一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性
一类捕食-食饵模型非常数正解的存在性
第２ ８期
２１ ００年 １ ０月
科
学
技
术
与
工
程
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１７ － １ １ （０ ０ ２ ．９ ３０ ６ １ ８ ５ ２ １ ）８６ ６ ． ５ ． ．
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力 学就 是通 过 对 所 研 究 的生 态 问题 （ 群 与环 境 、 种 种群 与种 群 之 间 的 相 互 作 用 ） 行 大 量 的实 验 ， 进究 建 生态 系统 的一 门学 科 ， 生 物 数学 研 究 的 一 个重 要 是
生态 流行 病 学 作 为 生 物 数 学 研 究 的一 个 新 的
讲 ， 以根 据 生 态 系 统 的实 际情 况 ， 过 建立 数 学 可 通 模 型 的方法 来 达 到定 量 、 性 分 析 的 目 的 ， 而 预 定 从 测其 发 展变化 ， 到 未 雨绸 缪 的效 果 。其 中种 群 动 达
究 都 是基 于 经 典 的 Ｋ ｒ ａｋＭａｅｄ ｅ ｅｍ ｃ． ｋｎｆ ｋ模 型 的 ， ｉ 这
个 模 型预测 了复杂 的 动力 学 行 为 ， 同时 通 过理 论 和 现 场 实验 证 实 了生 态 流 行 病 受 空 间 因 素 的影 响 是 很 重要 的许 多结 论 。
论 的研 究 中 占有 非 常 重 要 的地 位 ， 已被 广 泛 关 注 。 以后 的许多 学者 在对 其 进 行 不 断 改进 、 发展 和完 善 的基础 上给 出 了许 多 适 合 实 际 的 、 切 合 实 际 的模 更
般情 况下 ， 典 的病 毒传 播 模 型 是 通过 建 立 经
一类捕食系统正解的存在性和唯一性
一类捕食系统正解的存在性和唯一性
阿里甫
【期刊名称】《新疆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(010)002
【摘要】本文讨论以下的一类捕食系统,即一类弱耦合椭圆型偏微分方程组的零边值问题 -d_1Δu=au-a_1u^2-a_2f_1(u)v -d_2Δv=bv-b_1v^2+b_2f_2(u)v x∈Ω u=v=0 x∈(?)Ω其中d_1,d_2,a_1,a_2,b_1,b_2都是正常数,a和b是可变实参
数,Ω为R^n中的边界光滑的有界区域,f_i(i=1,2)满足一定的增性条件,我们利用上、下解、分歧和解耦的方法证明方程组(0.1)正解的存在性和唯一性。
【总页数】7页(P45-51)
【作者】阿里甫
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】Q141
【相关文献】
1.一类捕食系统解的存在性与唯一性 [J], 马晶;容跃堂
2.随机半比例型捕食与被捕食系统正解的存在性及唯一性 [J], 韩七星;李秋月;罗英语
3.一类种内相食捕食系统非常数正解的存在性 [J], 查淑玲;李艳玲
4.一类带交叉扩散项的食饵-捕食系统的正解的存在性 [J], 侯秀梅
5.一类三种群捕食系统正解的存在性 [J], 沈林; 王术
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一类捕食者-食饵模型的周期解与稳定性
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（，） ．０ × ｔ ∈（ ，］ ． ｒ 本文中， 我们将使用含时滞抛物型微分方程上下解的
概念 和如下一 些 引理 ：
含时滞和扩散的捕食者一食饵模型， 并对其周期性等渐近
一类具有多时滞捕食-被捕食系统正周期解的存在性
２ ０ ，８ １： ９ ０ ５ ０ ８２ Ａ（） ３ — ４ ０
数学物理学报
一
类具 有 多 时 滞 捕食 一被 捕 食 系 统 正周 期 解 的存 在 性
一
徐 文雄
张太雷
徐 宗本
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（ 西安交通大学理 学院 西安 ７ ０ ４ ； 新疆大学数学与系统科 学学院 乌鲁木齐 ８ ０ ４ ） １ ０ ９ ３ ０ ６
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根据系统 （ 的生物学意义， Ⅳ （ ， ２ ）∈ 车 则结论显然成立．证毕． １ ） （ １ ） （ ） Ｒ ， ０Ⅳ ０
３ 正周期解 的存在性
为 了以后讨 论方便 ，我 们引入如 下记号
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收 稿 日期 ：２ ０ — ８１ ； 订 日期 ：２ ０ — ７２ ０ ６０ — ４ 修 ０ ７０ —７
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基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ７ １ ３ １ ９ ）和国家 自然科学基金重点项 目 ｆ０ ３ ０ ０ １ ５ １ ３ ）资助
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性李周红;杨成莲【摘要】应用重合度延拓定理和一些不等式技巧，研究了一类时间尺度上带有收获项的三种群捕食-食饵系统，得到其至少存在八个正周期解的充分条件，并用一个例子验证了所得结果的有效性。
%In this paper,a general class of predator-prey system with harvesting terms on time scales is studied by u-sing Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory and some skills of inequalities.The sufficient condition is established for the existence of at least eight positive periodic solutions.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2016(032)008【总页数】10页(P1-10)【关键词】时间尺度;正周期解;重和度;捕食-食饵系统;收获项【作者】李周红;杨成莲【作者单位】玉溪师范学院数学系，云南玉溪 653100;腾冲市明光中学，云南腾冲 679103【正文语种】中文【中图分类】O175.13一直以来，许多研究者致力于食饵-捕食生态系统动力学特征的研究，它是生态学、生物数学的研究热点，而功能性反应函数在食饵-捕食系统的研究中扮演着重要的角色[1,2]．生态系统周期解的存在性和多解性是生物数学研究的重点问题,通过不断努力，目前得到了许多新成果．现实中由于诸多环境因素(如天气、气候、季节、食物供给等)影响着周期性的变化，因此在带有收获项的捕食-食饵系统中参数就不可能保持是常数，变成了关于时间的函数，从而出现连续和离散的周期现象[3～5].1990年，时标(time scales)理论提出了将离散和连续情形同时进行讨论，是一种连续和离散计算的统一方法，在种群系统中，种群的发展过程既有连续时刻，也有离散时刻，因此，利用时间尺度理论使得讨论的种群模型更符合现实.目前，已有一些学者对此进行了研究，如文献[6,7].受以上思想启发，本文将讨论一类时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统多个正周期解的存在性问题.2014年，陆地成、王奇、张友梅[8]讨论了如下有收获项的捕食-食饵系统：其中，i(t)(i=1,2,3)分别表示三种群各自的种群密度，ai(t)分别表示i(t)的内秉增长率，bi(t)分别表示i(t)同种群之间的种内竞争率，ej(t)表示j(t)(j=2,3)不同种群之间的种间竞争率，hi(t)分别表示i(t)各自的收获项[8].另外ai(t)，bi(t)，hi(t)，cj(t),dj(t),ej(t),αj(t),βj(t),γj(t),T1(t),T2(t)都是R+上的严格正的ω-周期有界连续函数.对系统(1)通过欧拉变换，则可转化为如下离散系统：其中i=1,2,3，j=2,3，且ai:Z→R+,bi:Z→R+,hi:Z→R+,cj:Z→R+,dj:Z→R+,ej:Z→R+,αj:Z→R+,βj:Z→R+,γj: Z→R+,T1:Z→Z+,T2:Z→Z+,由于以上参数均为非负周期函数，则有由于知识有限，据我们所知，目前还没有文献讨论过如下时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统：其中，ai(t)>0，bi(t)>0，hi(t)>0，cj(t)>0,dj(t)>0,ej(t)>0,αj(t)>0,βj(t)>0,γj(t)>0,T1(t)≥0,T2(t)≥0(i=1,2,3;j=2,3),t ∈t∈,u∈R.当t∈=Z时，系统(3)则化简为系统(2)，当t∈=N时，系统(3)则化简为系统(1). 本部分先介绍一些需知的引理和定义及标记,有关时间尺度知识可参见文献[9～11]. 