材料加工原理作业2015-董杰
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一简单立方结构的双晶体，若该金属的滑移系是{100}<100>,问在正应力σ作用下该双晶中哪一个晶体先发生滑移？为什么？
解： 临界切应力：cos cos τσϕλ=,
ϕ滑移面与受力面夹角(等于两个法线方向夹角)，λ为滑移方向与σ方向夹角。
231011[011]100i j k a a a ⎡⎤⎢⎥=⨯=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 231001[010]100i j k b b b ⎡⎤
⎢⎥=⨯==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对晶体Ⅰ, σ//[0 -1 1]
当滑移面为(1 0 0) 、(-1 0 0) 时，cos 0ϕ=
而滑移面为(0 1 0)、(0 -1 0)、(0 0 1)、(0 0 -1)时，2cos 2
ϕ=滑移方向为[1 0 0] 、[-1 0 0]时，cos 0λ=；
滑移方向为[0 1 0] 、[0 -1 0] 、[0 0 1] 、[0 0 -1]时，2cos 2
λ=
(0 ±1 0) [0 0 ±1] ; (0 0 ±1) [0 ±1 0]等滑移系/2τσ=,可以滑移
对晶体Ⅱ, σ//[0 1 0]
当滑移面为(1 0 0) 、(-1 0 0) 、(0 0 1) 、(0 0 -1) 时，cos 0ϕ= 而滑移面为(0 1 0)、(0 -1 0)时，cos 0ϕ=
此时滑移方向只能为[1 0 0] 、[-1 0 0] 、[0 0 1] 、[0 0 -1]时，cos 0λ= 任何滑移系，0τ=,不可以滑移
所以晶体Ⅰ先发生滑移。
2
a 2
b
已知OXYZ 坐标系中物体内某点的应力坐标为（4, 3，-12）其应力分解为：
1004020405030203010ij σ-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
应力单位：2/N mm
a ）将应力分量画在单元体上；如图一
b ）求出该点且方程为x+3y+z=1的平面上的正应力和剪应力；
图一
c ）求主应力。主轴方向、主剪应力、最大剪应力。应力偏张量及球张量，八面体应力和等效应力；
d ）现将直角坐标系改成圆柱坐标系，原点不变，取原x 轴为极轴，试求其应力分量lk σ（l ，k=r ，θ，z ）。并判断它是否是轴对称状态。（ lk σ也就是原坐标系中r ，θ，z 方向微分面上的应力分量。）
解：a ）如图一所示。注意XYZ 坐标系和应力分量的关系。 b ）x+3y+z=1平面的法向向量为(1,3,1)11
N -
=
111111x x yx zx y xy y zy z xz yz z S l m n S l m n S l m n στττστττσ=++=
=++==++=
X
100
4030
20
-20
-Y
Z
所以S==
斜面上的正应力：
920
83.6
11 x y z
S l S m S n
σ=++=+=≈MPa
斜面上的剪切应力：37.0
τ==≈MPa
C) 应力不变量
1
222
2
222
140
()600
32192000
x y z
x y y z z x xy yz zx
x y z xy yz zx x xy y yz z zx
J
J
J
σσσ
σσσσσστττ
σσστττστστστ
=++=
=-+++++=-
=+⋅⋅⋅---=-
代入32
123
J J J
σσσ
---=
解得主应力
1
2
3
122.24
49.49
31.73
MPa
MPa
MPa
σ
σ
σ
=
=
=-
再代入
222
()0
()0
()0
x yx zx
xy y zy
xy yz z
l m n
l m n
l m n
l m n
σσττ
τσστ
ττσσ
-++=
+-+=
++-=
++=
解得三个主应力平面对应的方向余弦：
m1=0.50，l1=0.86, n1=0.03;
m2=0.54，l2=0.75, n2=0. 38;
m3=0.53，l3=0.35, n3=0.94
主剪切应力为：
1212
2323
1313
1
()37.88
2
1
()39.11
2
1
()76.99
2
MPa
MPa
MPa
τσσ
τσσ
τσσ
=-=
=-=
=-=
最大剪应力76.99MPa
应力球张量\应力偏张量\八面体应力\等效应力(略)
D) 首先要将直角坐标系转换成圆柱坐标系