一类分块矩阵的正定性判别方法

［］ ７ 呙林 兵 ． 定 实 对 称 矩 阵 为 正 定 矩 阵 的 一个 充 分 条 判
件 ． 春 学 院 学 报 ， ｏ． ０ Ｎ ． ，０ ８ ４ ． 宜 Ｖ １３ ， ｏ ２ ２ ０ （ ）
并矩 （ Ｃ。Ｂ 正矩 ， 且 阵 。 Ｉ — 一） 定阵 ＝ 一 ． 。Ｊ ０ Ａ Ａ Ｂ。为
） Ａｒ （ Ｅ） 一Ｉ＝ － Ｂ
［ ］ 庆 玉 ， 广 益 ， 良云． 于 双 加 权 亚 半 正 定 矩 阵 ４ 臧 李 张 关 的判 别 ． 陵科 技 学 院 学报 ， ｏ． ５ Ｎ ． ，０ ９ ６ ． 金 Ｖ １２ ， ｏ ２ ２ ０ （ ）
［ ］ 丽 杰 ． 个 分 块 矩 阵 之 间 的 半 正 定 关 系． 丹 江 ５关 几 牡
于 矩 Ｐ 【 ＣＢ～ｒ 正 矩 ・ 是 阵 —Ａ Ｊ 定 阵 ＼ 一 ・ ０ 为
又 ． 阵Ｐ ｆ ． 矩 ：Ａ ＼ ０
Ｂｌ， — Ｅ ＼ Ａ一Ｂ、
ｃ
果 ， 是对 于高 阶是 对称 矩 阵的 研究 也 有所 薄 弱 ， 此 同 但 与
时 ， 于实 对 称 矩 阵 为 正 定 矩 阵 的 判 别 也 有 待 于进 一 步 的 对 研究． 于此 ， 文给 出了一类 ２ 鉴 本 ｎ阶 实 对 称 矩 阵 为 正 定 性 从而 ，
应 用 ， １２ Ｎｏ １ ２ ０ （ ） Ｖｏ． ８， ． ，０ ８ ３ ．
由知件 ， 。（ ） 定 阵 知 已条知 阵 ＝ 为 矩 ， 矩 矩 正 可
阵 Ａ为 正 定 矩 阵 ， 而 矩 阵 Ａ的 逆 矩 阵 Ａ 存 在． 从
一‘ Ｅ （ 一
０ １
１ Ｃ— Ａ Ｂ Ｊ ０ Ｂ ’
一
、
必 要 性 证 明
【 考文献】 参
［］ １ 张禾瑞 ． 等代 数． 京 ： 等教 育 出版 社 ， ９ （ ） 高 北 高 １ ５５． ９ ［ ］ 秋 菊． 块 矩 阵 的应 用 ． 技 信 息 ，０ ８ ２祁 分 科 ２０ ． ［ ］ 毅 ， 廷 祝 ． 正 定 矩 阵 的充 要 条 件 ． 学理 论 与 ３黄 黄 复 数
［ ］ 吉林 ， 丁 酉． 等 代 数 题 解 精 粹 （ 订 版 ） 北 ９钱 刘 高 修 ．
京： 中央 民族 大 学 出版 社 ．
令阵＝ …） 矩Ｐ（ Ｃ０Ｂ１ ＼ 。／ ｆ 一 ． Ｂ。， ０ Ａ Ａ Ｉ
毁学 学 习与 研 究 ２ １ ． ００ ５
［０ 黄光谷 ， １］ 黄东 ， 杨 ， 晓英 ． 等 代 数 辅 导 与 习题 李 蔡 高
从而 ＸＰ Ａ 。 ；Ｃ— Ａ Ｘ ＞ ， Ｘ＝ ＋ （ Ｂ Ｂ ） ２ ０
半 正 定 关 系 ， 出 了判 定 对 称 矩 阵 为 正 定 矩 阵 的 一 个 充 分 给 条件 ， 总结 了一 般 实 正 定 矩 阵 的 若 干 判 别 依 据 ， 等 ． 述 等 上
学 者 对 分 块 矩 阵 以 及 实 对 称 矩 阵 的研 究 都 得 到 了很 好 的结
●
专 题 研 究
● ●
． ．
●Leabharlann Baidu Ｉ， ● －
●
一
菱分谚
定性
０ ３０ ） ６ ００
◎赵 晨 霞 崔 玉环 陈伟 丽 （ 北 理 工 大 学轻 工 学 院 河
【 要】 文主 要是利用 正定矩 阵的概 念、 关性 质 以 摘 本 相
及 有 关 结论 给 出 了 一 类 ２ 阶实 对 称 矩 阵 为 正 定 矩 阵 的 充 ｎ