定义1[12] 一个函数f:t∈→R称作是右稠密连续的，如果它在t∈中的右稠密点是连续的，且在t∈中的左稠密点的左极限是存在的．如果f在每一个右稠密点与左稠密点均是连续的，则称f是t∈上的连续函数．我们定义C[J,R]={u(t)∶u(t)是J 上连续的}，以及C1[J,R]={u(t)∶uΔ(t)是J上连续的}.定义2[12] 对于y:t→R，其中t∈t∈k，我们定义y(t)的delta导数yΔ(t)，是这样一个(如果它存在)具有如下性质的数：对于给定的>0，存在t的一个邻域U使得对于所有的s∈U都成立.如果y是连续的，那么y是右稠密连续的，如果y在t是delta可微的，那么y在t上是连续的[12].如果y是右稠密连续的，令YΔ(t)=y(t)，则我们定义delta积分如下[12]：定义3[12,13] 令t∈≠R为一个周期为p的周期时标，我们称函数f:t∈→R是ω-周期函数，如果存在一个自然数n使得ω=np,f(t+ω)=f(t)对所有的t∈t∈都成立,并且ω是使得f(t+ω)=f(t)成立的最小的正数.若t∈=R，我们称f是以p>0为周期的，如果ω是使得f(t+ω)=f(t)对所有的t∈t∈都成立的最小的数[12]．定义4[13,14] 我们称一个时标t∈是周期的，如果存在ω>0使得t∈t∈，则t±p∈t∈．对于t∈≠R，最小的正数p称为这个时标的周期.引理1[15] 如果a,b∈t∈，α,β∈R,且f,g∈C(t∈,R)，则；(2)如果f(t)>0，对所有的a≤t<b，则≥0;(3)如果|f(t)|≤g(t)在区间[a,b)∶={t∈t∈∶a≤t<b}上成立，则||≤t.对于重合度延拓定理相关知识见参考文献[15]．引理2(Mawhin延拓定理[10]) 设L是指标为零的Fredholm映射，在是L-紧的，假设(a)对任意的λ∈(0,1)，方程Lx=λN(x,λ)的解满足x∉∂Ω∩DomL;(b)QN(x,0)≠0,∀x∈∂Ω∩KerL;(c)deg{JQN(x,0),Ω∩KerL,0}≠0.则方程Lx=N(x,1)在内至少有一解.为方便行文，我们给出如下记号：κ=min{[0,∞)∩t∈},Iω=[κ,κ+ω]∩t∈, g(t),,其中g∈C(t∈,R)是一个ω-周期函数，即对任意的t∈t∈,g(t+ω)=g(t)．假设以下条件成立:.其中:, , , .引理3[16] 设x>0,y>0,z>0且,函数和,如下条件成立:(1)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间x∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.(2)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间y∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.(3)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间z∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.引理4 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，则有如下不等式成立：证明根据引理3,可知不等式恒成立.定理1 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，则系统(3)至少存在8个正ω-周期解.因X=Z={u=(u1,u2,u3)T∈Crd(t∈,R3)∶ui(t+ω)=ui(t)}且‖u‖|ui(t)|,u∈X或Z(0,1).其中因为KerL={u∈X∶(u1,u2,u3)T=(h1,h2,h3)T∈R3,∀t∈t∈}=R3，，ImL为Z中的闭子集Dim KerL=3=codim ImL,并且P,Q有ImP=ImL，KerQ=ImL=Im(I-Q).因此L是指标为0的Fredholm映射，进一步定义L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL为:显然，QN，Kp(I-Q)N是连续映射，且)对任意的有界开集Ω∈X是紧的，因此，N对任意的有界开集Ω∈X在上是L-紧的.为了应用引理2我们需要至少找到X中的有界开集Ω1，Ω2，Ω3，Ω4，Ω5，Ω6，Ω7，Ω8.因此考虑对应算子的方程：u∈X是系统(4)的周期解，λ∈(0,1)，u(t)∈X,∃ξi,ηi∈Iω(i=1,2,3),有由(5)知≤b1(ξ1)eu1(ξ1)+h1(ξ1)e-u1(ξ1)≤≤，即:，同理，同理，同理.类似地，≤a1(ξ1)≤即：，解得：或，同理或或，同理或或，同理或因，有或,对任意的t∈R,有或；同理因，有或,对任意的t∈R,有或；同理因，有或,对任意的t∈R,有或；显然都不依赖于λ，令；；；；；；；.其中算子方程Lu=λN(u,λ)的每个解u∈Ωi∩DomL,因为Ωi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)是X中的有界开子集，并且存在u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R3.QN(u,0)≠(0,0,...,0)T，i=1,2,3, (8)由积分中值定理，则存在t∈[0,ω]使得：解之得：或；或；或；u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R3(i=1,2,3,…,8)，这与假设u∈∂Ωi∩R3是矛盾的.定义φ:DomL×[0,1]→X,φ(u,μ)=μQN(u,0)+(1-μ)G(u),μ∈[0,1],.考虑代数方程可得：).其中：， .则；；；所以，因为KerL=ImQ,此外，J=I(是恒等算子)，设.deg{JQN(u,0),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=deg{φ(u,1),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=sign[c1,c2,c3]其中：c1=-b1(t1)ex*+h1(t1)e-x*,c2=-b2(t2)ey*+h1(t1)e-y*,c3=-b3(t3)ez*+h3(t3)e-z*deg{JQN(u,0),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=sign[c1,c2,c3]=±1≠0故,引理2的所有条件都满足,定理证明完毕.综上所述，Ωi(i=1,2,3,…,8)满足延拓定理的三个条件，所以，由定理1知，系统(3)至少存在8个不同的正周期解.例考虑如下时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统:令a1(t)=6+sint，a2(t)=3+cost，a3(t)=5+sint，c1(t)=c2(t)=c3(t)=2+sint，γ2(t)=21+sint，γ3(t)=21+c ost,e1(t)=(1+sint)/40，e2(t)=sint/1 000，e3(t)=cost/100，d1(t)=d2(t)=d3(t)=sint，h1(t)=2+cost,h2(t)=(3/10)sint，h3(t)=(3/10)sint,β1(t)=β2(t)=β3(t)=2+sint.若t∈=R，由系统(7)有：令i(t)=eu1(t)(i=1,2,3)则系统(7)为:证明通过计算，容易得,..因此，系统(7)的所有系统满足条件(H1)～(H3),也即满足定理1的所有条件.故系统(7)存在8个正周期解,其中,,；；；；；；；.综上所述，系统(7)至少存在8个正的周期解.【相关文献】[1]李周红，张玮，孙媛花.带收获项的非自治捕食-被捕食相互作用模型的多重正周期[J].玉溪师范学院学报,2010(8)：1-7.[2]鲁慧媛.一类具有Holling-Ⅱ型离散非自治一个食饵两个捕食系统的周期解存在性[J].玉溪师范学院学报,2012(12)：1-7.[3]X.A.Zhang,L.S.Chen,A.U.Neumann,The stage-structured predator-prey model and optimal harvesting policy[J].Math.Biosci.,2000(168):201-210.[4]C.W.Clark,Mathematical Bioeconomics:The Optimal Management of Renewable Resources,Pure and Applied Mathematics[M].JohnWiley and Sons,New York,NY,USA,2nd edition,1990.[5]J.L.Troutman,Variational Calculus and Optimal Control [M].Undergraduate Texts in Mathematics,Springer,New York,NY,USA,2nd edition,1996.[6]K.H. Zhao, D. Ding,Multiple periodic solutions for a general class of delayed cooperative systems on time scales[J].WSEAS Transactions on Mathematics,2013，10(12)：957-966.