2012年全国新课标理

故花店一天应购进 枝玫瑰花．
19.（1）由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于 为 的中点，故 ．
又 ，可得
所以 ．而
所以 平面 ．又 平面 ，故 ．
（2）由（1）知 ，且 ，则 平面 ，
所以 ， ， 两两相互垂直．
以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
由题意知 ， ， ， ，则
2012年全国新课标理
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合 ， ，则 中所含元素的个数为
A. B. C. D.
2.将百度文库名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有
A. 种B. 种C. 种D. 种
3.下面是关于复数 的四个命题：
10. B
【解析】用特殊值法：取 ，得 ；取 ，得 ．结合图象可选出答案．
11. A【解析】如图，
据题意得
故
因此顶点 到底面 的距离为
故
12. B【解析】由于函数 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
故 的最小值可转化为 图象上点 到直线 距离最小值的 倍，
设与 平行的直线与 相切时切点为 ，由导数的几何意义可得
的方差为
由以上的计算结果可以看出， ，即购进 枝玫瑰花时利润波动相对较小．
另外，虽然 ，但两者相差不大．故花店一天应购进 枝玫瑰花．
答案二：花店一天应购进 枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么 的分布列为
的数学期望为
由以上的计算结果可以看出， ，即购进 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 枝时的平均利润．
（2）若 ， ， 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 ， 距离的比值．
21.已知函数 满足 ．
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值．
22.如图， ， 分别为 边 ， 的中点，直线 交 的外接圆于 ， 两点．若 ，证明：
（1） ；
（2） ．
23.已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，正方形 的顶点都在 上，且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为 ．
当 时， 恒成立．
经过求解可得 ，
由条件得 且 ，
即 ，
故满足条件的 的取值范围为 ．
由（1）可知 ，所以 ，所以 ．
由 知 ，
而 ，
故 ．
23.（1）由已知可得
，
，
，
，
即 ．
（2）设 ，令
则
因为 ，所以 的取值范围是 ．
24.（1）当 时，原函数可化为
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）由题意可知 ，所以
因此， 的解集包含 等价于，
所以 ， 的斜率为 或 ．
当 的斜率为 时，由已知可设 ，
代入 得
由于 与 只有一个公共点，故
解得 ．
因为 在 轴上的截距 ， ，所以坐标原点到 ， 距离的比值为 ．
当 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 ， 距离的比值也为 ．
21.（1）由已知得
所以
即 ，又 ，所以 ，从而
由于 ，
故当 时， ；
当 时， ，
从而 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由已知条件得
（ⅰ）若 ，则对任意实数 ，当 ，且 时，
可得 ，因此①式不成立．
（ⅱ）若 ，①式恒成立时， ，此时 ．
（ⅲ）若 ，设 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ．
从而 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 有最小值
所以
等价于
因此
设
则
时， ， 时， ，
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围．
24.已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】据题意先将 名学生分成 个小组，共有 种分组方法，
然后将 名教师分到两个小组中，共有 种分组方法，
将两组安排到甲、乙两地参加社会实践活动，故共有 种安排方案．
所以该部件的使用寿命超过 小时的概率为 ．
16.
【解析】由递推公式，得
从而
由此，从第一项开始，依次取 个相邻奇数项的和都等于 ，
从第二项开始，依次取 个相邻偶数项的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列．
数列 的前 项和为
第三部分
17.（1）由 ，及正弦定理得
因为 ，所以
由于 ，所以
又 ，故 ．
（2） 的面积
3. C【解析】由于 ，故
因此 为假命题；又
故 为真命题；
的共轭复数为 ，故 为假命题； 的虚部为 ，故 为真命题，
综上可知命题 为真命题．
4. C【解析】设 交 轴于点 ．
因为 是底角为 的等腰三角形，所以 ， ，且 ，因为 为直线 上一点，所以 ，解之得 ，所以椭圆 的离心率为 ．
5. D
【解析】因为 为等比数列，所以 ，
A. 为 的和
B. 为 的算术平均数
C. 和 分别是 中最大的数和最小的数
D. 和 分别是 中最小的数和最大的数
7.如图，网格上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A. B. C. D.
8.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 ， 两点， ，则 的实轴长为
故 ．而
故
解得 ．
18.（1）当日需求量 时，利润 ．
当日需求量 时，利润 ．
所以 关于 的函数解析式为
（2）（ⅰ） 可能的取值为 ， ， ，并且
的分布列为
的数学期望为
的方差为
（ⅱ）答案一：花店一天应购进 枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么 的分布列为
的数学期望为
A. B. C. D.
9.已知 ，函数 在 单调递减．则 的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知函数 ，则 的图象大致为
A. B.
C. D.
11.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
12.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为
（ⅱ）若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花，你认为应购进 枝还是 枝?请说明理由．
19.如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， ．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的大小．
20.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 ， 两点．
（1）若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；
；
；
的共轭复数为 ；
的虚部为 ．
其中的真命题为
A. B. C. D.
4.设 ， 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
A. B. C. D.
5.已知 为等比数列， ， ，则
A. B. C. D.
6.如果执行下面的程序框图，输入正整数 和实数 ，输出 ， ，则
设 是平面 的法向量，则
即
可取 ．同理，设 是平面 的法向量，则
即
可取 ．从而
故二面角 的大小为 ．
20.（1）由已知可得 为等腰直角三角形，
，圆 的半径 ．
由抛物线定义可知 到 的距离 ．
因为 的面积为 ，所以
即
解得 ，
所以 ，圆 的方程为
（2）因为 ， ， 三点在同一直线 上，
所以 为圆 的直径， ．由抛物线定义知
解得 ，代入得
故 ，此时点 到直线 距离最小，因此
第二部分
13.
【解析】因为 ，平方得
即
解得
14.
【解析】由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最小，此时 最大为 ，当直线经过 点时，直线截距最大，此时 最小，此时 ，所以 ，即 的取值范围是 ．
15.
【解析】由题意知每个电子元件的使用寿命超过 小时的概率均为 ，元件 或元件 正常工作的概率为 ，
又 ，
所以 ， 或 ， ．
若 ， ，解得 ， ， ；
若 ， ，解得 ， ，仍有 ．
6. C
7. B
8. C【解析】设等轴双曲线方程为 ．由抛物线方程知其准线方程为 ，据题意知双曲线 被直线 截得的弦长 ，将直线与双曲线方程联立得
因此
解得 ，故实轴长为 ．
9. A【解析】由于 在 单调递减，所以 的最小正周期 ，所以 ．当 时， ，由于 在 单调递减，所以 ，解得 ．
（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：枝， ）的函数解析式；
（2）花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列、数学期望及方差；
16.数列 满足 ，则 的前 项和为．
三、解答题（共8小题；共104分）
17.已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边， ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ， ．
18.某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值．从而 ，即
当 ， 时，②式等号成立，故
综合得， 的最大值为 ．
22.（1）因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ．
又已知 ，故四边形 是平行四边形，
所以 ．而 ，连接 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ．
因为 ，所以 ，故 ．
（2）因为 ，故 ．
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13.已知向量 夹角为 ，且 ， ，则 ．
14.设 ， 满足约束条件 则 的取值范围为．
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为．