柯西不等式的一个变式及应用
柯西不等式的3种变式及其应用
柯西不等式的3种变式及其应用
柯西不等式证明可以用构造法、数形结合法等。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
柯西不等式：ai,bi∈r，求
证:(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2。
结构法，结构n佩向量：α=(a1,a2,...,an)，β=(b1,b2,...,bn)，
则
√(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|α|*|β|≥|α|*|β|*cos\ucα，β\ue=α*β=a1*b1+a2*b2+...+an*bn，
两边同时平方得：
(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2。
还有其他方法：数形结合法：
柯西不等式的公理化读法就是：记两列数分别就是ai, bi，则存有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2
我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们晓得恒存有
f(x) ≥ 0
用二次函数并无实根或只有一个实根的条件，就存有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0
移项获得结论。
柯西不等式及其变式的应用
（3 ）
i = 1j = 1
（4 ）
当且仅当 aibj＝ajbi 即
n
证法二： 要证 （Σaib） i ≤Σ a
i = 1 n
Σb ，
2 i
将定理 1 加以推广， 有 + 定理 2： 设 ai， bi∈R（ i=1， 2， …， n ） ， m， k∈N+， n>k 则 （1 ）
i = 1 2
（Σ
i = 1
ai
n
bi
n 2 i
1 [ （1+1 ） ]2=1， 2 （1 ） 式得证， 故结论成论。 2 柯西不等式的应用 2.1 用柯西不等式求参数的取值范围
姨
i = 1
Σa
姨
） ≤[ Σ
2 i i = 1
i = 1
Σb
1 （ 2
ai2
n
+
2 i
bi2
n
） ]=
2 2 i
1，2，…，m 则
1
3 故参数的取值范围是 （姨 ， +∞ ） 。 2 2.2 用柯西不等式证明等式 sin4α cos4α 1 例 2： 已知 a， b∈R+， 且 + = ， a b a+b 8 8 sin α cos α 1 证明 3 + 3 = 3 。 a ） 式。 例 1： 设 a， b， c∈R+， 求证： a5+b5+c5≥a3bc+b3ca+c3ab （7 ） 由定理 1 有： 2 a4 b4 c4 （a2+b2+c2 ） + + ≥ ≥a2+b2+c2 bc ca ab bc+ca+ab 此即 （7 ） 式。 b2 c2 a2 例 2： 设 a， b， c∈R+， 求证： + + ≥ 姨 3 （a2+b2+c2 ） a b c 3 2 2 3 2 3 证明： 由均值不等式得 a +c a≥2a c， b +a b≥2ab， c +b2c≥2bc2， 故 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a +b +c +a b+b c+c a≥2 （ab +bc +ca） ） （下转 162 页 即 （a2+b2+c2 ） （a+b+c ） ≥3 （ab2+bc2+ca2 ） 。
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
柯西不等式变式的应用
≤ （ ｎ １＋０ ２＋ａ ３＋ａ ４ ） 。（ ｂ ｌ＋ｂ ２＋ｂ ３＋ｂ ４ ） ＝［ ４（ ０＋６＋ｃ＋ｄ ） ＋４ ］ ＋・ ４ ＋ ＝４
例１ 设
Ｒ ， 求证：
ｂ
Ｃ ≥ ３
故 原不 等式成
（ 作 者单位 ：云 南 大学数 学 系）
＋
＋４ｕ ＋ ５
（ ＋２ ｖ＋３ 三 ＋４ｕ ＋ ５ ｖ）
≥ —
∑ ａ ｂ ≥ ∑＿ ｎ ａ Ｉ ２ Ｉ ≥
…
■
一
当且仅 当 ： ２一 一 （ ｎ ∈ Ｒ ｂ ∈ Ｒ ∈ ＋ ， ∈ ＋ ， 当且仅 当 ｂ ｌ ＝ｂ ２一 一
一
＾
２ａ． ３ ＂ Ｌ ． ． ｔ － ｋ ，
、
将柯西不等式两边开平方根即得 竺 斗 ： ＋Ｉ 耳 亚 ★ 娴 日ｎ 日
而
。
则原不等式左边 ’ 寸 “ ＝ 一
ｌ １