[7]Bohner M，Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales：An Introduction with Applications[M].Boston：Birkhauser，2001.[8]陆地成，王奇，张友梅.一类捕食-食饵系统的八个正周期解问题[J].佳木斯大学学报:自然科学版,2014,32(1):143-146.[9]M.Bohner，A.peterson,Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications[M].Birkh user,Boston,Mass,USA 2001.[10]M.Bohner，A.peterson,Advances in Dynamic Equations om Time Scales[M].Birkh user,Boston,Mass,USA 2003.[11]S.Hilger,Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J].Results in Mathematics,Resultate der Mathematik,1990(18):18-56.[12]李周红,白丽艳,杨晨曦.时间尺度上Duffing-型p-Laplacian方程周期解的存在性[J].玉溪师范学院学报,2011(8):1-8.[13]Bohner M,peterson A,Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh user,2001.[14]张莉,张立新,葛渭高.时标上一类具有反馈控制的人口模型周期解的存在性与唯一性[J].数学的实践与认识.2013(13):255-259.[15]R.Gaines,J.Mawhin,Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M].Springer Verlag,Berlin,1977.[16]Z. H. Li, Existence of multiple positive periodic solutions two species parasitical model with impulsive effects and harvesting terms[J]. Discrete Dynamic in Nature and Society, 2013, ID:198927,1-9.。
一类捕食-食饵模型解的存在性和稳定性
一类捕食-食饵模型解的存在性和稳定性张聪晖;王治国;李艳玲【摘要】在齐次Dirichlet边界条件下,研究了一类捕食-食饵模型.证明了局部分歧解的存在性;将局部分歧延拓为整体分歧,刻画出分歧解随参数的整体走向,并且讨论了局部分歧解的稳定性;通过数值模拟分析验证了理论分析的结果.%The predator-prey model is investigated under homogeneous Dirichlet boundary conditions.Firstly,the existence of the local bifurcation solutions is proved.Secondly,the local bifurcation can be extended to global bifurcation and the jumps of the bifurcation solutions are established,meanwhile,the stability of the local bifurcation solutions are discussed.Finally,some numerical simulations are shown to support the analytical results.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(045)001【总页数】7页(P6-12)【关键词】捕食-食饵;分歧;稳定性;数值模拟【作者】张聪晖;王治国;李艳玲【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O175.26MR subject classification: 35K57近年来,Allee效应受到了国内外生态学家和数学家的关注[1-7]。
一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性
关键词： 捕食 一 食饵；扩散；分歧；惟一性 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３ Ｋ５ 中图分类号：Ｏ１５２ 文献标识码：Ａ ５ ７ ７ ．６ 文章编号：１ ０—９ ８２ １ ）１１６１ ０ ３３ ９ （０ １０ —９ —０
１ 引言
本文考 虑如 下反应扩 散 系统
ｆｋ （“Ｔ － ＝一一 ／ 。 ｕ
Ｎ． ｏ１
郭 改慧 等：一类 具有扩 散 的捕食 一 饵模 型正解 的 存在性 和惟 一性 食
１７ ９
的存在 性．文 献 ｆ 进 一步 讨论 了该类 模 型，得到 了正解 存 在的 充分条 件，并在 一维情 况 下 ３ １ 给 出 了正解 的惟 一性 ． 目前，对 于带 Ｂ Ｄ反 应项 的捕食 一 — 食饵 模型 的研 究 已有一些 工作 ．文 献 ｆ 利 用特征值 ４ ］ 变 分原理 得 到 了正 解存 在惟 一 的充分条 件 ，但是 此条 件 比较复 杂 ，实现 起来 比较 困难．将参 数 ａ限制在 一 定的范 围 内，文 献 ｆ 利 用分歧 理论 给 出了正解 的 整体分 歧结构 ．文 献 【 讨 ５ ］ ６ ］ 论 了 ｍ 或 充分大 的情况 ，给 出了正解 的 多重性 和惟一性 ． 齐次 Ｎ ｕ ｎ 在 ｅ ｍａ ｎ边界条 件下 ， 文 献 『 利用 度理论 得 到了非 常数 正解 的存在性 ． ７ １ 本 文主 要研 究方程 （） １ 正解 的存在 性和 惟一性 ． 首 先给 出一些 预 备 知识 ． 固定 （ ｉ ０ 记 Ｘ 一 ｛ ∈ Ｃ 。 ） （ ）＝ ０ ｔ＞ ， “ 抖 （ ： ．ｚ ∈ 【 ． ２ ｝ 定 义 中的范 数 为通 常 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ｃ ＋ （ “ ）中的 范数 ，则 是 Ｂ ｎ ｃ 空间 ．记 ａ ａｈ Ｐ＝｛ ∈Ｘ ： （ ） ， ∈ｆ Ｏ ｕｘ ＞０ ｔ ｕ＜０ ｚ∈ｏ ， Ｐ 为 中的 正锥 ．对 任意 ｑｘ ∈Ｃ“ｆ） ； ， ａ｝则 （） （ ， ｔ 令 ｌｑ ＜ （） 入 （） … 是 特征 值问题 （） ２ｑ ３ｑ △ ＋ｑｚ ＝ ，Ｘ∈Ｑ， ＝ ０ （） ， ∈ Ｑ 的全部特 征值 ． 由文献 ［ 知 ，Ａ （） ８ １ ｑ 是简 单的， 且 １ｑ 关于 ｑ 格 单调递 增 ． （） 严 因此 当 ｑ ｑ ｌ ２ 且 ｑ ≠ ｑ ， １ｑ）＜ （ ） 为方便起 见，简记 （） ｌ ２时 （１ １ｇ ． ２ ０ 为 ．不妨设 ｌ ０为 主特征 值 ＞
一类时滞模型周期正解的存在性问题
２ ） ｎ） １兰 （ ＝ （ｚ ） 一 （［
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２ ￡＝ｚ￡［（） （ ） （）ｎ￡一∑ｂ ￡ （一 ）］ ｌ） ￡ ｒ ） （
以及 乘 积 型 Ｌ ｇｓｉ ； 程 ［ １ ｏｉ ｃ ｈ ｔ － １］
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第１ 卷 第３ ９ 期
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文 章 编 号 ：０ ５３ ８ （ ０ ２ ０ —０ １０ １ ０ ．０ ５ ２ ０ ） ３０ ２ —５
一。Βιβλιοθήκη 非 线 性 泛 函分 析 中 的一 些 理 论 与 方 法 ， 拓 扑 度 理 论 ［ ， ］ 不 动 点 方 法 ［ 迭 合 度 理 如 １２ ， ，
论 ｌＪ 都 是研 究 周 期 解 的 重要 工 具 ， 已有 不少 结 果 ， 文 ［ ３等 并 见 ４～８ 等 。 文 ［ ］ 用 迭 合 度 理 ］ ７利
］
基金项目 ｏＱ９ １ 墼 日 ２０－ － ． 作者简介： 期： ５５ 蒲志林（９３ １ 年４ ６ 月生）男， ， 博士， 副教授
： 川 省教 育 厅重 点基 金资 助 ． 四
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学
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第 １ ９卷
但 是 ， 外 还 有 一 些 模 型 ， 红 血 球 再 生 模 型 ［， ］ 另 如 ６１ ２
