AEBP BE=，即632286x x--=，解得1682x =-；经检验，1682x =-是方程的根且符合题意． ∴当B 和O 内切时，1682x =-．综上所述：当B 与O 相切时，BP 的长是48264-或1682-．【总结】本题考查的是直角梯形、相似三角形、锐角三角比及两圆相切的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想和分类讨论思想的综合运用．QA BCDO PABCD ME【习题3】如图，在梯形ABCD 中，∠ABC = 90°，AD // BC ，AB = 8，BC = 18，4sin 5BCD ∠=，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果P 的半径为6，Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时P 与Q 外离、外切、相交？【答案】见解析．【解析】过点D 作DE BC ⊥于点E （如图1）．∠ABC ＝90°，AD // BC ， 8DE AB ∴==．4sin 5DE BCD CD ∠==，10CD ∴=当P 与Q 外切时，6410PQ =+=，此时PQ CD =．故当P 与Q 外切时，四边形PQDC 为等腰梯形或平行四边形．当四边形PQDC 为等腰梯形时（如图2），过点Q 作QF BC ⊥于点F ，则8QF AB ==，所以6PF =．3BP t =，2DQ t =，36AQ BP PF t ∴=+=+．36212AD AQ QD t t ∴=+=++=， 65t ∴=．当四边形PQDC 为平行四边形时（如图3），过点Q 作QM BC ⊥于点M ，同理，得：36AQ BM BP PM t ==-=-， 36212AD AQ DQ t t ∴=+=-+=， 185t ∴=．∴当605t ≤<或1865t <≤时，P 与Q 外离；当65t =或185t =时，P 与Q 外切；当61855t <<时，P 与Q 相交．【总结】本题主要考查梯形背景下的两元位置关系的讨论，综合性较强，主要从外切的关系入手，求出相应的值，再进行讨论，同时注意动点所处的问题的讨论．ABCDEQ P图1ABCDF Q P 图2A B CDM Q图3【作业1】如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，25sin 5BCD ∠=，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ．（1）求证：∠BCD = ∠BDC ；（2）如图，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长．【答案】见解析．【解析】（1）过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ．∵在Rt ABD ∆中，∠ABC = 90º，AB = 4，AD = 3， ∴BD=5．在Rt DCG ∆中，∠DGC = 90º，25sin 5BCD ∠==DGDC， ∵AD // BC ，∴AB = DG = 4，AD = BG = 3， ∴DC = 25，∴CG = 2， ∴BC = 3 + 2 = 5，∴BD = BC ， ∴∽BCD =∽BDC ．．（2）设DP =x ，则R P =PB =5x -．∵∽BCD =∽BDC ，∴25sin sin 5BCD BDC ∠=∠=．在Rt PDH ∆中，∠PHD = 90º，25sin 5BDC ∠==PH PHPD x=， ∴PH =255x ，∴DH =55x ，∴R H = HD =55x ． ∵P 与H 外切，∴P H R R PH +=． ∴525555x x x -+=，解得：25554x -=．即25554DP -=．【总结】本题主要考查直角梯形背景下的锐角三角比与两圆相切的综合运用，由于本题强调的是外切，因此只要考虑一种情况即可．课后作业ABCD PHG【作业2】如图，Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4厘米，BC = 3厘米，O 为ABC ∆的内切圆．（1）求O 的半径；（2）动点P 从点B 沿BA 向点A 以每秒1厘米的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 为半径作圆．设点P 运动的时间为t 秒，若P 与O 相切，求t 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，设O 与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，连接OD 、OE 、OF ，则AD = AF ，BD = BE ，CE = CF ．O 为ABC ∆的内切圆，OF AC ∴⊥，OE BC ⊥，即90OFC OEC ∠=∠=．90C ∠=，∴四边形CEOF 是矩形．OE OF =，∴四边形CEOF 是正方形．设O 的半径为rcm ，则FC EC OE rcm ===．在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4cm ，BC = 3cm ， =5AB cm ∴．43AD AF AC FC r BD BE BC EC r ==-=-==-=-，， 4+3=5r r ∴--，解得：=1r ．即O 的半径为1cm ．（2）如图2，过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ． 90PGB C ∠=∠=， ∴PG //AC ．∴PBG ∆∽ABC ∆，PG BG BPAC BC BA∴==． BP t =，43==55AC BC PG BP t BG BP t BA BA ∴=⨯=⨯，．若P 与O 相切，则可分为两种情况，P 与O 外切和P 与O 内切．当P 与O 外切时，如图3．连接OP ，则1OP t =+，过点P 作PH OE ⊥，垂足为H ． 90PHE HEG PGE ∠=∠=∠=， ∴四边形PHEG 是矩形，HE PG ∴=，PH GE =，DEF 图1ABC OPABC OPDEF G 图2AB COPE 图3415OH OE HE t ∴=-=-， 3331=255PH GE BC EC BG t t ==--=---．在Rt OPH ∆中，由勾股定理，得：22243(1)(2)(1)55t t t -+-=+，解得：23t =．当P 与O 外切时，如图4．连接OP ，则1OP t =-，过点O 作OM PG ⊥，垂足为M ．90MGE OEG OMG ∠=∠=∠=， ∴四边形OEGM 是矩形，MG OE ∴=，OM EG =，415PM PG MG t ∴=-=-，3331=255OM GE BC EC BG t t ==--=---．在Rt OPM ∆中，由勾股定理，得：22243(1)(2)(1)55t t t -+-=-，解得：2t =．综上所述，P 与O 相切时，23t =s 或2t =s ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点也比较多，解题时注意利用相应的性质，同时综合运用数形结合思想及分类讨论思想．BCO P E G图4M。

