数理统计作业三
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解：设被保险人死亡数为 X，X～B(20000， 2. 总收入为 2 万×50=100 万，要获利至少 50 万，则赔付的保险金额应该不超过 50 万，也就是被保险的人当中
死亡人数不能超过 10 人，精确点就是用二项分布来做，但是由于 20000 这个数比较大，就可以用正态近似 来做，就是认为死亡人数服从和原二项分布的均值方差相同的正态分布，结用正态函数表示。概率为 P（X ≤10）=
(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（
）=Ф（ ）
(3)P(X<=n)= Φ((n-10)/2)= 可得n=，则保用年限至多为6年。
Excel：
SPSS：
9.某种电开关寿命(年)具有失效率K＝1/2的负指数分布。若有100 个此种开关装在不同系统中，那 么在第一年最多有30 个失效的概率是多少 解： 1个开关在第一年的失效率是X～Exp。P(X<1)≈。100个开关有第一年有30个失效的概率服从Y～ B(100,。则 P(Y<=30)≈。 Excel：
(3)由于 p＝，假如 n=5000，则 np＝<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非 常大的误差。当 n≧10,p≦时，就可以用泊松公式计算。 4. 某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品，在总收购量中甲、乙、丙三厂的产品各
占40％、35％和25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、2％和3％。若从总购量中任取1 件
检查，问：
(1)该件产品是次品的概率是多少 (2)如果抽到的产品是次品，那么所抽到的产品恰好是甲厂生产的概率是多少恰好是乙厂和丙厂生 产的概率各是多少 解：
（1） 抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=% （2） 恰好是甲厂的概率为：P甲=40%×1%/%=%
恰好是乙厂的概率为：P乙=35%×2%/%=% 恰好是丙厂的概率为：P丙=25%×3%/%=%
第一部分 统计基础与概率计算（共10题，10分/题）
1. 某人在每天上班途中要经过 3 个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独 立的，且红灯持续 24 秒而绿灯持续 36 秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值 和方差、标准差。 解：读题可知每个 路口遇到红灯的概率是 P=24／（24+36）= 假设遇到红灯的次数为 X，则，X～B（3,），概率分布如下 0 次遇到红灯的概率 P0=（）3= 1 次遇到红灯的概念 P1=（）2*= 2 次遇到红灯的概念 P2=（）*= 3 次遇到红灯的概念 P3== 期望：E（x）=nP=*3= 方差：D(X)=δ2=nPq=*3*=
百度文库
3. 对题 2 的资料，试问：
（1）可否利用泊松分布来近似计算
（2）可否利用正态分布来近似计算
（3）假如投保人只有 5000 人，可利用哪种分布来近似计算 解： (1)由于泊松分布的特点为，当二项分布的 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中 λ 为
np。通常当 n≧10,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算
λ= np=20000×=10
P(X≤10) =P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=
=.58304
比较两题的结果，可以知道泊松分布适用于此题。
(2)可以。尽管 p 很小，但由于 n 非常大，np 和 np(1-p)都大于 5，二项分布也可以利用正态分布 来近似计算。本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，即有 X～N(10,。相应的概率为：P(X ≤＝，P(X≤＝。可见误差比较大。
响，且实验结果试验次数无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，因此这 种假定合理。 (2) 下雨概率P=2/30=，设下雨天数＝X，X～B(30， 则最多有两天的概率为 P(X≤2)＝
6.应用普哇松分布计算500 人中至多有1 人在元旦出生的概率(假定1年是365 天)。
解： 至多有一人在元旦出生，换句话说就是 500 人当中没有人，或者只有一个人在元旦出生的概率。
标准差：
2. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有 20000 人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之 5。 保险费每人 50 元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额 50000 元。试求未来一年该保险公司 将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：
（1）至少获利 50 万元的概率； （2）亏本的概率； （3）支付保险金额的均值和标准差。
5. 据某地过去气象记录，在 11 月的 30 天中平均有 2 天是雨天，假定 11 月每天是否下雨如同 重复试验一样服从二项分布。 (1)这种假定是否合理 (2)接二项分布计算，次年 11 月最多有 2 天是雨天的概率是多少 解： (1) 按照题意，在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨，而且两种结果发生与否互相对立互不影
（2）亏本的概率就是死亡人数大于 20 人的概率，思路如上 P（X＞20）=1-P(X≤20)=
(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)] 1/2=50000×(20000××1/2＝158074（元）
P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=
=
7.已知生产产品时废品的概率为，现每盒装100 个产品。问： (1)在1 盒中没有废品的概率是多少 (2)在1 盒中有1 个废品的概率是多少 (3)若要求以99％的概率保证每盒有100 个合格品，每盒至少要装多少产品 解： （1）设盒中废品数量＝X，因此，X～B(100，
(1)整批小型装置不小于9 年的比重是多少
(2)整批小型装置不小于11 年的比重是多少
(3)如果工厂规定在保用年限期间遇有故障可免费换新，今要求免费换新率限制在3％以内，保用年
限有多长
解： （1）设比重为 Y 年
F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（
=1-Ф（
查正太表知道Ф（ ）= 所以 F(Y≥9)=
P（X=0）=
(2)P（X=1）=