散模 型 的 稳 定 性 和一 致 持 久 性 ， 关 于 这 一 模 型 方 程 的 周 期 解 的存 在 性 问 题 ， 未见 有 关 的 而 尚 结 果 。 文 以 非 线 性 锥 映 射 拓 扑 度 为 工 具 ， 先 建 立 了 一 般 模 型 （ ）存 在 正 周 期 解 的 条 件 ， 本 首 ２ 并将 所 得 结 果 应 用 于 Ｎｉｈ ｌ ｎ Ｓｂｏ ｌ ｓ模 型 （ ） 证 明 了 在 周 期 环 境 下 ， ｃ ｏｓｎ Ｓ ｃ ｏｓ ’ ｌ ｉ ｏ ｗｆｅ ８ ， Ｎｉ ｌ ’ ｈ ｏ ｂｏ ｌ ｓ 型 方 程 （ ）存 在 周 期 解 。 ｌｗｆｅ 模 ｉ ８
一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性
作者简介 ： 李海 侠 （ １ ９ ７ ７ 一） ， 女， 陕 西 宝 鸡人 ， 讲师 ， 博士 ， 研究方 向： 偏 微 分 方 程计 算 及其 可视 化
第 ４ 期
李海侠 ： 一 类 具 有 扩 散 的捕 食 一 食 饵 模 型 正解 的存 在 性
・ｌ ８ ３・
间和 捕食 者对 第二 个 食 饵 的 每单 位 捕 食 量 的消 化
第 ３ ３卷
第 ４期
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ａ ｎ ｘ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ４
Ａ ｕｇ ．２ ０１ ５
饵模 型 ． 文献 ［ ８ ］ 利 用不 动 点 指 数 和分 歧 理 论 得 到 了共存 解存 在 的充分 和必要 条件 ． 文献 ［ ９ ， １ Ｏ ］ 在 齐
次 Ｎｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ边界 条件 下也 研究 了此 类模 型． 为 给 出重要 的结果 ， 首 先给 出一些 预备 知识 ． 引理 １ Ｅ ¨ ］ 令 Ｐ （ ｏ ｒ ） Ｅ Ｃ（ ｎ） ， （ Ｐ） 是 如 下 特 征值 问题 一△ ＋ （ ｚ ） 一 ， ｚ∈ｎ， 一０ ， Ｅ ａ ｎ
统（ １ ） 成 为如下 带 有扩散 的捕食一 食饵 模 型 ：
】 ｌ 一Ａ 甜 一 （ ｒ 一 ） 一— “ 十 Ｔ 十 ， ∈力 ， ｔ ＞０ ，
Ｉ Ｊ 一△ 一 一 曲叫 ， ｚ∈ ， ｔ ＞０ ，
０ 十 叼 下
Ｉ
的主特 征值 ， 则 （ Ｐ ） 连续 依赖 Ｐ， （ ） 是 简单 的．
ＬＩ Ｈａ ｉ — ｘｉ ａ
一类具功能反应函数的食饵-捕食者系统正周期解的存在性及全局吸引性
一类具功能反应函数的食饵-捕食者系统正周期解的存在性及全局吸引性郑冬梅【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(026)003【摘要】The existence of positive periodic solution for a prey-predator system is established by using the coincidence degree theory. Furthermore, by constructing suitable Lyapunov function, the global attractivity of positive periodic solution is obtained.%研究一类具功能反应函数的食饵-捕食者系统正周期解的存在性,并通过构造适当的李雅普诺利夫函数,得到上述系统正周期解的全局吸引性.【总页数】5页(P29-33)【作者】郑冬梅【作者单位】安徽师范大学,数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O175.12【相关文献】1.一类具有Holling Ⅱ型功能性反应的捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 杜明银;雒志学2.一类具有脉冲作用和HollingⅡ型功能性反应的非自治捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王斌;朱勇3.一类具有HollingⅡ型功能性反应的捕食者 -食饵系统正周期解的存在性 [J], 任磊4.时标上带有两个功能反应函数的一类捕食者-食饵模型的正周期解 [J], 杨永燕;闫俊娜5.时标上带有两个功能反应函数的一类捕食者-食饵模型的正周期解 [J], 杨永燕;闫俊娜因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性
一类捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性
郭改慧;吴建华
【期刊名称】《武汉大学学报：理学版》
【年(卷),期】2008(54)1
【摘要】研究了一类带Beddington-DeAngelis反应项的捕食-食饵模型的平衡态问题,给出了正解的存在性和惟一性.利用Leray-Schauder度理论,通过计算锥映射不动点指标,结合极值原理、上下解方法,得到了正解存在的充分条件.并且,利用特征值变分原理给出了正解存在的惟一性条件.
【总页数】6页(P9-14)
【关键词】Beddington-DeAngelis反应项;不动点指标;存在性;惟一性
【作者】郭改慧;吴建华
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类捕食-食饵模型正解的惟一性和稳定性 [J], 常文丛
2.一类带有比率依赖型反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性和多重性 [J], 李海侠
3.一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性 [J], 郭改慧;吴建华
4.一类捕食模型正解的存在性和惟一性 [J], 张艳芳;陈文彦
5.一类带有C-M反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性和唯一性 [J], 李海侠;李艳玲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类捕食-食饵模型正解的存在性
究方 向： 反应扩散 方程及其应用。 ’ 通讯作者简介 ： 李艳玲 （９ ３ ） 女 ， １６ 一 ， 博士 ， 教授 ， 研究方 向 ： 反应 扩散方程及其应用 。Ｅ ｍ ｉｙｎｉ — ａ：ａｌ ￣＠ｓｎ ．ｄ ．ｎ ｎ ｎ ｕ ｅｕ ｃ 。
密度干扰项的系数和食饵有关， —般与食饵密度成反 比。 因此在本文中， 主要研究下列捕食 食饵模型
一
Ｄ Ａ ｇｌ 响应 函数 的生 物 背 景及 其 各参 数 的生 物 ｅ ｎｅｓ ｉ
。 ．
２
意义 可参见 文献 ［ ５ 。－ ４，］
ｌ 十 Ｍ
表示 捕食 者 的 密度
干扰项 ， 食 饵 密 度 成 反 比 ， 更 好 地 反 映 捕 食 者 与 能 与食饵 之 间的关 系 ，。 ） “（ 和 。 ） 示非 负有 界 的 （ 表
△ ＝Ｈ ｎ— （ Ｈ一
＝ 一
） ，
∈Ｑ， ０ 初 始条 件 。 ＞ ， 问题 （ ） 应 的平衡 态 问题 如下 １对
南 ＋
） Ｅ， ， ， Ｑ
罢＋ ＝， ：， ｄ Ｍ０Ｏ＋ ０ 凡 ｖ ｄ ｎ
ＥＱ￡０ ， ， ｄ ＞
Ｉ— ＝。 — ｏ ） ∈， Ａ ｕ 一 ｃ ， Ｑ ｕ （
（） １
式（） ， １ 中 △为 Ｌｐａｅ 子 ， （ ｔ ， ，） ａｌ 算 ｃ Ｈ ，） （ ｔ 分别 表
示食 饵 和 捕食 者 的种 群 密 度 ， 为 中 的有 界 开 Ｑ
区域 ， 且边界ａ Ｑ充分光滑。。ｂＣｄｍ， 都是正常 ，，， ， ｋ 数 ， ， 分别表示 Ⅱ和 的出生率 ， 表示单位捕食 Ⅱｂ ｃ
第１ ０卷
一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性
一类具时滞和比率依赖的捕食-食饵模型2个周期解存在性吴书韬;梁峰【摘要】In this paper,the authors studies the existence of two periodic solutions for a generalized delayed ratio-dependent predator-prey model with Holling type III functional response:dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]- c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t) dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]. By applying Mawhin′s continuation theorem,some new results on the existence of two positive periodic solu⁃tions are obtained.An example is represented to illustrate the feasibility of our main result.%研究一类带有HollingIII型反应函数的捕食-食饵模型 dx(t)dt =x(t)[r1(t)-a(t)x(t-τ1(t))-b(t)∫-t∞k(t-s)x(s)ds]-c1(t)x(t)y2(t)m2 y2(t)+x2(t)， dy(t)dt =y(t)[-r2(t)+mc2(t)x(t-τ2(t))y(t-τ2(t))2y2(t-τ2(t))+x2(t-τ2(t))]。
