第三章 统计基础 3

f ( ) 愈大，说明绝对值小的误差出现的概 ① δ 绝对值越小， 率大。
②大小相等符号相反的误差出现的概率相等。
σ =1 σ =2

③σ 愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ 愈大，正态 分布曲线愈平缓。说明σ 反映了测量的精密度。
标准差
由数学定义在曲线拐点处有：
对
d y 0 2 dx y P( x) 一式求二阶导数，
第二节 异常数据的剔除
一、拉依达准则
二、肖维勒准则 三、t-检验准则
假设检验又叫显著性检验（test of significance ）：是指利用样本的信息来推断总体特征数的 每一个过程。
两个样本平均数之差（ x - x ）也包括了 1 2 两部分： 一部分是两个总体平均数的差（ 1 - ）
2
由概率积分表可 知： x , P( ) 0.68261 x 2 , P(2 ) 0.95446 x 3 , P(3 ) 0.99729
可得曲线拐点坐标为：
x
测量的质 量
(一)单个样本的平均数检验（u检验和t检验）
u 检验和 t 检验可用于样本均数与总体均数的比较以及 两样本均数的比较。理论上要求样本来自正态分布总体。
连续型随机变量→概率密度,f(x);
ξ
－

-
g(x)f(x)dx
二、方差
反映测定值对数学期望的平均偏离程度。 各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
二、方差 显著性水平(a)与置信水平(1－a)：
显著性水平是概率值,常用百分数表示。 置信水平（1-a）％（也称置信度）。
如取显著性水平a=0.1，表明所作出的显著
四、统计量
为了从总体的一个样本推得总体的一些性质，就 需要对所取得的样本做一些计算，即构成样本的 某种函数，这种函数称为统计量。由于样本是一
个随机变量，因此作为样本的函数的统计量也是
随机变量。
数理统计中，常用的统计量有中数、众数、样本
均值、绝对误差、相对误差、标准误、样本方差、
标准差和极差等。
补充：高斯误差分布定律
1.正态分布
高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程 式，称高斯分布规律。
随机误差
f( δ )
f ( )
1
2
e
2 2
2
标准误差
δ
曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。
f(δ )
f ( )
1
2
e
2 2 2
δ
从正态分布曲线可看出：
变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或 多个样本离散程度比较的影响。
第二节 异常数据的剔除
物理判别剔除是在试验过程中根据常识或经验判
断由于振动、误读等原因造成的异常数据，随时
发现随时剔除。
统计判别剔除的基本思想是根据概率论的原理确 定一个置信限，凡超出此置信限的误差一般认为 不属于随机误差范围，属于应剔除的异常数据。
2
叫做试验的 处理效应（treatment effect）；
另一部分是试验误差（
1
-
2
）。
对（
x1
-
x2 ）进行显著性检验就是要分析： x1
-
试验的表面效应（
x2 ）主要由处理效应
（ 1 - 2 ）引起的 ，还是主要由试验误差所造成。
显著性检验的基本步骤：
（一）对试验样本所在的总体作假设；
平均数差数 的标准误
例 ：在某试验中甲乙两组污水处理装 置上各测定了 30个日出水 COD 值如下 表所示，试检验两组装置的处理效果
有无显著差异。 α＝0.01
因事先不知甲、乙两组效 果孰高孰低，用双尾检验
平均数差数 的标准误
两总体方差相等， 可将两样本方差合并，
求两者的共同方差---合并方差。
第三章 统计基础
第一节 基本概念
第二节
第三节
异常数据的剔除
统计假设检验
第一节 基本概念
一、数学期望 二、方差 三、总体和样本 四、统计量 五、变异系数
一、数学期望
例：对某种样品的COD进行了n次测定，m1次测定的结果
为X1， m2次测定的结果为X2，……， mk次测定的结果为
确性与精确性，可以利用局部控制的原则，采用配对设计。
2、配对设计显著性检验
配对设计是指先根据配对的要求将试验单位两两配对， 然后将配成对子的两个试验单位随机地分配到两个处 理组中。 配对的要求是，配成对子的两个试验单位的初始条件 尽量一致，不同对子间试验单位的初始条件允许有差 异，每一个对子就是试验处理的一个重复。 配对的 方式有两种：自身配对与同源配对。
（1）中数

