公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 _______
教学目标：
1、 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程
2、 通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想
3、 通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度
4、 能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况
5、 培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点：
1、 求根公式的推导和用公式法解一元二次方程
2、 会用判别式判定一元二次方程根的情况 教学难点：
1、正确理解“当b 2 4ac 0时，方程ax 2 bx c 0(a 0)无实数根
2、运用判别式求岀符合题意的字母的取值范围 、学习新知，推导公式
我们以前学过的一元一次方程
ax b 0 (其中a 、b 是已知数，且a 工0)的根唯一存在，
.
b 2
它的根可以用已知数 a 、b 表示为x
，那么对于一元二次方程 ax bx c 0 (其中a 、
a
b 、
c 是已知数，且 a ^ 0)，它的根情况怎样？能不能用已知数 a 、b 、c 来表示呢？我们用配方
法推导一元二次方程的求根公式
解：
ax 2 bx c 移常数项
x 2 b x -
方程两边同除以二次项系数(由于 a ^ 0，因此不需要分类讨论)
a a 2 b
b 2 c
b 2 x -x ()
-() 两边配上一次项系数一半的平方
a 2a a
2a
b 2 b 2 4ac
2
(x )2
2
转化为(x m)2 n 的形式
2a 4a
注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。

因此对上面这个方程要进行讨论 因为a 0所以
4a 2 0
用配方法解一元二次方程
2
ax bx c 0(a
0)
(i )当b2 4ac 0 时,
4a
°。

利用开平方法，得x —
2a b24ac
4 a2
b24ac
4a2
所以b V b4ac x
2a
(2) 当b24ac 0 时,b 4ac 0。

在实数范围内，x取任何值都不能使方程
4a
(x b)2
2a
b2 4ac
寸左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。

元——次方程ax2
bx
c 0(a 0)，当b2 4ac 0时，它有两个实数根:
b VD 4a
c x
2a (a 0,b2 4ac 0)
这就是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式. 问题：i、在求根公式中，如果b24ac 0时，根的情况如何?
2、如何用求根公式求一元二次方程的根?
解答:
i、如果b2 4ac 0，那么方程有两个相等的实数根，即
2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果
式求岀方程的根，如果b2 4ac 0
式法.
二、利用公式引导判别式:
利用求根公式b b2 4ac
2a
X i X2
b2
2a
4ac 0，那么可代入公，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做
可以解任何一个一元二次方程
2
ax bx c 0( a 0).
2
(i)当b 4ac 0时，方程的根是
b .b2 4a
c b b2 4ac X i 2a 2a
2
(2)当b24ac 0时，方程的根是x i
(3)当b2 4ac 0时，方程没有实数根
提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况?
1
、
定义：我们把b2 4ac叫做一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的根的判别式，通常用符"△”表示，记作△=b2 4ac.
2、一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0),
当厶=b24ac0时, 方程有两个不相等的实数根;
2
当厶=b24ac0时, 方程有两个相等的实数根；
当厶=b24ac0时, 方程没有实数根.
例题精讲：
例1：用公式法解下列方程：
(1) 5x26x 1 0(2) 1) x(x 2)
1
解(1 )原方程中 a 5,b 6,c
1
，
1
一或x
5 所以，原方程的根是X
1 1
,X2 1 5
(2 )把原方程化为一般式,
其中a ,2 1,b 2,c .2 1
3 2、2
注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定
符号。

a、b、c的值，并且注意a、b、c 的例2、不解方程, 判别下列方程的根的情况:
2 (1) 4x 5x
2
(2) 2x 4x 3
；
(3) 2x2 3 2 6x.
解：( 1)T (5)2 4 4 ( 3) 73 0
原方程有两个不相等的实数根
2
(2 )•••42 4 2 3 8 0
原方程没有实数根
(3)原方程可化为2x22、.6X 3 0
(2、、6)2 4 2 3 0
•••原方程有两个相等的实数根
2
例3、关于X的方程X（m 1）X m 0 （其中m是实数）一定有实数根吗
因为m是实数，所以（m 1）2 0，即0.
所以，此方程一定有实数根
基础训练
、求下列方程中b2 4ac的值:
三、用公式法解下列方程:
四、解答题:
1、当q 0时，请你判断关于X的方程PX q 0的根的情
况。

?为什么？
解: 2
(m 1) 4 1 ( m)
厶
1、X
6X 5
2
3、2X23X
1 21
5、一—X
42
2
7、X q i
16 0
1、
2 2X 5X
3、5、7、
判断下列方程根的情况:
X2 2、、2x 3 0
4、、
2X；
X
2X 1
6、X
2
8、X(V
-21
2、3X X —
2
’ 2
4、4X12X
6、-3X2 3X
X2 5 0
1、X2 2 2x 2 0
2、2X
3、
2
2X 2X 2 0 4、9X212X 2
5、4X2 4 \ 2X 1
6、9X2 6. 6X 0
2
二、不解方程,
2
.3 0
9 0
2 X
X2 8X
2
2、关于x的方程x (m 2)x 2m 0一定有实根吗？为什么？
2
3、如果关于x的一元二次方程kx 6x 9 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围
能力提高
一、用公式法解下列一元二次方程：
2
1、4x 1 8x
2、3x(3x 4) 1
3、9x(x 1) 3x 1
4、4x(2 x . 3) 1 0
二、解答题：
2
1、关于x的方程mx (m 3)x 3 0 一定有实数根吗？为什么？
2
2、关于x的一元二次方程(k 4)x 2x 1 0
(1)若方程有两个实数根，求k的取值范围；
(2)当k是怎样的正整数时，方程没有实数根。

思维拓展
2
1、已知a、b、c是厶ABC的三边，判断方程cx 2(a b)x c 0的根的情况。

课后作业
、用求根公式法解下列方程：
1、x2 5 2 5x2
2、x2x 1 0
3、x2 3x 2 0
1
4、x
2
12x2
5、8x2 1 (3x 1)(2 x 3)
6、2x235x
、求证：不论k为任意实数，方程
1 2 2
-x (2 k 1)x 3k
2
20没有实数根。