＋
＋ ‘
，
十 ’ ／ Ｅ ａ ４ ￣
３ ． 应用柯 西不 等式 的变 式 ３ ． １应用 变式一
＋… ＋ ！ ＝ ！ 一＋上 ＋ｉ
ａ
一
ａ“
ｉ
＋
ａｎ
ａＩ＋
≥ 面 等》等 甍丽
：
∑｝≥ — ∑ 一 （ ｎ ， ６ 同 号 且 均 不 为 ｏ ， 当 且 仅 当 ６ － ＝ ６ ＝
。
。
（ ∑ｎ ）
ｂ
卫－ ： 卫 ２ ｐ ２
…
＝
６ 时等 号成 立 ） ， 在柯 西不 等式 中令 ａ ２ ＝ ａ ｉ ｂ ＝ ａ 。 ｂ ｉ 即得 。
３ ．４应用 变式 四
（ 。６） 十
逆向思考，创新思维--也谈柯西不等式一个变式的应用
逆向思考，创新思维--也谈柯西不等式一个变式的应用
张艳宗;徐佳月
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】2页(P72-73)
【作者】张艳宗;徐佳月
【作者单位】浙江省海盐县元济高级中学;浙江省海盐县环境监测站
【正文语种】中文
在中学数学中，柯西不等式的使用非常广泛，功能强大，结构和谐，在不等式应用方面非常给力，具有重大的应用价值.适当地运用柯西不等式，对一些难度较高的
不等式，尤其是奥赛试题具有立竿见影的效果.文1、文2通过柯西不等式得到一
个如下简单的变式，用之可以漂亮地解决很多国内外的不等式名题.
在应用变式①解决问题的过程中，受惯性思维的影响，我们常从左到右看待此不等式，即左边≥右边.事实上，我们可以换一个看待问题的角度和方式，逆向思考，创新思维，若从右到左重新审视此不等式，则有：
以上两个不等式除代数式在位置上的些许改变，没有本质上的变化，但变式②对一些不等式问题可以给予简捷、完美的解答，现整理成文，与各位一起探讨.
例1（第29届俄罗斯数学奥林匹克试题）若a，b，c＞0，且a+b+c=1，求证：上述三式相加，即可获证.
评注：文1对③式使用变式①证明，是顺向思维，此处我们逆向思考，利用变式
②也给出了漂亮的证明，这充分体现了方法的灵活性与思维的创新性.
评注：柯西不等式变形②与均值不等式的巧妙结合，使得证明新颖、别致.正如宋庆老师所言：“题不在多，关键在创新.”
【相关文献】
1.王淼生.例谈柯西不等式一个最简单变式的应用［J］.上海中学数学，2012（11）.
2.安振平.一道高考不等式题的研究性学习［J］.中学数学（上），2012（3）.。
二维形式的柯西不等式
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
推论：
（1）a bc d ac bd 2 a,b,c, d R
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
ur ur ur ur
(4)柯西不等式的向量形式 .
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
D. 36 25
2.函数y 2 1 x 2x 1的最大值为 ______3
3.设实数x, y满足3x2 2y2 6,则P 2x y的最大
值是 ____1_1_
(5)二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
推论：
（1）a bc d ac bd 2 a,b,c, d R
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
上面两个不等式等号何时取到
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a a,b,
逆向思考，创新思维——也谈柯西不等式一个变式的应用
，
i 2
≤1 1 + 1 .
（c+a）+（c+b） 2 b+c c+a
上述三式相加，即可获证.
评注：文1对③式使用变式①证明，是顺向思维，此
处我们逆向思考， 利用变式②也给出了漂亮的证明，这
充分体现了方法的灵活性与思维的创新性.
例2 若a，b，c>0，求证： ab + ca + bc ≤ a+b+2c a+2b+c 2a+b+c
证明：由于a+b+c=1，则不等式等价于
2
（a+b）+（a+c）
+
2
+
2
≤ 1 + 1 + 1 ③.
（b+c）+（b+a） （c+a）+（c+b） a+b b+c c+a
由柯西不等式变式②，可得
2
≤
（a+b）+（a+c）
i i 1
2
1+1 a+b c+a
，
2
≤1
（b+c）+（b+a） 2
1+1 b+c a+b
3a2
=
a2+1 3a2+ab+bc+ca
c .
