函数奇偶性第一课时

叫做奇函数．
3.函数的奇偶性
如果一个函数是奇函数或是偶函数， 则称该函数具有奇偶性。
如果函数不具有奇偶性，就称函数 为非奇非偶函数；
问题探究 1、具有奇偶性的函数必须满足的条件：
（１）、定义域为关于原点的对称数集 （这是前提条件）；
（２)、f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)恒成立；
2、对于某个函数f(x)， 存在x0使得f x0 f x0 ,
偶 f(-1)=1=f(1) 从代数角度看这两个函数 有什么共同点？
f(-2)=4=f(2) 自变量互偶为函相数反数 函 f(-3)=9=f(3) 的两个函数值相等！数
f(-1)=1=f(1)
f(-2)=2=f(2)
f(奇-3)函=3数=f(3)
一、定义
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数．
(2)(,0) (0,) (4)(2,2]
仿照偶函数的研究过程研究下列函数 你 发 现 什 么
函数图像不再关于y？轴对称，而是关于原点 对称。
也就是说，互为相反数的两个自变量对应的函 数值也互为相反数。即f(-x)=-f(x)!
我们把这种函数叫做奇函数。
2.奇函数定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就
奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函 数。
五、作业
1、判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) x3 (| x | 1)
(2) f (x) 2x2 2x x 1
(3) f (x) 2x 1
(4) f (x) 2
(3)根据定义下结论；
二、应用举例
❖ 例1、判断下列函数的奇偶性：
二、应用举例
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x) x4
(2) f (x) x 1
解：因为定义域为 (,)关于
x
解：因为定义域{x | x 0}
原点对称 .
关于原点对称。
又f (x) (x)4 x4 f (x) 又f (x) (x) 1 (x 1)
既不是奇函数也不是偶函数
练习
判断函数的奇偶性：
(6) f (x) x2 3x 2
(7) f (x) 2x 1
(8) f (x) 5,(9) f (x) 0
思考：
1. 既是奇函数又是偶函数的函数有多少个？ 2、从上面的例子中自己还可以举出一些函数观 察，奇偶性与自变量的次数有什么关系吗？ 3.函数按奇偶性有哪些类型？
这个函数是偶函数吗？
不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质 必须是对定义域中任意的x都成立才能说明该函 数具有奇偶性
3、判断一个函数的奇偶性的方法有哪些？
（1）图像法；（2）定义法。
4、用定义判断或证明函数奇偶性的步 骤：
(1)求函数的定义域，并判断定义域是否关于 原点对称；
(2)算f(-x)，并得出f（-x）与f(x)的关系；
具
有
轴
怎
中
对
样
心
称 图 形
的 对 称
对 称 图 形
图
形
关于原点对称 关于Ｙ轴对称
函数图象的这种特殊的对称性 又体现了函数的什么性质呢？
奇偶性
函数的奇偶性（一）
图象的共关同于特Ｙ点轴是对？称
f(x)=x2
fLeabharlann Baidu-x)=f(x)
猜想f(-x)与f(x) 有什么关系？
f(x)=|x|
分别计算-1,1；-2,2；-3,3；的函数值。
由定义函数为偶函数必须满足：
(1)定义域为对称数集； (2)f(-x)=f(x)恒成立
思考：函数 f(x) x2 (x 0) 是偶函数吗？
不是，因为不满足f(－x)=f(x)，根本原因是定义域的问题。
判断下列数集是否关于原点对称
(1){2,1,0,1,2} (3)[4,2] [2,4]
5x x 1
①奇函数；②偶函数；
③非奇非偶函数；④ 既是奇函数又是偶函数。
四、本课小结
1、定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
恒有f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
恒有f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、奇函数、偶函数的图像特征
3、判断函数的奇偶性的步骤：先看定义域，后验 证 关4、系按式函。数奇偶性可以把函数分为四类：
所以，函数 f (x) x4 为
x
x
偶函数。
f (x) 所以，函数 f (x) x 1
x
是奇函数。
练习：判断下列函数的奇偶性
① f (x) x2
偶函数
② f (x) x2 1 偶函数
③
1 f (x) x2
偶函数
④f (x) x5 x 奇函数
⑤ f (x) x2 (x (2,2])