运用重合度拓展定理，证明其存在2个正周期解。
并举一个实例验证结论的可行性。
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P15-21)【关键词】周期解;Mawhin重合度拓展定理;时滞;捕食-食饵模型;比率依赖【作者】吴书韬;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175由于捕食和食饵的普遍存在性和重要性，它们之间的动态平衡问题一直是生态学和数学生态学中一个重要研究课题.前些年，传统捕食-食饵模型被广泛研究［1-3］.现阶段，由文献［4-6］知，存在更直接的生物学和生理学证据，其表明在许多情形下，尤其是捕食者之间不得不存在竞争或分享食物时，应该在基于比率的情形下，建立一个更具一般性的捕食-食饵模型［7-8］.许多研究者已经研究带有或不带时滞的基于比率依赖的捕食-食饵模型，并且研究了它们的动力学性质［9-19］.鉴于实际问题的周期性，文献［18］研究了带有时滞和基于比率的捕食-食饵模型的周期解存在问题：在（1）式中加入HollingIII反应函数，文献［19］研究了具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的周期解问题：然而，对此类系统的带有2个周期解存在性的研究结果相对较少.受以上研究结果启发，在本文中，我们研究具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的2个周期解存在性问题：在这里，a,b,c1,c2，r1，r2，τ1，τ2是周期为T的连续非负周期函数，m＞0，K(s):R+→R+是可测函数，且满足.这里r1(t)代表食饵的内禀增长率，m代表半捕捉饱和常数，r2(t)代表捕食者死亡率，c1(t)和c2(t)代表转化率；函数代表在没有捕食者时食饵的比生长速率；x2(t)/(m2y2(t)+x2(t))代表捕食者反应函数（反映了捕食者的捕食能力）.运用Mawhin重合度拓展定理［20］，本文证明系统（3）存在2个正周期解.令X，Y是Banach空间，L:Dom L⋂X→Y是线性映射，N:X→Y是一个连续映射.如果L为指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P:X→X，及Q:Y→Y使得ImP=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I-Q)，则L|DomL⋂KerP:(I-P)X→Im L是可逆的.设其逆映射为 Kp.如果Ω是 X中的有界开集，有界且Kp(I-Q):是紧的,则称 N在是 L-紧的.由于 Im Q与 Ker L同构，故存在同构映射J:Im Q→Ker L.下面的Mawhin重合度拓展定理是证明本文结论的主要工具.例1 在系统（3）中，令则可得那么可验证（h1）和（h2）成立.因此，由定理1，可知系统（3）至少有2个不同的正周期解.注2 由于只有相对较少的文献考虑具有时滞和HollingIII型基于比率的捕食-食饵模型的多个周期解问题，所以本文结果相对来说是较为新颖的.【相关文献】［1］ZHANG Zhengqiu，HOU Zhenting，WANG Li.Multiplicity of positive periodic solutions to a generalized delayed predatorprey system with stocking［J］.Nonlinear Anal，2008，68：2608-2622.［2］DING Xiaoquan，JIANG Jifa.Positive periodic solutions in delayed Gause-type predator-prey systems［J］.J Math Anal Ap⁃pl，2008，339：1220-1230.［3］HU Xiaoling，LIU Guirong，YAN Jurang.Existence of multiple positive periodic solutions of delayed predator-prey models with functional responses［J］.Comput Math Appl，2006，52：1453-1462.［4］KUANG Y，BERETTA E.Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Biol，1998，36：389-406.［5］JOST C，ARINO O，ARDITI R.About deterministic extinction in ratio-dependent predator-prey models［J］.Bull Math Bi⁃ol，1999，61：19-32.［6］HSU S，HWANG T，KUANG Y.Global dynamics of a predator-prey model with Hassell-Varley type functional response［J］.J Math Biol，2008，10：1-15.［7］HANSKI I.The functional response of predator：worries bout scale［J］.TREE，1991，6：141-142.［8］ARDITI R，PERRIN N，SAIAH H.Functional response and heterogeneities：an experiment test with cladocerans［J］. OIKOS，1991，60：69-75.［9］LIU Xiangsen，LI Gang，LUO Guilie.Positive periodic solution for a two-speciesratio-dependent predator-prey system with time delay and impulse［J］.J Math Anal Appl，2007，325：715-723.［10］SAHA T，BANDYOPADHYAY M.Dynamical analysis of a delayed ratio-dependent prey-predator model within fluctuat⁃ing environmen［tJ］.Appl Math Comput，2008，196：458-478.［11］XIAO Dongmei，LI Wenxia，HAN Maoan.Dynamics in a ratio-dependent predator-prey model with predator harvesting［J］.J Math Anal Appl，2006，324：14-29.［12］RYU K，AHN I.Positive solutions for ratio-dependent predator-prey interaction systems［J］.J Differential Eqns，2005，218：117-135.［13］DAI Binxiang，ZHANG Na，ZOU Jiezhong.Permanence for the Michaelis-Menten type discrete three-species ratio-depen⁃dent food chain model with delay［J］.J Math Anal Appl，2006，324：728-738.［14］AKHMET M，BEKLIOGLU M，ERGENC T，et al.An impulsive ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］. Nonlinear Anal RWA，2006，7：1255-1267. ［15］FAN Yonghong，LI Wantong.Global asymptotic stability of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion［J］.J Comput Appl Math，2006，188：205-227. ［16］DEANGELIS D，HOLLAND J.Emergence of ratio-dependent and predator-dependent functional responses for pollination mutualism and seed parasitism［J］.Ecol Model，2006，191：551-556.［17］WANG Mingxin.Stationary patterns for a prey-predator model with prey-dependent and ratio-dependent functional re⁃sponses and diffusion［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，196：172-192.［18］FAN Meng，WANG Ke.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system［J］.J Math Anal Appl，2001，262：179-190.［19］WANG Linlin，LI Wantong.Periodic solutions and permanence for a delayed nonautonomous ratio-dependent predatorprey model with Holling type functional response［J］.J Comput Appl Math，2004，162：341-357.［20］GAINES R，MAWHIN J.Coincidence degree and nonlinear differential equations，Lecture notes in math［M］.Berlin：Springer，1977.。
