函数的奇偶性、公开课PPT课件

奇函数的图像特征
奇函数的
图象关于 原点对称.
反过来，
如果一个函数的图
O
象关于原点对称， 则这个函数为奇函
数。
函数y=x3的图像
性质：2、若奇函数在x=0处有意义，则f（0）=0
3、奇函数在关于。原点对称的区间上单调性一致．
1、下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = -f (2)，则函数 f (x)是奇函数． （2）若f (－2) ≠- f (2)，则函数 f (x)不是奇函数．
偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R
f(x)=2x+1
但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
2
0
-1 1
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
思 考：
说明： 1、根据函数的奇偶性
2、说说下面的函数是否为奇函数？
七、如果一个函数f(x)是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f(x)具有 奇偶性.
定义域关于原点对称是判断函数具 有奇偶性的先决条件
判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
1、下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． （2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
2、说说下面的函数是否为偶函数？
y
O
x
观察下面两个函数填写表格
y 3
2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f(x)=x
y
3 2 1
-2 -1 0 -1 -2
1 2 3x
-3
f x 1
x
x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
表（3）
f(-1)= -1=-f(1)
-f(2)
f(-3)= -3 =-f(3)
……
f(-x) = -f(x)
y 3
2 1
-2 -1 0
-x
-1
-2
-3
函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 f(x)=0 x∈R 非奇非偶函数
即是奇函数又是偶函数的函数
如：
y
3
2
1
y=0
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)成立. 若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x)成立.
1 2 x3 x
f(x)=x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f（x）= 1 x
11
-1
1 23
表（4）
f(-1)= -1 =-f(1)
f(-3)= =-f(3)
……
f(-x) = -f(x)
y 3
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
O
x
x … -2 -1 0 1 2 … y…2 1 0 1 2…
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x，-x也是在定义 域内；
2、都有f(x)=f(-x)
如果函数f(x)的定义域为A, 对任意的一个x∈A，都有
f(-x)= f(x)， 那么称函数f(x)是偶函数。
性质：1、偶函数的定义域关于原点对称
在日常生活中，我们可以观察到 许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛 开的花朵，六角形的雪花晶体，以及 建筑物和它在水中的倒影.....
y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y…4 1 0 1 4…
O
x
f (x)=|x|
y
问题：
1、对定义域中的每一个x， -x是否也在定义域内？ 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？
解：画法略 y
相等
0
x
例4、已知函数y=f(x)是奇函数，它右边的图象如 下图，试将它补充完整.
y
相等
0
x
例5：已知函数f (x)为奇函数且定义域为R，若x 0时， f (x) x3 x 1,求f (x)的解析式
3、奇、偶函数性质： 偶函数的 定义域关于原点对称 图象关于y轴对称 奇函数的 定义域关于原点对称 图象关于原点对称。
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
偶
y
奇
x
Байду номын сангаас
f
(x)
x2
2 11
y 非奇
非偶
-1
2x
x
f (x) x
y
奇
-1 1x
f (x) x2, x [1,2]
f (x) x3, x [1,1]
2、都有f(-x)=-f(x)
如果函数f(x)的定义域为A, 对任意的一个x∈A，都有
f(-x)=- f(x)， 那么称函数f(x)是奇函数 。
性质：1、奇函数的定义域关于原点对称。
问题： f (x) x, x 1, 是奇函数吗？
y
解：
3
2 1
不是。
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
问题：f (x) x2, x 1,2 是偶函数吗？
解： y
6
5 4 3 2 1
不是。
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
偶函数的图像特征
偶函数的 图象关于 Y轴对称.
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
函数y=x2的图像
性质：2、偶函数在关于Y轴对称的区间上单调性相反。
例2：判断下列函数的奇偶性：
先确定
(1) f ( x) = x4
(2) f ( x) = x5
定义域
1
1
(3) f ( x) = x + x
(4) f ( x) = x2
(1)解：定义域为R
(2)解：定义域为R
∵ f(-x)=(-x)4=f(x) f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象.
定义法判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是