初二数学两圆相切定理解析

初二数学两圆相切定理解析两圆相切是初中数学中的一个重要定理，它在几何学中具有广泛的应用。

本文将对初二数学中的两圆相切定理进行解析，介绍其基本概念、证明过程和相关例题。

通过学习本文内容，读者将能够深入理解两圆相切定理的原理，并能够熟练应用于解决实际问题。

1. 两圆相切定理的基本概念两圆相切定理指的是两个圆之间的关系，即它们的外切线与两圆的切点恰好只有一个。

要理解这个定理，首先需要了解圆的基本要素。

在数学中，圆是由平面上与一个给定点的距离保持不变的所有点组成。

圆由圆心和半径来确定，其中圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

当两个圆相切时，它们的切点与两圆的外切线成为关键。

这意味着外切线正好接触两个圆，并且只有一个切点。

此时，我们可以利用两圆相切定理来解决与相切有关的几何问题。

2. 两圆相切定理的证明过程二圆相切定理的证明可以通过几何推理和直线方程的运用来完成。

以下是证明的过程：假设有两个圆，一个是圆O1，圆心为O1，半径为r1；另一个是圆O2，圆心为O2，半径为r2。

两圆相切于点P。

首先，连接圆心O1和O2，并使其交于点M。

根据定理可以知道，OM垂直于O1P，OM垂直于O2P。

设O1M=a，O1P=b，O2M=c，O2P=d。

通过勾股定理，可以得到以下关系：a^2 + b^2 = r1^2 (1)c^2 + d^2 = r2^2 (2)由于O1P与O2P相切于点P，所以O1P与O2P平行。

根据平行线性质，我们可以得到以下关系式：O1M / O2M = O1P / O2P通过类似三角形的等比关系性质，我们可以得到：a / c =b / d (3)由(1)，(2)，(3)可以推导出以下关系：r1^2 / r2^2 = b^2 / d^2进一步推导可以得到：r1 / r2 = b / d由于b和d分别是O1P和O2P的长度，它们都是半径的一部分，所以r1和r2之间的比例等于b和d之间的比例。

运动中的两圆相切问题

运动中的两圆相切问题两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

在这个问题中，两个圆在运动中相切，并且圆心的坐标和半径都是可变的。

首先，我们来看一下两圆相切的基本原理。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，即：R1 + R2 = d，其中R1和R2分别为两个圆的半径，d为两个圆心之间的距离。

其次，我们来看一下两圆相切的运动轨迹。

当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

最后，我们来看一下两圆相切的解法。

首先，我们需要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据上面提到的两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