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性李周红;杨成莲【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2016(0)8【摘要】应用重合度延拓定理和一些不等式技巧，研究了一类时间尺度上带有收获项的三种群捕食-食饵系统，得到其至少存在八个正周期解的充分条件，并用一个例子验证了所得结果的有效性。
%In this paper,a general class of predator-prey system with harvesting terms on time scales is studied by u-sing Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory and some skills of inequalities.The sufficient condition is established for the existence of at least eight positive periodic solutions.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.【总页数】10页(P1-10)【作者】李周红;杨成莲【作者单位】玉溪师范学院数学系，云南玉溪 653100;腾冲市明光中学，云南腾冲 679103【正文语种】中文【中图分类】O175.13【相关文献】1.带有脉冲、时滞和广义扩散函数的捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王烈;陈斯养;石茂2.一类带有回馈控制的捕食-食饵模型正周期解的存在性 [J], 王彩丽;张建勋3.研究带有收获项和脉冲的时滞食饵捕食系统八个正概周期解的存在性 [J], 吕小俊;谢海平;赵凯宏4.带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解 [J], 吕小俊;谢海平;吕鹏辉5.带有收获项的时滞Holling-Ⅱ型食饵-捕食系统4个正周期解 [J], 吕小俊;谢海平;李睿因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《北华大学学报》(自然科学版)第11卷目次
一
类 具有 Ｈ ｌｎ １ ｏ ｉｇ １型功能性反应 的捕食者 ｌ 食饵系统正周期 解的存在性 ………… ……………・ 杜 明 银 ， 志 学 （ ９ ・ 雒 １）
一
庆， 李有文 （ １ ） １６
类 具 有 时滞 的捕 食 者 一 饵 系 统 的数 值 逼 近 … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … … 玲 书 ， 光 辉 （ ９ ） 食 王 冯 １３
… … … ・
具有功能反应 的时滞扩散食饵一 食者数学模 型 ……………… …………………………………・ 捕 ・
具 有 无 穷 时 滞 和 反 馈 控 制 的 ＬｔａＶ ｈ ｒ ｏｋ— ｏ ｅｒ 食 系 统 的 生存 分 析 … … … … … … … … … … … … ・ ａ捕 ・
…
一
…
…
・
何 继 伟 （９ ） ２ ３
类 分 阶 段传 播 的 广 义 ＳＳ 染 病 模 型 的 全 局 分 析 与控 制 … … … … … … … … … … … … … … … 赫培 霞 ， 立 纯 （ ９ ） Ｉ传 赵 ２ ７
…
…
…
・
・
数
学 ・
……… ……………………………… …………………………… 姜
２ 燕 ， 国林 ， 青 水 ｌ ２ 余 王
Ｅ 凸集 的 几 个 基 本 性 质 一
带 两 个 形 状 参 数 的三 次 Ｂ ｚ ｒ曲线 的扩 展 ６ｉ ｅ
２ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 李 军成 １ ５ ０１ … … … … … … … …… … … … … … … … 常 敏 慧 ， 吕纪 荣 ， 曹怀 信 ３
双状态脉冲控制的一类食饵-捕食者模型阶1周期解的存在性
双状态脉冲控制的一类食饵-捕食者模型阶1周期解的存在性耿妍;窦霁虹;李鹏【摘要】研究一类具有HollingⅢ型功能反应函数的食饵-捕食者系统,在两种状态脉冲控制下周期解的存在性问题运用微分方程的几何理论和后继函数的方法,对食饵-捕食者模型中控制参数可能出现的五种情况进行了具体讨论,得到了该系统阶1周期解存在的条件.最后用数值模拟检验了结论的有效性,为现代病虫害治理提供了有效的方法.%This paper proposed the existence of periodic solutions for a class of Holling Ⅲ functional predatorprey model under two-state dependent impulses.By using differential equation geometry theory and method of successor functions,for the possible five cases of controlling parameter in predator-prey system to detailed discussion.Got the existence conditions of order-1 periodic solution with possiblecases.Moreover,numerical simulations are used to illustrate that the main results are effective,providing effective method for the modern pest management.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(047)005【总页数】6页(P643-648)【关键词】Holling Ⅲ型食饵-捕食者模型;双状态脉冲;周期解;后继函数【作者】耿妍;窦霁虹;李鹏【作者单位】西北大学数学学院,陕西西安710127;西北大学数学学院,陕西西安710127;西北大学数学学院,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175种群动力学中的很多自然现象和人为干预行为都可用脉冲来描述[1]。
一类捕食模型正解的存在性分析
（） ５
相 特 数 ，， 主 征 应的 征函 为 ， … 其 特 值
） ｉ量 ） ＝Ｑ ｎ ｆ
是 重的 单
，
而且有如下比较原理：
若口 ）ｑＸ 则 （ ２） ４ｑ （ ，
收稿 日期 ：２０ — ３０ ０ ８ ０— ７
作者简介：袁静 （ ９９ ） 女 ，河南鹤壁人，助教， １７一 ， 大学本科，研究方向：算子代数 ， － ａ ： ｕ ．ｎ ｓ ｕ ｏ 。 Ｅ ｍ ｉ ｙｊ ｃ＠ ｏ ． ｍ ｌ ｉ ＿ ｈｃ
维普资讯
第 ３ 期
维普资讯
第 ２ 卷第 ３ ４ 期
２ ０ 年 ５月 ０８
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｑｈ ｒＵｎｖ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｉａ ｉｅｒｉ ｏ Ｑｉ ｙ
Ｖ０ ．４ Ｎ ． １ ．ｏ３ ２
Ｍａ ，０ ８ ｙ２ ０
一
类捕食模 型正解 的存在 性分析
袁静 ，易景平
（ 河南安 阳师范学 院 数学科学学院 ，河南 安 阳 ４ ５ ０ ５ ０ ２）
摘要：研究了一类捕食模型的平衡态方程，通过利用正的紧线性微分算子的谱性质和锥映像不动点指标，结合极
值原理 ，上下解方法 ，得到了正解存 在的充分条件 。
关键词 ：平衡解 ；谱 ；不动点指标 ；上下解 中图分类号 ：Ｏ１５ ６ ７． ２ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ － ８ Ｘ ２０ ）３ ０ ５－ ５ ０ ７ ９ ４ （０ ８０ — ０ ８ ０
