数学思想方法习题和答案

（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);

（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

2.设x 是一个自然数．若一串自然数x 0＝1，x 1，x 2，…，x t －1，x t ＝x ，满足x i －1＜x i ，x i －1|x i ，i ＝1，2，…，t ．则称{x 0，x 1，x 2，…x t }为x 的一条因子链，t 为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x ＝5k ×31m ×1990n (k ，m ，n 是自然数)试求T(x)与R(x)．

3.确定所有正整数n ，使方程x n ＋(2＋x)n ＋(2－x)n ＝0有整数解．

4.(本小题满分12分) 设b a x x f ,,

lg )(=为实数，且b a <<0．

（1）求方程1)(=x f 的解；

（2）若a ，b 满足f(a)=f(b)，求证：①1=⋅b a ；②12

>+b

a 5.已知3

31)(+=

x x f ，分别求)1()0(f f +，)2()1(f f +-，)3()2(f f +-，然后归

纳猜想一般性结论，并证明你的结论。

6.课间休息时，n 个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学生们发糖：他选择一个学生并给一块糖，隔一个学生给下一个学生一块，再隔2个学生给下一个学生一块，再隔3个学生给下一个学生一块…．试确定n 的值，使最后(也许绕许多圈)所有学生每人至少有一块糖．

7.设p ＝(a 1，a 2，…，a 17)是1，2，…，17的任一排列，令k p 是满足不等式

a 1＋a 2＋…＋a k ＜a k ＋1＋…＋a 17的最大下标k ，求k p 的最大值和最小值，并求所有不同的排列p 相应的k p 的和．

8.对正整数n ≣1的一个划分π，是指将n 分成一个或若干个正整数之和，且按非减顺序排列(如n ＝4，划分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5种)．对任一划分π，定义A(π)为划分π中数1出现的个数；B(π)为π中出现不同的数的个数(如对n ＝13的一个划分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A(π)＝2，B(π)＝3)．求证：对任意正整数n ，其所有划分π的A(π)之和等于B(π)之和． 9.证明：若

则

为整数．

10.8分和15分的邮票可以无限制地取用．某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成．求不能凑成的最大额数n ，即大于n 的额数都能够凑成，并证明你的答案．

试卷答案

1.解析：（I ）f(x)=－x 2+8x=－(x －4)2+16,

当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t ，t+1]上单调递增，

h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t 2+6t+7;

当t ≢4≢t+1时,即3≢t ≢4时，h(t)=f(4)=16; 当t>4时，f(x)在[t ，t+1]上单调递减， h(t)=f(x)=－t 2+8t .

综上，h(t)=⎪⎩

⎪

⎨⎧+-++-,8,16,7622t t t t

（II ）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

ϕ(x )=g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ∴ϕ(x )=x 2－8x+16ln x+m,

∵ϕ2(x )=2x －8+),0()

3)(1(268262>--=+-=

x x

x x x x x x 当x ∈(0,1)时，ϕ2(x )>0，ϕ(x )是增函数；

当x ∈(1,3)时，ϕ2(x )<0，ϕ(x )是减函数； 当x ∈(3,+∞)时，ϕ2(x )>0，ϕ(x )是增函数； 当x=1，或x=3时， ϕ2(x )=0；

∴ϕ(x )极大值=ϕ(1)=m －7, ϕ(x )极小值=ϕ(3)=m+6ln 3－15. ∵当x 充分接近0时，ϕ(x )<0，当x 充分大时，ϕ(x )>0.

∴要使ϕ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

⎩

⎨

⎧<-=>-=,0153ln 6)(,

07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ 既7

取值范围为（7，15—6ln 3）. 2.解析：设x 的质因数分解式为

其中p 1、p 2、…、p n 为互不相同的质数，α1

、α2、…、αn 为正整数．

由于因子链上，每一项至少比前一项多一个质因数，所以T(x)≢α1＋α2＋…＋αn ．

将α1＋α2＋…＋αn 个质因数(其中α1个p 1，α2个p 2，…，αn 个p n )依任意顺序排列，每个排列产生一个长为α1＋α2＋…＋αn 的因子链(x 1为排列的第一项，x 2为x 1乘排列的第二项，x 3为x 2乘第三项，…)，因此T(x)＝α1＋α2＋…＋αn ，R(x)即排列

对于x ＝5k

×31m

×1990n

＝2n

×5k ＋n

×31m

×199n ， T(x)＝3n ＋k ＋

m

3.解析：显然，n 只能为奇数． 当n ＝1时，x ＝－4．

当n 为不小于3的奇数时，方程左边是首项系数为1的非负整系数多项式，常数项是2n ＋1

，所以它的整数解只能具有－2t 的形式，其中t 为非负整数．若t ＝0，则x ＝－1，它不

t <3, 3≢t ≢4, t >4