总之，两圆相切是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，当两个圆在运动中相切时，它们的运动轨迹是一个椭圆，其中一个圆的圆心在椭圆的焦点处，另一个圆的圆心在椭圆的另一个焦点处。

要解决这个问题，首先要确定两个圆的半径和圆心坐标，然后根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹。

两圆相切的问题是一个普遍存在的数学问题，它涉及到圆的半径、圆心坐标以及圆的运动轨迹。

它的解法也很简单，只要确定两个圆的半径和圆心坐标，根据两圆相切的基本原理，计算出两个圆心之间的距离d，最后根据d的值，计算出两个圆的运动轨迹即可。

因此，两圆相切的问题是一个比较容易解决的数学问题，只要掌握了基本原理，就可以轻松解决。

2020届上海市中考数学压轴题解题策略：相切的存在性问题(已纠错)

中考数学压轴题解题策略相切的存在性问题解题策略专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．例题解析例❶如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点．（1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？图1-1 【解析】（1）如果⊙P与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等．画直线y＝x和y＝－x，四个圆心P就都找到了，如图1-2，图1-3．其实求半径r，只需一个图就可以了，⊙P的半径为r＝|x|＝5+1或51．（2）要判断⊙P与y轴相离、相交，先找到临界位置⊙P与y轴相切，此时x＝1或x＝－1．如图1-4，可以想象，当圆心P在x轴下方时，⊙P与y轴相交，此时－1≤y P＜0；当圆心P在x轴上方时，⊙P与y 轴相离，此时y P＞0．图1-2 图1-3 图1-4例❷如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B 在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．图2-1 图2-2【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中．（1）如图2-3，画x轴，取点A；作CA⊥x轴，且CA＝5；以CA为半径画⊙C，以A为圆心，8为半径画弧，产生点B．如图2-4，过点B画y轴．在Rt△AOB中，已知AB和∠1，求得OA＝t＝4.8．（2）如图2-5，先画y轴和点B，产生点A后再画x轴．求得OA＝t＝6.4．图2-3 图2-4 图2-5例❸如图3-1，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值．图3-1【解析】我们先根据“d＝r”讲解题策略．如图3-2，动点P到切线BC的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时P(3, 0)，t＝1．如图3-3，动点P到切线DC的所有垂线段中，半径PC是哪条？此时P(0, 0)，t＝4．如图3-4，动点P到切线AD的距离就是P A，P A与半径PC相等，点P在AC的垂直平分线上，此时在Rt△PCO中，由勾股定理解得AP＝3.6，所以QP＝5.4，t＝5.4.图3-2 图3-3 图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中．如图3-5，经过切点C画切线BC的垂线，与x轴的交点就是P(3, 0)．如图3-6，经过切点C画切线DC的垂线，与x轴的交点就是P(0, 0)．如图3-7，已知圆上两点A和C，画AC的垂直平分线，与x轴的交点就是P．图3-5 图3-6 图3-7例❹如图4-1，已知抛物线y＝mx2＋bx＋c(m＞0)经过A(1, 0)、B(－3,0)两点，顶点为P，与y轴交于点D．⊙C的直径为A、B，当m为何值时，直线PD与⊙C相切？图4-1 【解析】由y ＝m (x －1)(x ＋3)，可得D (0,－3m )，P (－1,－4m )．⊙C 的半径为2，切线PD 随m 变化．如图4-2，先假设切点为E ，那么∠CPE ＝∠PDF ．由sin ∠CPE ＝sin ∠PDF ，得CE PF CP PD=．解方程22141m m =+，得33m =±．所以当33m =时，直线PD 与⊙C 相切．事实上，此时直线PD 与⊙C 相切于点D ，∠PCD ＝30°（如图4-3）．图4-2 图4-3例❺ 如图5-1，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝8，BC ＝18，54sin =∠BCD ，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为t 秒．如果⊙P 的半径为6，⊙Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索：t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交？