食饵和捕食者的浓度 ；ａ ｂ 和 代表两个物种的生长率或者死亡率 ； 和 ｄ Ｃ 都是大于零的常数 式 （ ）即为经典的 Ｖ ｌｒ — ｏ ａ捕食食饵模型 ，此类模型在过去的几十 １ ｏｅ ａＬｔ ｔｒ ｋ 年里已被广泛研究 （ 见文献【— ］；如果 ｍ＝１ 则式 （ ）即为 Ｈ ｌｎ ａｎｒ １ ３） ， １ ｏｉ ｌ — ｎｅ 反应项 的捕食食饵模型。文 献［ 首次讨论了该模 型，利用分歧理论给出了正平衡解的存在性。本文在 １ ｍ的情况下采用计算不动点 ４ ］
一类捕食-食饵模型共存解的多重性
一类捕食-食饵模型共存解的多重性李海侠【摘要】讨论一类具有扩散的捕食‐食饵模型正解的存在性和多重性。
首先利用上下解方法和不动点指数理论给出了正解存在的必要条件和充分条件，接着运用椭圆系统的存在比较原理和扰动理论研究了参数 b充分大时正解的多重性。
结果说明当参数满足适当条件时系统至少存在两个正解。
%The existence and multiplicity of positive solutions for a predator‐prey model with diffusion are discussed . T he necessary and sufficient conditions of the existence of positive solutions are given by means of the super and sub‐solution method and fixed point index theory . T hen , by making use of the existence‐comparison theorem for elliptic system s and perturbation theory , the multiplicity of positive solutions is investigated when parameter b is sufficiently large . The results show that the system has at least two positive solutions if the parameters satisfy appropriate conditions .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P6-9)【关键词】捕食-食饵模型;不动点指数;上下解方法;扰动理论;多重性【作者】李海侠【作者单位】宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O175.26在自然界中，种群间的捕食关系非常普遍和重要，捕食-食饵模型刻画了生态系统中种群间的相互作用，其动力学行为非常丰富.因此,带有各种反应函数和不同边界条件的捕食-食饵模型受到了生物学家和数学家的极大关注[1-8].本文讨论捕食-食饵模型其中Ω是RN中带有光滑边界∂Ω的有界区域,u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a和b分别是u和v的最大增长率.模型中，是Crowley-Martin(C-M)反应函数,是一类依赖捕食者的经典反应函数之一.它与Beddington-DeAngelis(B-D)反应函数很像,不同之处在于分母多了体现物种间相互干扰的一项bcuv.而且,C-M反应函数认为:无论捕食者目前是否寻找或处理食饵,都允许存在捕食者间的干扰,这是比B-D反应函数优越之处,也非常符合现实中的一些生物现象.因此研究带有C-M 反应函数的模型具有很大的生物意义.是改进的Leslie-Gower项，它比Leslie-Gower项更合理地模拟了捕食食饵的动力学行为.参数a,b,c,p,d,μ,k都是正常数. 近年来，带有改进Leslie-Gower项的捕食-食饵模型得到了广泛研究[3-8]，其中文献[4-6]研究了带有改进Leslie-Gower项和Holling Ⅱ反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性、不存在性、稳定性、唯一性和局部多解性.然而目前在齐次Dirichlet边界条件下对带有改进Leslie-Gower项和C-M反应函数的扩散捕食-食饵模型的研究很少见，因此本文主要讨论系统(1)正解的存在性和多重性.本节利用不动点指数理论给出系统(1)正解存在的条件.令λ1(q)是-Δ+q(x)在Ω上关于齐次Dirichlet边界条件的主特征值，则λ1(q)是单重的.而且,如果q1(x)≤q2(x)且q1(x)≢q2(x)，则λ1(q1)<λ1(q2).简单起见记λ1(0)=λ1.众所周知，问题当r>λ1时有唯一正解，记为Θ(r,m),而且Θ(r,m)<r/m.特别地，记Θ(r,1)为Θr.显然，当a>λ1,d>λ1时系统(1)存在半平凡解(Θa,0)和(0,Θ(d,1+μ)).简单起见，记Θ(d,1+μ)为首先给出系统(1)正解存在的必要条件和先验估计.引理1 如果(u,v)是系统(1)的正解，则证明根据系统(1)的第一个方程和特征值的比较原理可得因此a>λ1.同理可得d>λ1. 】引理2 系统(1)的任意正解(u,v)满足证明由模型(1)的第一个方程得-Δu≤u(a-u)，于是根据Θa的唯一性和上下解方法有u≤Θa<a.同理可得<d. 】为了利用不动点指数理论,我们引入如下空间:定义算子为其中τ∈[0,1]，q是满足q>max{p/c,μd}的充分大的正常数.显然Aτ是紧算子.记A=A1，易知是连续可微算子.下面计算系统(1)平凡解和半平凡解的指数,因其证明与文献[3]中的引理3.3和引理3.5类似，所以在此省略.引理3 ( i ) 如果a>λ1或d>λ1，则indexW(A,(0,0))=0;如果a<λ1且d<λ1，则indexW(A,(0,0))=1.( ii ) indexW(A,D)=1.(iii) 设a>λ1.如果d>λ1，则indexW(A,(Θa,0))=0;如果d<λ1，则indexW(A,(Θa,0))=1.(iv)设d>λ1.如果，则如果，则.定理1 如果，则系统(1)至少存在一个正解.证明由已知条件和引理3有矛盾，因此根据度的可加性知结论成立. 】本节我们讨论当参数b充分大时系统(1)正解的多重性.引理4 设d>λ1固定.对于充分小的ε>0,存在充分大的B(ε)，使得如果a≥λ1+ε且b≥B(ε)，则系统(1)存在正解,且满足这里v*和v**分别是下列问题的唯一正解:证明根据上下解方法的思想，我们只需证明)=(Θa,v*)和是系统(1)的一对有序上下解即可,也就是证明如下不等式成立:(4)和(5)式显然成立.要使得(6)式成立，只要≥pv*即可.取，则当b≥B(ε)时(6)式成立.因此对于充分大的和是系统(1)的一对有序上下解.由椭圆系统的存在比较原理可知系统(1)存在满足(3)式的正解. 】为了说明正解的多重性,先分析如下问题引理5 如果a>λ1,d>λ1，则系统(7)存在唯一正解(Θa,v*).而且，(Θa,v*)是非退化和线性稳定的.证明正解(Θa,v*)的存在性和唯一性显然,下面证明非退化和线性稳定性.令L(Θa,v*)是系统(7)在(Θa,v*)处的线性化算子，则其中由Reize-Schaular定理知L(Θa,v*)的谱半径σ(L(Θa,v*))由实特征值组成,且又根据特征值的比较原理易得因此，σ(L(Θa,v*))>0.故结论成立. 】最后给出系统(1)正解的多重性结果.定理2 设d>λ1固定.对于任意充分小的ε>0,存在充分大的B=B(ε)，使得当b≥B 时，如果，则系统(1)至少存在两个正解.证明首先由引理4可知系统(1)存在正解.假设对于b≥B系统(1)存在如引理4中的唯一正解)，此时系统(1)是系统(7)的正则扰动，故由引理5和扰动定理可知)是非退化和线性稳定的.于是，)在上可逆且有大于1的特征值.又因为, 所以)在上没有α性质.因此,由Dancer指数定理[9]得))=1.根据度的可加性和引理3有1=indexW(A,D)=indexW(A,(0,0))+矛盾.因此系统(1)至少存在两个正解. 】本文利用不动点指数理论和扰动理论研究了一类带有Crowley-Martin反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性和多重性.主要结论如下：(1)运用不动点指数理论和度的可加性得到系统(1)正解存在的充分条件,d>λ1.(2)讨论了参数b对系统(1)正解的影响.设d>λ1固定,如果且b充分大，则系统(1)至少存在两个正解.【相关文献】[1] PENG Rui,WANG Ming-xin.On multiplicity and stability of positive solutions of a diffusive prey-predator model[J].J Math Anal Appl,2006,316(1):256-268.[2] GUO Gai-hui,WU Jian-hua.Multiplicity and uniqueness of positive solutions for a predator-prey model with B-D functional response[J].Nonlinear Analysis(TMA),2010,72(3-4):1632-1646.[3] GUO Gai-hui,WU Jian-hua,NIE Hua.Multiplicity for a diffusive predator-prey mutualist model[J].Proc London Math Soc,2012,105(2):342-366.