（2）众数
（3）样本均值
（5）样本极差: （6）样本方差，记为s2；总体方差 ，σ2。 （7）标准差

五、变异系数
衡量样本中各观测值离散程度的另一个统计量。 标 准 差 与 平 均 数 的 比 值 称 为 变 异 系 数 ， 记 为 C · V （coefficient of variation）。
可以认为， 实用时，只要样本数 n 较大，或 n 小但总体标准差σ已 u检验和t检验 知时，就可应用u检验； 是对 系统误差的检验 n 小且总体标准差σ未知时，可应用 t 检验，但要求样
本来自正态分布总体。
两样本均数比较时还要求两总体方差相等。
u值、P值与统计结论
例：曝气系统正常工作时，曝气量服从正态分布，二段曝气池中DO 标准（a0)为3.0，标准差σ=15 ，为了检验曝气系统是否正常工作，
｜t｜值、P值与统计结论
例：某污水处理厂改进曝气系统。原
系统曝气池出水平均COD为30；改进
后，随机测定了16次水样，出水COD 平均为 18，标准差s＝12。问改进前
后COD处理效率上有无显著差异？ α
＝0.01
1）假设：
H0：µ=µ0，即新老工艺没有差异。 HA：µ ≠µ，新老工艺有差异。
（二）在无效假设成立的前提下，构造合适的
统计量，并研究试验所得统计量的抽样
分布，计算无效假设正确的概率；
（三）根据“小概率事件实际不可能性原理”否 定或接受无效假设。
（一）对试验样本所在的总体作假设
这里假设 1 = 2 或 1 - 2 =0，即假设A、
B两个曝气池TN的总体平均数相等，其意义是试
性与否的判断有90%的把握，或者判断的可信程 度是90%，误判的可能性有10%。 若a=0.05，则1-a=1-0.05=0.95=95% 若a=0.01，则1-a=1-0.01=0.99=99%
三、总体和样本
总体：所有要研究对象的全体。 个体：构成总体的每个单元。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一 个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 任何一个总体都可以用一个随机变量来代表。
S x1 x2 叫做均数差异标准误；n1、n2为两样
本的含量。
（三）根据“小概率事件实际不可能性原理”
否定或接受无效假设
在统计学上，把小概率事件在一次试验中
看成是实际上不可能发生的事件，称为小概率
事件实际不可能原理。
四、单侧检验与双侧检验
例1：对单个样本平均数进行显著性检验，在假设检验时， 可以假设样本的平均数与总体的平均数没有显著性差异， 也即认为是相等的。
2）计算：
x a0 18 30 t 4 s / n 12 / 16
3）查临界t值，作出统计推断 由 df=15，查t值
表得t0.01（15）=2.947，因为|t|>t0.01，P<0.01，
故应否定H0，接受HA， 表明新老工艺差异极显著。
也称两独立样本均数，试验单位完全随机地分 两组，各实施一试验处理，两个样本之间的变 量没有任何关联，不论两样本的容量是否相同， 所得数据皆为成组数据。两组数据以组平均数 作为相互比较的标准，来检验其差异的显著性。
随机误差不可完全避免的
第二节 试验数据结构与试验误差
一、试验数据结构
既：Χ=m + ε
二、试验误差
随机误差→试验结果的精密度→有统计规律性，不可完全消
除； 系统误差→试验结果的准确度→有规律，可消除； 系统误差＋随机误差→试验结果的精确度； 过失误差（mistake）→错误的结果，此类数据应剔除。
如果经过检验发现样本的平均数与总体的平均数有显著差异，
即不相等，这就有两种可能，一种是样本平均数大于总体平均 数，另一种是样本平均Байду номын сангаас小于总体平均数。
例 2 ：水环境标准规定 1 类地表水中的 TN 含量不得大于 0.04，也就是说只能小于等于0.04，在进行检验时否定 区域只能在正态曲线的左侧才有意义。
随机抽取水样45份，测其DO值，平均数为2.8。请问能否判断曝气系
统是否正常工作。
假设，
H0：µ =µ0，曝气系统工作正常，即DO总体均值等于3.0； HA：µ ≠µ0，曝气系统工作不正常。
2.8 3.0 u 0.089 15 / 45
若α=0.05，查表得uα/2=u0.025=1.96。 |u| =0.089＜ uα/2，说明在一次抽样中小概 率事件未发生。因此，接受原假设，也就 是说曝气系统工作正常。
2、配对设计显著性检验
非配对设计要求试验单位尽可能一致。如果试验单位变异 较大，如试验对象的个体因素（如处理量的大小、采用的 方法）相差较大，若采用上述方法就有可能使处理效应受 到系统误差的影响而降低试验的准确性与精确性。
为了消除试验单位不一致对试验结果的影响，正确地估计
处理效应，减少系统误差，降低试验误差，提高试验的准