图5-1【解析】对于⊙P ，R ＝6；对于⊙Q ，r ＝4．圆心距d ＝PQ 怎么表示呢？如图5-2，PQ 2＝QH 2＋PH 2＝82＋(12－5t )2．当两圆外切时，由d ＝R ＋r ＝10，得d 2＝102．解方程82＋(12－5t )2＝102，得t ＝1.2（如图5-3），或t ＝3.6（如图5-4）．现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论：当0≤t ＜1.2和3.6＜t ≤6时，两圆外离；当1.2＜t ＜3.2时，两圆相交．图5-2 图5-3 图5-4例❻ 如图6-1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4厘米，BC ＝3厘米，⊙O 为△ABC 的内切圆．（1）求⊙O 的半径；（2）动点P 从点B 沿BA 向点A 以每秒1厘米的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 为半径作圆．设点P 运动的时间为t 秒，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．图6-1【解析】如图6-2，⊙O 的半径r ＝1（厘米）．对于⊙O ，r ＝1；对于⊙P ，R ＝t ；圆心距d ＝OP 在Rt △POH 中解决（如图6-3）．由OP 2＝OH 2＋PH 2＝12＋(2－t )2，得d ＝OP ＝245t t -+．当⊙P 与⊙O 外切时，由d ＝R ＋r ，得2451t t t -+=+．解得23t =（如图6-4）．当⊙P 与⊙O 内切时，由d ＝|R －r |，得245|1|t t t -+=-．解得t ＝2（如图6-5）．图6-2 图6-3 图6-4 图6-5例❼ 如图7-1，已知直线l ：443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，⊙O 的半径为1，点C 是y 轴正半轴上的一点，如果⊙C 既与⊙O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标．图7-1【解析】先确定⊙C 与直线l 相切，再解方程⊙C 与⊙O 相切．如图7-2，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．设BC ＝5m ，半径CD ＝3m ．对于⊙O ，r ＝1；对于⊙C ，R ＝3m ；圆心距d ＝OC ＝OB －BC ＝4－5m ．当两圆外切时，R ＋r ＝d ．解方程3m ＋1＝4－5m ，得38m =．此时17(0,)8C （如图7-3）．当两圆内切时，R －r ＝d ．解方程3m －1＝4－5m ，得58m =．此时7(0,)8C （如图7-4）．图7-2 图7-3 图7-4例❽如图8-1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，∠BDE＝∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D．设BD＝x．（1）当⊙D与边AB相切时，求x的值；（2）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当⊙D与⊙E相切时，求x的值．图8-1 【解析】如图8-2，AB＝AC和∠BDE＝∠A，隐含了△ABC∽△DBE，DB＝DE＝x．（1）如图8-3，当⊙D与边AB相切时，d＝r，解DH＝DC就可以了．解方程465x x=-，得103x=．（2）对于⊙D，R＝DC＝6－x；对于⊙E，r＝AE＝AB－BE＝655x -；圆心距d＝DE＝DB＝x．当两圆外切时，由d＝R＋r，得6(6)(5)5x x x-+-+=．解得5516x=（如图8-4）．当两圆内切时，由d＝R－r，得6(6)(5)5x x x---+=．解得54x=（如图8-5）．图8-2 图8-3 图8-4 图8-5例❾如图9-1，一个Rt△DEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB＝12，DE＝4，DF＝3．如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点．同时Rt△DEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A 时，两个运动都停止．在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由．图9-1 图9-2【解析】这道题目我们讲画图的策略．注意到AQ＝BD＝t．①如图9-3，画∠CAM＝∠CAB；在射线AM上取一点D，过点D作AM的垂线；画直角的平分线产生点Q；在点D右侧截取DB＝AQ．作QH⊥AM于H，以QH为半径的⊙Q符合题意．由QH＝DH，得391255t t=-．解得t＝5．②过点D画直角的平分线还有图9-4的情形，此时DH＝9125t-．解方程931255t t-=，得t＝10．从上面的过程我们可以体验到，画图与点P无关，与△DEF无关．我们去伪存真，∠A的大小确定，以D为顶点构造直角，作直角的平分线产生点Q，截取得到点B就可以了．图9-4 图9-5。

