第二讲 参数方程曲线的参数方程

投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立 x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为 100m/s 的匀速直线运动；
（2）沿 oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t 时刻，水平位移为
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程 x2+y2+2x-6y+9=0, 将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0 化为标准方程 , (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
? x ? ?1? cos?
? ?
y
?
3
?
sin?
(θ 为参数 )
练习：判断点 A(2,0),
y=gt 2/2=10×102/2=500m.
练习
1、曲线
?x ? ?y
? ?
1 ? t 2 (t为参数）与x轴的交点坐标是
4t ? 3
(
B)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D( ±25/16, 0)
2、方程
? ? ?
x y
? ?
sin ? cos?
(?为参数
)所表示的曲线上一点的坐标是
( D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1 ，0)
3
已知曲线
C 的参数方程是
? ? ?
x y
? ?
1? at 2
2t (t为参数， a
?
R)点M(5,4)
该曲线上 . (1)求常数a; （2）求曲线 C的普通方程
(1)由题意可知 : 1+2t=5 ，at 2=4；a=1 ，t=2；
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做 普通方程。
参数是联系变数 x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
?x ? 3t
例1:
已知曲线 C的参数方程是
? ?
y
?
2t2
?
1（t为参数）
(1)判断点 M 1(0，1)， M 2(5，4)与曲线 C 的位置关系；
在曲线
C
上，所以?
?
a
?
2t 2
?
1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以 100m/s 的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标 1000m 时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s ）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到 1m）
x=100t=1000, t=10,
(2)已知点 M 3（6，a ）在曲线 C 上，求 a 的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得 t=0，所
以M1在曲线上．
?5 ? 3t
把点M 2的坐标 (5,4)代入方程组，得到
? ?4 ?
2Βιβλιοθήκη Baidu2 ? 1
这个方程无解，所以点 M2不在曲线C上．
?6 ? 3t
(2)因为点
M
3(6,a)
?
2
?
12t
5、由方程x 2 ? y2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
5下列在曲线
? x ? sin 2?
? ?
y
?
cos?
?
sin ?
(? 为参数)
上的点是
( B)
A
(1 , ? 2
(2)t ? x ? 1 代入第二个方程得 : y=(x-1) 2/4 2
4 动点M作等速直线运动 , 它在x轴和y轴方向的速 度分别为 5和12 , 运动开始时位于点 P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程 .
解：设动点 M (x,y) 运动时间为 t，依题意，得
? x ? 1 ? 5t
? ?
y
500
x=100t ，离地面高度 y，即：
y=500-gt 2/2，
?? x ? 100t,
? ??
y
?
500 ?
1 2
gt 2.
物资落地时，应有 y=0，
o
x
即500-gt 2/2=0，解得， t≈10.10s ， 得x≈1010m ；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为 1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
?
M0
o
x
如果在时刻 t，点M转过的角度是 θ，坐标是 M(x, y) ， 那么θ=ωt. 设|OM|=r ，那么由三角函数定义，有
cos ? t ? x ,sin ? t ? y
参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
?x ? f (t),
? ?
y
?
g(t).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
? x ? r cos?
? ?
y
?
r
sin ?
(? 为参数)
其中参数 θ的几何意义是 OM 0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时， OM 0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
r? y
半径为r 的圆的参数方程
v
? ? ?
x y
? ?
a b
? ?
r r
cos? sin ?
(?为参数 )
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
2)
B
(? 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
参数方程求法 : （1）建立直角坐标系 , 设曲线上任一点 P坐标为; （2）选取适当的参数 ;
（3）根据已知条件和图形的几何性质 , 物理意义 , 建 立点P坐标与参数的函数式 ;
（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程 .
圆的参数方程
r
r
即
? x ? r cos? t
? ?
y
?
r
sin
?
t
(t为参数)
这就是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义 (质点作匀速圆周运动的时刻 )
考虑到θ=ωt ，也可以取 θ为参数，于是有
? x ? r cos?
? ?
y
?
r
sin ?
(? 为参数)
圆心为原点半径为 r 的圆的参数方程 .
第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处100m/s 的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，