分式加减运算的几种技巧

分式加减运算的几种技巧

分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。

一、先约分后通分技巧

x 1 x2 2x

例1计算x2 3x 2 +x24

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

x1 X(X 2) 1 x X 1

解:原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) = T"2 + T~2 = T"2

二、分离整数技巧

2 2

x2 3x 3 x 5x 7 1

例2计算x2 3x 2 - x2 5x 6 - x2 4x 3

分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。

2

(x23x 2) 1 2

(x25x 6) 1 1

解：原式

=x23x 2 - 2 x 5x 6 -x2 4x 3

1 1 1

=1+ x23x 2 -1- x2 5x 6 - x2 4x 3

1 1 1

=(x 1)(x 2) - (x 2)(x 3) - (x 1)(x 3)

x 3 (x 1) (x 2) x x

=(x 1)(x 2)(x 3) = (x 1)(x 2)(x 3) =- (x 1)(x 2)(x 3)

三、裂项相消技巧

1 2 3

例 3 计算x(x 1) + (x 1)(x 3) + (x 3)(x 6)

1 丄1 丄

分析：此类题可利用n(n m) = m ( n - m )裂项相消计算。

1 2 1 3 1 1 解：原式=(x - x 1)+2 ( x 1 - x 3)+3 ( x 3 - x 6)

1 1 6

=x - x 6 = x(x 6)

四、分组计算技巧

1 2 2 1

例4计算a 2 + a 1 - a 1 - a 2

分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1, 采取分组计算简捷。

1 1

2 2

解：原式=(a 2 - a 2)+ ( a 1 -a 1 )

4 _12

=a24 +a21 = (a24)(a2 1)

五、变形技巧

例5已知X2-3X+仁0 ,求x2+ x2的值。

1

分析：将已知两边同除以 x (x工0)可变出x+ X，然后利用完全平方公式的逆用可求出

丄

x2+ X?的值。

解：由X2-3X+仁0,两边同除以x (X M 0),得

1 1

x-3+ x =0，即卩 x+ x =3

11

所以 x2+ x2 =(x+ x) 2-2=32-2=7