定 理 已 知 矩 阵 Ａ， ＣＥ Ｒ ， 矩 阵 是 正 定 矩 阵 的 Ｂ， … 则
本 定 理 给 出 了判 断 高 阶对 称 矩 阵 是 不 是 正 定 矩 阵 的更
简扯 的 ‘ ， 待 能 有 更 多 的 应 用 价 值 ． 法 期
充 要 条 件 为矩 阵 Ａ与 Ｃ—Ｂ Ｂ Ａ 均 为 正 定矩 阵．
ｏ
Ｊ 【 ０
Ｊ ’
ｃ Ｅ
矩 阵 的 充 分必 要 条 件．
在本 文 中 引用 以下 记 号 ： … 表 示 所 有 ｒ×ｎ阶 是 矩 阵 Ｒ ｔ
的集 合 ， 表 示 矩 阵 Ａ 的转 置 矩 阵 ， 表 示 矩 阵 Ａ的 逆 矩 Ａ
阵， Ｅ表 示 ｎ×ｎ阶 单 位 矩 阵 ．
。 ） ＝ （ 一 一 ｃ０ ） Ａ 一 ）： 一一（ Ｅ） ． 一日 （ －
ｏ
８
／Ｉ
、
Ａ
＝
本 文 中用 到 了如 下 结 论 ： Ａ， 设 Ｂ分 别 为 ｍ， ｎ阶 正 定 矩
也 为 正定 矩 阵． 至此 ， 分 性 得 证 ． 充
阵 分矩 ｃ： ） 定阵 ， 块阵＝ 一是 矩． 则 （：正
，
矩 阵 的概 念 ． 比如 ， 出 了 分 块 矩 阵 的 相 关 应 用 ， 出 了 复 给 提
正定 矩 阵 的概 念 并 给 出 了 判 定 方 法 ， 出 了双 加 权 亚 半 正 提 定矩 阵 的概 念 并 给 出 了 判 别 方 法 ， 究 了 分 块 矩 阵 之 间 的 研
（ Ｂ Ｂ ） ≥０ 并 且 不 同 时 等 于 零 ， Ｃ— Ａ ，
际 应 用 ， 此 ， 多 学 者 致 力 于这 方 面 的 研 究 并 推 广 了正 定 因 许
，ｃ （ — ：
（ Ｃ—Ｂ Ａ ） ． ２
叫
又 ‘Ａ 与 Ｃ—Ｂ Ｂ ． ‘ Ａ 均 为 正 定 矩 阵且 Ｘ。 均 为 任 意 ｎ ，
维不同时为零的列向量 ， 则
Ｘｒ ＡＸ ≥ ｏ
分 必 要条 件 ， 给 出 了详 细 的 证 明 过 程． 并
对意定向ｘ（ ≠其 ｚ ｎ 任给的量 ＝ ）， 。均 维 。中 ， 为
列 向量 ， 们 有 ： 我
【 关键 词】 正定矩阵 ； 实对称矩 阵； 分块矩阵
正 定 矩 阵 和 分 块 矩 阵 在 代 数 学 中 有 着 非 常 重 要 的 地 位 ， 在 数 学 、 理 、 学 、 程等 学 科 领 域 中 有 着 广 泛 的 实 并 物 工 工
因此 ， 阵 Ｃ—Ｂ Ｂ 矩 Ａ 也 为 正 定 矩 阵 ， 必要 性得 证 ．
二、 充分 性 证 明 已知 矩 阵 Ａ 与 Ｃ—Ｂ Ｂ Ａ 均 为 正 定 矩 阵 ，
［］ 仕林 ， 旭洲． ８詹 詹 实正 定 矩 阵 的若 干 判 据 ． 徽 大 学 安
学报 （ 自然 科 学版 ） Ｖ １３ ， ｏ ３ ２ ０ （ ） ， ｏ． ２ Ｎ ． ，０ ８ ３ ．
解 答 ． 汉 ： 中科技 大 学 出版 社 ，０ ５ 武 华 ２０．
师 范 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｎ ． ， ０ ８ Ｔ ｔ ｏ ， ｏ ２ ２０ ， ｏ ｌＮ ． ａ
６ ２ ０８． ３， ０
不令 阵＝ 一ｌ， 妨矩 ｒ Ａ ） ， （ ｌ
则 矩 阵 为 可 逆 矩 阵 ，
［ ］ 秋 果 ． 阵分 块 的应 用 ． 技 信 息 第 ｌ ６侯 矩 科 ３期 ，０ ８ ２０．