(3) 设每盒产品为n个，合格品数量服从二项分布：X～B(n， P(X≥100)≥0. 99 或P(X＜100)≤ 根据中心极限定理，二项分布的正态近似
8.某厂生产一批小型装置，设已知该小型装置的平均寿命为10 年，标准差为2 年。如果该小型装
置的寿命服从正态分布，问：
死亡人数不能超过 10 人，精确点就是用二项分布来做，但是由于 20000 这个数比较大，就可以用正态近似 来做，就是认为死亡人数服从和原二项分布的均值方差相同的正态分布，结用正态函数表示。概率为 P（X ≤10）=
(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（
）=Ф（ ）
(3)P(X<=n)= Φ((n-10)/2)= 可得n=，则保用年限至多为6年。
Excel：
SPSS：
9.某种电开关寿命(年)具有失效率K＝1/2的负指数分布。若有100 个此种开关装在不同系统中，那 么在第一年最多有30 个失效的概率是多少 解： 1个开关在第一年的失效率是X～Exp。P(X<1)≈。100个开关有第一年有30个失效的概率服从Y～ B(100,。则 P(Y<=30)≈。 Excel：
(3)由于 p＝，假如 n=5000，则 np＝<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非 常大的误差。当 n≧10,p≦时，就可以用泊松公式计算。 4. 某企业收购进甲、乙、丙三厂生产的同样规格的产品，在总收购量中甲、乙、丙三厂的产品各
占40％、35％和25％。甲、乙、丙三厂生产的次品率分别为1％、2％和3％。若从总购量中任取1 件
检查，问：
(1)该件产品是次品的概率是多少 (2)如果抽到的产品是次品，那么所抽到的产品恰好是甲厂生产的概率是多少恰好是乙厂和丙厂生 产的概率各是多少 解：
（1） 抽检到次品的概率为P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=% （2） 恰好是甲厂的概率为：P甲=40%×1%/%=%
恰好是乙厂的概率为：P乙=35%×2%/%=% 恰好是丙厂的概率为：P丙=25%×3%/%=%
第一部分 统计基础与概率计算（共10题，10分/题）
1. 某人在每天上班途中要经过 3 个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独 立的，且红灯持续 24 秒而绿灯持续 36 秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值 和方差、标准差。 解：读题可知每个 路口遇到红灯的概率是 P=24／（24+36）= 假设遇到红灯的次数为 X，则，X～B（3,），概率分布如下 0 次遇到红灯的概率 P0=（）3= 1 次遇到红灯的概念 P1=（）2*= 2 次遇到红灯的概念 P2=（）*= 3 次遇到红灯的概念 P3== 期望：E（x）=nP=*3= 方差：D(X)=δ2=nPq=*3*=
百度文库
3. 对题 2 的资料，试问：
（1）可否利用泊松分布来近似计算
（2）可否利用正态分布来近似计算
（3）假如投保人只有 5000 人，可利用哪种分布来近似计算 解： (1)由于泊松分布的特点为，当二项分布的 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中 λ 为
np。通常当 n≧10,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算
λ= np=20000×=10
P(X≤10) =P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=
=.58304
比较两题的结果，可以知道泊松分布适用于此题。
(2)可以。尽管 p 很小，但由于 n 非常大，np 和 np(1-p)都大于 5，二项分布也可以利用正态分布 来近似计算。本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，即有 X～N(10,。相应的概率为：P(X ≤＝，P(X≤＝。可见误差比较大。
响，且实验结果试验次数无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，因此这 种假定合理。 (2) 下雨概率P=2/30=，设下雨天数＝X，X～B(30， 则最多有两天的概率为 P(X≤2)＝
6.应用普哇松分布计算500 人中至多有1 人在元旦出生的概率(假定1年是365 天)。
解： 至多有一人在元旦出生，换句话说就是 500 人当中没有人，或者只有一个人在元旦出生的概率。
标准差：
2. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有 20000 人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之 5。 保险费每人 50 元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额 50000 元。试求未来一年该保险公司 将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：
（1）至少获利 50 万元的概率； （2）亏本的概率； （3）支付保险金额的均值和标准差。
5. 据某地过去气象记录，在 11 月的 30 天中平均有 2 天是雨天，假定 11 月每天是否下雨如同 重复试验一样服从二项分布。 (1)这种假定是否合理 (2)接二项分布计算，次年 11 月最多有 2 天是雨天的概率是多少 解： (1) 按照题意，在每次试验只有两种结果下雨或者不下雨，而且两种结果发生与否互相对立互不影
（2）亏本的概率就是死亡人数大于 20 人的概率，思路如上 P（X＞20）=1-P(X≤20)=
(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)] 1/2=50000×(20000××1/2＝158074（元）
P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=
=
7.已知生产产品时废品的概率为，现每盒装100 个产品。问： (1)在1 盒中没有废品的概率是多少 (2)在1 盒中有1 个废品的概率是多少 (3)若要求以99％的概率保证每盒有100 个合格品，每盒至少要装多少产品 解： （1）设盒中废品数量＝X，因此，X～B(100，
(1)整批小型装置不小于9 年的比重是多少
(2)整批小型装置不小于11 年的比重是多少
(3)如果工厂规定在保用年限期间遇有故障可免费换新，今要求免费换新率限制在3％以内，保用年
限有多长
解： （1）设比重为 Y 年
F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（
=1-Ф（
查正太表知道Ф（ ）= 所以 F(Y≥9)=
P（X=0）=
(2)P（X=1）=
(3) 设每盒产品为n个，合格品数量服从二项分布：X～B(n， P(X≥100)≥0. 99 或P(X＜100)≤ 根据中心极限定理，二项分布的正态近似
8.某厂生产一批小型装置，设已知该小型装置的平均寿命为10 年，标准差为2 年。如果该小型装
置的寿命服从正态分布，问：