3a2
≤ 3a2
1+
Aa（ lal+b+Rc）i+（ gh2at2+sbc）Res4erva（ea+db.+c）
1 2a2+bc
(2021年整理)柯西不等式的证明与应用
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： C auchy’s inequality is a very important inequality， this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality， solving the most value, solving equations， trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula， better explains the Cauchy inequality。
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用作者：余胜利来源：《中学理科园地》2011年第02期柯西不等式是高中教材4-5《不等式选讲》中的一个重要不等式。
它是证明不等式，求解极（最）值问题的一个重要工具。
由于此不等式在以前教材（大纲教材）未曾出现，仅在高中数学竞赛中要求。
因此，对此不等式的理解及其应用，大多数教师都感到较陌生，教学要点把握不准。
本文主要从柯西不等式的证明、变式与应用这三个方面做些探讨，供教师们教学参考。
祈请同行斧正。
一、柯西不等式的证明柯西不等式：ai bi2≤ai2bi2 (ai，bi∈R，i=1，2…n)，等号成立当且仅当ai=0（i=1，2…n)或bi=kai（i=1，2…n，其中k为常数）时成立.教材中柯西不等式的证明采用构造二次函数证明,以下再给出几种证明，以便对此不等式实质有更深刻的认识。
证法一：配方法ai2bi2 =ai2bi2+（ai2bj2+aj2bi2）=ai2bi2+2（aiajbibj）+（ai2bj2+aj2bi2-2aiajbibj）=aibi2+（aibj-ajbi）2≥aibi2其中等号当且仅当==…=时成立（当bi=0时，认为ai=0,1≤i≤n）.证法二：数学归纳法（1）当n=1时，左式=（a1b1）2 ，右式=（a1b1）2，显然，左式=右式。
当n=2时，右式=（a12+a22）（b12+b22）=（a1b1）2 +（a2b2）2 +a22b12+a12b22≥（a1b1）2 +（a2b2）2 +2a1a2b1b22=（a1b1+a2b2）2=左式当且仅当即a2b1=a1b2即=时等号成立。
故n=1,2时，不等式成立。
（2）假设n=k（k∈N,k≥2）时，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（a12+a22+…+akk）（b12+b22+…+bkk）且bi=kai，k为常数， i=1，2…n或a1=a2=…=ak=0时等号成立.设A=a12+a22+…+ak2，B=b12+b22+…+bk2，C=a1b1+a2b2+…+akbk则（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1≥AB+2ak+1bk+1+a2k+1b2k+1≥C2+a2k+1b2k+1+2Cak+1+bk+1=(C+ak+1bk+1)2=（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,即（a12+a22+…+ak2+a2k+1）（b12+b22+…+bk2+b2k+1）≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,并且bi=kai ,k为常数， i=1，2，…n或a1=a2=…ak=0时等号成立。
论柯西不等式在高中数学中的应用
数 学 大 世 界 64
（下转第 67 页）
学练研究
提高课后作业的有效性，给学生“正能量”
江苏省苏州工业园区星海小学 丁 琳
课后练习是数学学习中不可或缺的环节，有效的课后练习能够帮 助学生巩固所学知识，完善数学思维，提升学生的实践能力与应用能 力，促进学生数学素养的提升。因此在实际教学中我们要结合学生的 认知特点，设计与教学内容密切相关的练习供学生课后完成。本文结 合教学实际谈谈如何提升课后练习的有效性。
证明：a³+b³+c³ ≥
。
证明：利用柯西不等式有：
（a²+b²+c²）²=（a a +b b +c c ）² ≤ [（a ）²+
（b ）²+（c ）²]（a+b+c） 因为 a+b+c=1，
所以：[（a ）²+（b ）²+（c ）²]（a+b+c）=（a³+b³+c³） （a+b+c）²
又因为 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca，在不等式两边同乘以 2，再加上 a²+b²+c²，
【关键词】 柯西不等式；变式；应用
一、柯西不等式的主要变形公式
柯西不等式有多种变形，已经成为现在许多数学理论的出发点。
掌握几种常见的柯西不等式的变形，能够让我们对柯西不等式有更全
面的认识，在解决数学问题时，也可以快速使用合适的变形形式解题。
以下列举常见的几种柯西不等式的变形形式：
（1）：a1·b1+a2·b2+……+an·bn ≤ |a1·b1+a2·b2+……
二维形式的柯西不等式 课件
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
二维形式的柯西不等式(2)
(x + y ) + (x + y ) ≥ (x1 − x2) +( y1 − y2 ) .