圆中常见的“两解”问题失误剖

圆中常见的两解问题失误剖析圆中有两解的问题较多，如弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.由于圆的对称性，圆中的两条平行弦与圆心也有两种位置关系等，解答这些问题时稍有不慎，就会造成下列失误.1. 忽视对点与圆的位置关系的分类例1若点P 到⊙O 的最长距离为10㎝，最短距离为2㎝，则⊙O 的半径为____㎝. 错解:填6.剖析:错解只考虑了点在圆内的情况，却忽视了点在圆外的情况. 正解:(1)若点P 在⊙O 内如图1，过点P 作直径AB,则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA ＋PB=12㎝. ∴⊙O 的半径为6㎝. (2) 若点P 在⊙O 外如图2，连接OP 交⊙O 于B,延长PO 交⊙O 于A.则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA －PB=8㎝.∴⊙O 的半径为4㎝. 所以填6㎝或4㎝.2.忘记两圆半径的大小关系造成失误例2 已知⊙O 1与⊙O 2内切，⊙O 1的半径为5㎝，若两圆的圆心距为2㎝，则⊙O 2的半径为____㎝.错解:填3.剖析:两圆内切，圆心距等于两圆半径之差.因为本题两圆半径大小关系不明确，所以圆心距等于两圆半径之差的绝对值.正解:设⊙O 2的半径为r ㎝,则∣r －5∣=2.∴r －5=±2. ∴r =3或r =7. 或分类讨论：(1)若r ＞5 ，则r －5=2. ∴r =7. (2)若r ＜5 ，则5－r =2. ∴r =3. 所以填3或7.3.因两圆相切的关系不具体导致漏解例3 若⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为5㎝，⊙O 2的半径为8㎝，则两圆的圆心距为____㎝.错解:填13.剖析:两圆相切，分内切、外切两种.正解:(1)当两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，即3㎝. (2)当两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，即13㎝. ∴填3㎝或13㎝.4.忽视对弦(不是直径)所对的弧的分类例 4 已知,AB 是⊙O 中一条非直径的弦，∠AOB=80°，点C 是⊙O 上一点(不与A 、B 重合)，则圆周角∠ACB 的度数为____.错解:填40°.剖析:很明显，弦AB 所对的弧一条是优弧，另一条是劣弧.因此，它所对的圆周角有两解，其和为180°.图3C ′OCB A图2 图1正解:如图3,若点C 在优弧上,则∠ACB=21∠AOB =40°. 若点C ′在劣弧上,则∠AC ′B=180°－ ∠ACB=140°. 所以填40°或140°. 5.忽视对平行弦与圆心的位置的讨论例5已知⊙O 的半径为13㎝,弦AB ∥CD ，AB=24㎝，CD=10㎝，则弦AB 与CD 的距离是( ).A.7㎝B.17㎝C.12㎝D. 7㎝或17㎝错解:选A 或选B.剖析:由于平行弦与圆心的位置关系有两种：(1)两条弦在圆心同侧,(2) 两条弦在圆心异侧.所以要分类讨论.正解：过O 作EF ⊥CD 于E,交AB 于F,连接OA 、OC,则CE=21CD=5㎝,AF=21AB =12㎝.在Rt △COE 中,OE=22CE OC -=12㎝.同理 OF=5㎝.(1)当弦AB ，CD 在圆心O 同侧时，如图4，则EF= OE －OF=7㎝.(2)当弦AB ，CD 在圆心O 异侧时，如图5，则EF= OE ＋OF=17㎝. 所以选D.6.忘记对圆周角与圆心的位置的分类例6已知⊙O 的半径为2，若弦AB 与AC 的长分别为32、22，则∠BAC 的度数为____.错解:填75°.剖析:圆周角与圆心有三种位置关系，应分类讨论.本题不存在圆心在圆周角一边上的情况，错解只考虑了圆心在圆周角内部的情况，却忽略了圆心在圆周角外部的情况.正解:(1)当圆心O 在∠BAC 内部时，如图6，作直径AD ，连接BD 、CD.，则∠ACD=∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，AD=4，AB=32.由勾股定理得BD=22AB AD -=2，∴BD=21AD.∴∠BAD=30°. 在Rt △ACD 中，AD=4，AC=22.由勾股定理得CD=22.∴AC=CD. ∴∠CAD=45°.∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=75°.(2)当圆心O 在∠BAC 外部时，如图7，作直径AD ，连接BD 、CD ，则∠ACD= ∠ABD=90°。