[4] ZHOU Jun.Positive solutions of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling-type II schemes[J].J Math Anal Appl,2012,389(2):1380-1393.[5] ZHOU Jun.Positive steady state solutions of a Leslie-Gower predator-prey model with Holling type II functional response and density-dependent diffusion[J].Nonlinear Analysis,2013,82:47-65.[6] ZHOU Jun,SHI Jun-ping.The existence,bifurcation and stability of positive stationary solutions of a diffusive Leslie-Gower predator-prey model with Holling-type II functional responses[J].J Math Anal Appl,2013,405(2):618-630.[7] YANG Wen-sheng,LI Yong-qing.Dynamics of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling-type III schemes[J].Computers and Mathematics with Applications,2013,65(11):1727-1737.[8] YANG Wen-sheng.Global asymptotical stability and persistent property for a diffusivepredator-prey system with modified Leslie-Gower functional response[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2013,14(3):1323-1330.[9] DANCER E N.On the indices of fixed points of mapping in cones and applications[J].J Math Anal Appl,1983,91(1):131-151.。
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文 章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ ０ ０ －０ １ ６０
一
类 具 生 物 控 制 的 多滞 量 捕 食 模 型 正 周 期 解 的 存 在 性
程 荣福
（ 北华大学 数 学学院 ， 吉林 吉林 １２ ３ ） ３ ０ ３
摘要： 利用重合度理论 中的延拓定理讨论 了具有生物控 制的多滞 量捕食 模型 的正周 期解 的存 在性 ， 到 了保 证 得 周期解 存在的充分条件 ， 推广 了已知 的相关结果．
』１ ＿㈤ ㈤ ㈩ｌ ㈩ － ） ㈩ （ Ⅳ Ⅳ ）６ Ⅳ ｄｔ １ Ｎ） （ ２ （
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收 稿 日期 ：０ ９１ －５ ２０ ．２０ 基 金项 目： 吉林 省教育厅“ 十一五” 科学技术研究项 目（ 吉教合字 ２０ ．３ ） ０ ８１ ６ ． 作 者简介 ： 荣福（ ９ ４一） 男 ， 程 １５ ， 教授 ， 硕士生 导师 ， 主要从事微分方程理论及应用研究
关键 词 ： 捕食者一 食饵 模型 ； 生物控制 ； 期解 ； 周 多滞 量
中 图分 类 号 ： １ ５ ｔ ０ ７ ．４ 文献标识码 ： Ａ
Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆ Ｐｏ ｉ ｖ ｒ ｏ ｉ ｏ ｕ ｏ ｏ ｅ ａ ｏ － ｅ ｏ ｌ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｓｔ ｅ Ｐｅ ｉ ｄ ｃ Ｓ ｌ ｔ ｎ ｆ ｒ ａ Ｐｒ ｄ ｔ ｒ Ｐｒ ｙ Ｍ ｄｅ ｉ ｉ
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ：Ｂｙ ｕ ｉ ｇ ａ ｃ ｎ ｉ ｕ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ａ ｅ ｎ ｃ ｉ ｃｄ ｎ ｅ ｄ ｇ ｅ ｔ ｌ ｂ ｌｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉｅ ｐ ｒｏ ｉ ｓｎ ｏ ｔｎ ａ ｉ ｈ ｏ ｅ ｂ ｓ ｄ ｏ ｏ ｎ ｉｅ ｃ ｅ ｒ ｅ，ｈｅ ｇｏ ａ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｅ ｄｃ ｏ ｉ ｓ ｌ ｔｏ ｏ ａ ｅ ｉ ｄ ｃ ｒ ｄ ｔｒｐ ｅ ｍｏ ｅ ｗｉｈ ｉ — ｏ ｒ ｌ ａ ｓ ｖ ｒ ｌ ｌｙ ｒ ｓｕ ｉｄ．Ａ ｓ ｔ ｆ ｅ ｓｌ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ｒ ｐ ｒｏ ｉ ｐ ｅ ａ ｏ － ｒ ｙ ｄ ｌ ｔ ｂ ｏ ｃ ｎｔｏｓ ｎｄ ｅ ｅ ａ ｄｅａ ｓ ａ ｅ ｔ ｄ ｅ ｅ ｏ ａ ｉ ｙ ｖ ｒｆａ ｌ ｕ ｃ ｅ ｔｃ ｎｄｔｏ ｓ ａ ｅ ｏ ｔ ｉｅ ｗｈｉｈ ｈ ｄ ｉ ｒ ｖ ｄ ａ ｄ ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｓ ｍｅ ｋ ｏ ｅ ｕ ｔ ． ｅ ｉ ｂ ｅ ｓ ｆ ｉｎ ｏ ｉｉｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ， ｃ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｅ ｅ ａｉｅ ｏ ｎ ｗｎ ｒ ｓ ｌｓ ｉ ｉ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｐ ｅ ａ ｏ — ｒ ｙ ｍｏ ｅ ； ｉ — ｏ ｒ ｌ ； ｅ ｏ ｉ ｏｕｔ ｎ； ｅ ｅ ａ ｅ ａ ｓ ｒ ｄ ｔｒ ｐ ｅ ｄ ｌ ｂ ｏ ｃ ｎｔｏ ｓ ｐ ｒ ｄ ｃ ｓ ｌ ｉ ｓ ｖ ｒ ｌｄ ｌｙ ｉ ｏ
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第 １ １卷 第 １期 ２１ ０ ０年 ２月
北华大学 学报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨＵ ＮＶ Ｒ ＩＹ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ） Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ
Ｖｏ ． ｌ Ｎ ． １１ ｏ １
Ｆｅ ２０１ ｂ， ０
（） １ ＿ ２
２
北 华 大学 学报 （ 自然科 学 版 ）
第 １ 卷 １
从 形式上 看 ， 系统 （ ． ）和 系统 （． ）区别 不大 ， １１ １２ 但是 文 献 ［ ］的研 究结 果 表明 ： 于系统 （． ）而 言 ， ６ 对 １１ 时 滞 不会影 响系统 的周 期解 的存在 性 ， 系统 （． ）中只要 系数 满 足一 定 的代 数 条 件 ， 么无 论 是对 超 前 型 、 １１ 那 滞后 型 ， 是连续 滞 量 （ 限或者 无穷 ） 系统 都至 少存 在一个 全局 周期 解． 文献 ［ ］ 还 有 ， 而 ８ 的结果 则表 明 ： 时滞 对 系统 的周 期解 的存在 性具 有非 常重要 的作 用 ， 要使 系 统 （． ）具 有周 期解 ， 系统 的滞 量必 须满 足 一定 １２ 则 条件 （ 如周 期性 和导数 要小 于某个 常数 等 ） ．
１
引
言
近年 来 ， 一种 强有 力 的方 法 ： 合 度 理论 广 泛 应 用 于研 究 非 自治 系 统 的周 期 解 问 题 （ 见 文 献 ［－］ 重 参 １５ 及 相关 文 献 ） 文献 ［ ］ 虑 了如 下非 自治 的捕食 模 型 ． ６ 考
』（＿㈩ （－（１ ＂）６ Ｎ －ｔ ， ｔ Ⅳ ｆａ）ｔ（ ＿ ｚ ｏ ） ｄ ） １ ） ，Ｎ －ｔ ｌ （ ＇ ］ Ｎ １ ｔ（ｒ ㈤ ｔ （ ） ）
【 ＝２［２ ㈩ ｌ ｆ ， Ｎ￡－㈩ （ ｒ ） Ⅳ ） （ ） ］
（） １ ． １
利用 重 合度 理论 中的延 拓定 理讨 论 了该 系统 的全局 周 期 解 的存 在 性 ． 文献 ［ ］从 生 物学 意 义 上 指 出模 型 ７ （． ）是不 完 整 的 ， 没有 考虑 到第 ２个 物 种对 自身数 量增 长 的 阻滞作 用 ， １１ 它 这种 形式 在 数学 推 导上 会 大大 简化 对 解 的先验 估计 ． 实 上 ， 事 文献 ［ ］已经 考虑 了如 下 系统 的周 期解 的存 在 性 问题 ８