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
二维形式的三角不等式) 三角不等式 定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ∈ R , 那么
(x1 − x3 ) +( y1 − y3) + (x2 − x3 ) +( y2 − y3 )
变式:已知3 x + 4 y = 5, 求x 2 + 2 y 2的最小值
归纳
利用二维的柯西不等式可求以下函数最值：
类型一:求y = m ax − b + n c − dx(ad>0)的最大值
类 型 二 : 已 知 mx 2 + ny 2 = c(m, n, c > 0) , 求 Ax + By( AB ≠ 0) 的最大值.
2 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
≥ (x1 − x2 ) +( y1 − y2 )
2
2
练习
1.设 1.设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ∈ R , 那么
(x + y ) + (x + y ) ≥ (x1 + x2 ) +( y1 + y2 ) .
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
2.设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ∈ R , 那么
y
y
P1 ( x1 , y 1 )
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 ( x 2 , y 2 )
x
P2 ( x2 , y 2 )
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式及其应用摘要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式；施瓦兹不等式applicationofcauchyinequality********abstract:thispaperintroducesandsummarizesthecauchyinequalityfromitsbasicform,c orollary,deformation,spreading,andintegralform.andthenrevealstheirapplicationi ninequality,scope,sequence,equationofparameter,equation,functionbyseriesexampl es.itillustratestheimportanceofthecauchyinequalityandapplicability.wecaneasily solvesomedifficultproblemswithcauchyinequality.keywords:cauchyinequality;minko wskiinequality;holderinequality;schwarzinequality柯西不等式就是数学中一个非常关键的不等式，它结构等距人与自然，具备较强的应用性，颇受人们的钟爱.在中考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出来现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.2柯西不等式各种形式详述2.1柯西不等式的基本形式[1]柯西不等式：未知ai,bi r i1,2,,n，则aibi ai bi,当且仅当i1i1i1n i1,2,,n时等号设立.b1b2bn2.2柯西不等式的推断柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论.2.2.1推论1[2]n n1设a1,a2,,an就是正实数，则ai i1i1aia1a2an.2.2.2推断2[2]n，等号成立当且仅当设a1,a2,,an就是实数，则n ai ai，等号设立当且仅当a1a2an.i1i12.2.3推断3[3]已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则ax ax iiii.i1i1 2.2.4推断4[3]xi n已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则xi.i1i1ai i12.3柯西不等式的变式[4]柯西不等式存有多种变式，下面只了解一些常用的变形形式.2.3.1变式一n ai nai i1n i1biai,bi同号且均不为零，当且仅当b1b2bn时等号成立，在柯西不等式中令ai 2.3.2变式二,bi aibi即得.bia i2naiana1a2i1在柯西a r,b r,时等号成立iin b1b2bni1bi b i不等式中令ai i,bi bi即为得.2.3.3变式三ab ii n2aibi i1n i1，在柯,bi r,当且仅当b1b2bn时等号设立西不等式中令ai ai,bi aibi即得.2.3.4变式四aibiai bi i1i1，在,bi r,当且仅当ai与bi成比例时等号设立柯西不等式中令ai ai,bi bi即得.2.3.5变式五ana1a222，a,b r,时等号设立ai bi aibi ii b1b2bni1i1i1n将柯西不等式两边开平方根即得.2.4柯西不等式的推广[4]由柯西不等式极易求出闵可夫斯基不等式.推展1：设x1,x2,,xn;y1,y2,,yn r，则存有：x1y12x2y22xn yn2x1x2xn y1y2yn其中等号当且仅当x1,x2,,xn与y1,y2,yn对应成比例时成立.柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（holder）不等式.推广2：设ai0,bi0i1,2,,n,p0,q0,1，则pqp q pqab aa iiii，当且仅当ai bi时等号设立.i1i1i1备注：当p q2时，该不等式即为上述变式五.推广3：设ai,bi为正数i1,2,,n，k为整数，且k2，则1nk1nk1nai bi aibi.ni1ni1ni1备注：当k2时，上式即为柯西不等式.推广4：设ai,bi r i1,2,,n,k z,则ai i1i1ain2k n ai当且仅当，i1a1a2an;b1b2bn时等号成立.注：当k2时，上式即变式二.2.5柯西不等式的积分形式[5]柯西（cauchy）不等式的分数形式称作施瓦兹（schwarz）不等式.定理：若f x、g x在a,b上可积，则f x g x dx fx dx ag2x dx.若f x、g x在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得f xg x.时设立，,不同时为零3柯西不等式的应用柯西不等式就是知名的不等式，它在数学上的应用领域十分广为.应用领域柯西不等式解题的关键就是将原问题变形并使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推断、变式及基本形式在解题中的精妙应用领域.3.1应用领域柯西不等式的推断3.1.1应用推论一基准1非零实数a1,a2,,an满足用户a1a2an1，澄清：1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1小值ZR19之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目）求解：a1a2an11a1a2a3ana121a2a3an1a2a3an2a11a1a2a3ana221a1a3an1a1a3an2a2an1a1a2a3an1an21a1a2a3an11a1a2a3an12an将上面n个等式相乘得： 1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an12a12a22an即y n（其中i1,2,,n）2i12aii12ai又2ai2n ai2n1而由推断一只须：2ain2n2即2n122ai，等号当且仅当a1a2an时成立，所以y有最小值2n1n n.2n13.1.2应用推论二基准2(1988年四川高中联赛试题)未知：x1,x2,,xn r,满足用户 x1x2xn a a0，且x1x2xna2n2,n n，澄清：n1i1,2,,n n证明：x1x2xn aa xn x1x2xn-1由推断二得，a xna222xn n1xn n1x n1ni1i1n1a xn a2n1xn由x1,x2,,xn的对称性，有0xi3.1.3应用领域推断三i1,2,,n.na2b2c2例3已知正数a,b,c满足a b c1，求证：a b c证明：由于正数a,b,c满足用户a b c1，故由推断三只须：a2b2c23a2b2c23a b c333a b c而a3b3c3a a2b b2c c2，故由推断三只须：a3b3c3a a b b c ca2b2c2b2c2⑵由⑴⑵得：a3b3c3故原不等式得证.3.1.4应用推论四a b2c23a b c,其中a,b,c为abc的三边。