【提分必做】高中数学考点55 两圆的切线问题庖丁解题新人教A版必修2

考点55 两圆的切线问题1．判断两圆是否相切，利用两圆的圆心距d 与两圆半径之和12rr +及差12r r -（或21r r -）是否相等作出判断． 2．两圆的不同位置关系对应不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，分别对应的公切线有0条、1条、2条、3条、4条，反之亦成立．【例】半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36【答案】D【易错易混】解方程应该是两个根，无丢解．1．圆22+4470x y x y +-+=与圆224+10130x y x y ++=-的公切线的条数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】本题主要考查两圆的位置关系，两圆的圆心距d = 121,4r r ==,则12d r r >+，即两圆外离，因此它们有4条公切线．【规律总结】两圆公切线的条数：（1）两圆相离，有四条公切线；（2）两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；（3）两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；（4）两圆内切，有一条公切线；（5）两圆内含，没有公切线．2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3㎝和4㎝，若O1O2=7㎝，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_____________若O1O2=_____________两圆相内切_____________【答案】C【解析】因为O1O2=7㎝=3cm+4cm,圆心距等于半径和时，两圆外切；当O1O2=4cm–3cm=1cm，两圆相内切．3．已知圆C1，C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为__________．【答案】6或14．【解析】由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，∴r＝6或r＝14．4．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，则两圆公切线的条数为__________．【答案】25．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程__________．两圆面积之比___________．【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18，25:9．【解析】将圆C化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为C(－5，－5)，半径为所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由题意知，点O (0,0)、A (0,6)在此圆上，且圆心M (a ，b )在直线x －y ＝0上，则有222222(0)(0)3(0)(6),30a b r a a b r b a b r ⎧-+-=⎧=⎪⎪-+-=∴=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18．两圆的半径分别为5:3，面积之比为25:9．6．判断圆22126260C x y x y ++--=：与圆2224240C x y x y +-++=：的公切线条数．【思路归纳】两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系决定的，所以解决此类题目的关键是判断两圆的位置关系．1．已知圆A ，圆B 相切，圆心距为10 cm ，其中圆A 的半径为4 cm ，则圆B 的半径为( )A ．6 cm 或14 cmB ．10 cmC．14 cm D．无解【答案】A【解析】圆A与圆B相切包括内切与外切，∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14．2．与两圆224470x y x y++-+=和22410130x y x y+--+=都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】两圆的圆心距为5，两圆半径和为5，故两圆外切，因此，两圆有两条外公切线和一条内公切线，共3条．3．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．若圆O2与圆O1外切，圆O2的方程，并求内公切线方程．【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝12－x＋y＋1－0．4．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【解析】（1）设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．根据题意，得222222 (1)(1)(1)(1)20a b ra b ra b⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．（2）因为四边形PAMB的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，钻圈杂技钻圈中所用到的圈与圈之间是圆的外切关系。

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如何解压轴题专题——
两圆相切存在性问题解题策略应用举例
【2015浦东二模25题】25．如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°．（1）求证：BP AD AP ⋅=2
；
（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；
（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．
【2015松江二模25题】25．如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，
5
5
2sin =
∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ．（1）求证：∠BCD =∠BDC ；
（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．
【2015普陀二模25题】25．如图11-1，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，90D ∠=
，5BC =，3CD =，
cot 1B =．P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA
于点E ，BPE CPD ∠=∠．
（1）如图11-2，当点E 与点A 重合时，求DPC ∠的正切值；
（2）当点E 落在线段AB 上时，设BP x =，BE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x
的取值范围；
（3）设以BE 长为半径的⊙B 和以AD 为直径的⊙O 相切，求BP 的长．
A B C P D （第25题图） M A
B C （第25题备用图）
M A
B
C
H
P
D （第25题图1）
C
（第25题图2）
C
B
D
A 图11-1
(E )P C
B
D
A 图11-2。