两同济第三版高数下期末测试题(五邑大学)

命题人： 审批人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A

五邑大学 试 卷

学期： 2005 至 2006 学年度 第 2 学期 课程： 高等数学 专业：

班级：

姓名： 学号：

一、 计算 (本题12分. 每小题6分)

1.

2

2

)

0,0(),(lim

y

x xy y x +→ 2.

⎰

⎰

+x

a

dy y x dx 0

220

二、计算与证明（本题14分.每小题7分） 1. 的收敛性

判断级数∑

∞

=-12

ln )

1(n n

n n

. 2. 将231)(2+-=x x x f 展开成麦克劳林级数

三、已知函数))sin(,(ln y x xy f z +=, 其中f (x , y )具有二阶连续偏导数,

xy >0. 求y

x z

∂∂∂2. (本题10分)

四、已知函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2

22

2y x y x y

x y x y x f ，试回答下列问题并证明你的结论: (1) 函数f (x , y )在(0, 0)是否连续? (2) 函数f (x , y )在(0,0)是否有一阶连续偏导数？(16分) 五、 求经过点(1, 2, 1)且与平面x+2y-z+1=0和x-y+z -1=0都平行的直线的方程. （本题10分）

六、确定幂级数∑∞

=--1

1

)

1(n n x n 的收敛域，并求其和函数. (12分）

七、求曲面xyz=a 3, a >0, 的切平面与三个坐标轴所围成的四面体的体积. (本题12分)

八．将已知正数a 分解为n 个正数x 1, x 2,…,x n 的和，使得它们的倒数的和 最小.（本题14分）

A 卷参考答案与评分标准

一、 1. 解：令ααsin ,cos r y r x == 3分 则

0cos sin lim lim

2

2

)

0,0(),(==+→→ααr y

x xy r y x 3分

2. 解：令θθsin ,cos r y r x ==, 2分 则

⎰

⎰

⎰

⎰

=

+θπ

θcos 0

240

2

20

a x

a

dr r d dy y x dx 2分

))21ln(2(3cos 13

3

4033

++==

⎰a

d a π

θθ 2分

二、1. 解：0ln 1/ln 2/12/32lim lim ==∞→∞→n

n

n n n n n 3分

又 级数

收敛∑∞

=1

2

/11

n n

2分

所以， 原级数绝对收敛 2分 2. 解：x

x x x x f ---=+-=

21

11231)(2 2分

∑∑∞=∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00221n n

n n

x x 3分

n

n n n x ∑∞

=++-=0

1

1212， )1,1(-∈x 2分 三、解：由于函数f (x ,y )有二阶连续偏导数，令)sin(,ln y x v xy u +==， 1分

则有

x

v f x u f zx z ∂∂+∂∂=∂21＝ )cos(121y x f x f ++ 3分

从而 ))cos(1

(212y x f x

f y y x z ++∂∂=∂∂∂ 1分

＝)sin()cos())cos(1(1))cos(1('2''22''21''12'

'11y x f y x y x f y

f x y x f y f +-++++++ 5分

四、解：1、由于有界时，2

22

2

1

sin ,0)()0,0(),(y

x y x y x +→+→， 2分 所以

)0,0(01

sin

)(),(2

222)

0,0(),(00,lim

lim

f y

x y x y x f y x y x ==++=

→→）

，（）（ 2分 故， 函数在(0,0)连续。 2分

2、当(x,y)≠(0,0)时， 有 2

222221

cos 21sin 2y x y x x y x x x f ++-+=∂∂ 2分

2

222221

cos

21sin 2y x y x y y x y y f ++-+=∂∂ 2分 由于

001

sin 02

222)

0,0(),(00lim =++=∂∂→==x x x x

f

y x y x 2分 0)1

cos 21sin 2(2

22222)0,0()(,)0,0(),(lim lim =++-+=∂∂→→y x y x x y x x x f xy y x 2分 所以

x f ∂∂在(0,0)连续；同理，x

f ∂∂在(0,0)也连续。 2分 五、解：因为所求直线与已知两个平面平行，所以可将这两个平面的法向量的叉积作为直线的方 向向量。由于

,323111121k j i k

j i

--=-- 5分

所以，直线的对称式方程为：

3

1

2231--=--=-z y x 5分 六、解：由于11

lim lim

1=+=∞→+∞

→n n u u n n n n ，所以级数∑∞=--1

1)1(n n x n 的收敛半径是1。 又由于级数在11±=x 处的一般项不收敛到0，所以级数的收敛域是 (0,2) 2分 令S(x )=

∑∞

=-1

1

n n nx

. 则

x

x

x dt nt

dt t S n n n x

n x

-=

==∑∑⎰⎰

∞

=∞

=-1)(1

1

01

5分 所以 2

'

)1(11)(x x x x S -=⎪⎭

⎫

⎝⎛-= )1,1(-∈x 3分 从而 )2,0(,1

)1(2

1

1∈=

-∑∞

=-x x x n n n 2分