柯西不等式及应用含答案
一、柯西不等式：211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式：))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明：（用作差法）0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式：))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明：（构造空间向量法） 设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ，所以：222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++，两边平方即可！n 维柯西不等式：211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明：（用构造函数法）（1）.当021==⋅⋅⋅==n b b b 时，不等式显然成立； （2）当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时，构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立，因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故：211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式：2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a （在柯西不等式中令b k =1，两边同时除以n 2即得） ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习：1.已知z y x ,,>0，且1=++z y x ，求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值； 2.已知b a ,>0,求证：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0，求证：x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ，求证：c b a ---++2793≥31；8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24；9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ； 10.若a >b>c ，求证：ca cb b a -≥-+-411答案：1.证明：由1=++z y x 得：zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(，所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-＝zx xy z yz zx y yz xy x +++++222，由柯西不等式得：2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即：zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥，又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥，当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明：由柯西不等式可得：22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++（放缩）)71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=（裂项相消）)711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明：由柯西不等式得：9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ，又2=++z y x所以有：x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明：与第3题的证法相同，最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号；5.证明：由1=abc 得：1222=c b a ，所以：2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即：232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ，所以：)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明：由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以：222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以：3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故：222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明：c b a ---++2793＝3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式：])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即：)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++，结合632222=++c b a 所以有：632≤++c b a即：313333363)32(=≥-++-c b a 所以：c b a---++2793≥318.证明：由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出，与第7题一样； 9.证明：]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了！10.证明：由条件a >b>c 得：b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a ＝4 所以：c a c b b a -≥-+-411 点评： 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为：222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++；2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这 三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙；4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。
柯西不等式的变式的应用
柯西不等式的变式的应用
加拉夫-柯西不等式（Carleman-Keehl inquality）在微分方程及其它一些科学领域都有着广泛的应用。
加拉夫-柯西不等式最初是由瑞典数学家卡尔曼（Carleman）在1920年提出的，而另一位瑞典数学家柯西(Keehl)于1925年提出了更完善的版本。
它描述了一个椭圆的方向的矢量的几何特征以及其欧几里德距离的关系，具体的表达式如下：
椭圆方程为
$$a*x^2+2bxy+cy^2=d$$
则矢量位于椭圆内的点（x，y）满足加拉夫柯西不等式：
$$b^2-ac<(y-mx)^2+(x-my)2<b^2+ac$$
其中(mx, my)为椭圆的重心，a, b, c和d分别表示椭圆方程的参数.
加拉夫-柯西不等式能够用来解决一些几何上的问题，比如在空间几何中，只要我们知道了椭圆的重心，就可以利用该不等式确定椭圆上任意一点的位置。
同时，它还有许多的应用，最常见的就是用它来求解一个同时有多个方程的等式组，比如求解一个线性系统的最佳解。
加拉夫-柯西不等式可以用来预测一个线性系统中各方程和变量的趋势，从而极大减少解决问题所需的计算时间。
此外，加拉夫-柯西不等式还应用在经济学、统计学及信号处理等领域中。
它可以用来测量不确定性，并且可以用来估算随机特征值的最大值和最小值。
最后，加拉夫-柯西不等式还可以用于加工设计中，以判断组件的精度是否符合设计要求。
换句话说，我们可以根据加拉夫-柯西不等式计算组件的位置和尺寸，以确定是否满足设计要求。
总之，加拉夫-柯西不等式是一个强大的数学工具，也是一个广泛应用的不等式，具有多种用途。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
柯西不等式的一个简单证明及应用
柯西不等式的一个简单证明及应用王玉兰【期刊名称】《海洋世界》【年(卷),期】2002(000)002【摘要】柯西不等式设ai>0 ,bi>0 , i=1 ,2 ,… ,n。
( ∑ni =1a2i) ( ∑ni =1b2i) ( ∑ni =1aibi) 21证明设A=∑ni =1a2i,B=∑ni =1b2i,C=∑ni =1aibi则ABC+ 1 =∑ni =1a2i BC2 + ∑ni =1b2i B=∑ni =1( a2i BC2 + b2i B) ∑ni =12 aibi C=2所以 ABC+ 1 2 ,即 AB C2。
2 应用利用柯西不等式推导空间一点p( x0 ,y0 ,z0 )到直线 L: Ax+ By+ Cz+ D=0的距离公式d=| Ax0 + By0 + Cz0 + D|A2 + B2 + C2设 p1( x1,y1,z1)是直线 L: Ax+ By+ Cz+ D= 0上任一点则有Ax1+ By1+ Cz1+ D=0则 | pp1| =( x0 - x1) 2 + ( y0 - y1) 2 + ( z0 - z1) 2 的最小值就是 p到直线 L的距离。
由柯西不等式 ,得A2 + B2 + C2 · ( x0 - x1) 2 + ( y0 - y1) 2 + ( z0...【总页数】1页(P)【作者】王玉兰【作者单位】内蒙古工业大学基础部;内蒙古呼和浩特【正文语种】中文【中图分类】O122【相关文献】1.二维柯西不等式的推广证明及简单应用 [J], 徐永贤;杜伟林2.例谈柯西不等式一个最简单变式的应用 [J], 王淼生3.柯西不等式的一个简单证明及应用 [J], 王玉兰4.例谈柯西不等式一个最简单变式的应用 [J], 王森生;5.二维柯西不等式的推广证明及简单应用 [J], 徐永贤;杜伟林;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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柯西不等式的一个变式及应用
作者：杨文学
作者单位：宁夏平罗县回民中学,753400
刊名：
中学数学杂志(高中版)
英文刊名：ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN)
年，卷(期)：2007(3)
被引用次数：1次
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引用本文格式：杨文学柯西不等式的一个变式及应用[期刊论文]-中学数学杂志(高中版) 2007(3)。