一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义讲课讲稿
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。
课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=） 举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法） 解：原方程可变形为： 解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=， 即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。
一元二次方程的解法辅导讲义教师版
一元二次方程的解法辅导讲义辅导科目：数学 年 级: 班主任： 课 时 数：3 学员姓名： 学科教师： 授课主题 一元二次方程的解法授课日期及时段教 学 内 容一、知识梳理知识点一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1） 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1、一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2、一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3、一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2） 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方 程是一元一次方程．（3） 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．知识点二、一元二次方程的解法 一、配方法①配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解 的这样一种方法就叫做配方法②配方法的一般步骤解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1、二次项系数化12、常数项右移3、配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）4、化成2()x m n +=的形式．5、若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 二、公式法①公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则21,242b b acx a-±-= ②公式法解一元二次方程的一般步骤 公式法解方程的步骤： 1、把方程化为一般形式 2、确定a 、b 、c 的值． 3、计算24b ac -的值．4、若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．5、若240b ac -<，则方程无解．三、因式分解法①因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求 解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若 0ab =，则0a =或0b =；②因式分解法的条件：方程左边易于分解，右边等于0 ③因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式 都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.四、可化为一元二次方程的分式方程的解法1、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程．2、解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．3、用去分母法解分式方程的具体步骤是： （1）把方程两边都乘以最简公分母，约去分母； （2）解所得的整式方程；（3）验根．五、含参的一元二次方程的解法①含字母系数的二次方程的解法解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和24b ac -的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆； (3)在24b ac -开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能 ②判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实 数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．知识点三、一元二次方程的整数根对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参 数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为 有理数)知识点四、 一元二次方程的根与系数的关系一、 韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-， 12x x q ⋅=．二、 韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴ 当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<， 则 此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 三、 韦达定理的应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； （2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； （3）已知方程的两根，求作方程； （4）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（5）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设 置陷阱．二、例题讲解题型一、一元二次方程的解法例1、已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的（ ） A ．()25x p -=B ．()29x p -=C ．()229x p -+=D ．()225x p -+=【答案】 B 【解析】 配方例2、方程260x x +-=的解是（ ） A ．13x =-，22x = B ．13x =，22x =- C ．13x =，23x =- D ．12x =，22x =-【答案】 D【解析】当0x >时，原方程变形为260x x +-=，利用公式法求解得12x =，23x =-（舍去），当0x <时，原方程变形为260x x --=，利用求根公式解得13x =（舍去），22x =-方程的根12x =，22x =-，故答案为D 选项．例3、一元二次方程2220x bx b --=的解为（ ） A ．1x b =-，22x b =- B ．1x b =，22x b = C ．1x b =-，22x b =D ．1x b =，22x b =-【答案】 C 【解析】原方程可化简为()()20x b x b +-=，因此0x b +=或20x b -=，解得1x b =-，22x b =．例4、分式方程22221332011x x x x +---=-+的解为（ ）A ．12x =，22x =-B ．12x =，22x =-，340x x ==C ．12x =，22x =-，340x x ==D ．11x =，21x =-【答案】 C 【解析】设2211x y x +=-，则原方程可化为320y y --=，解得13y =，21y =-，经检验，13y =，21y =-都是方程320y y --=的根．当13y =时，22131x x +=-，解得2x =±，经检验2x =±是方程的解；当21y =-时，22111x x +=--，解得120x x ==，故答案为C ．例5、含参一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx 的解为（ ） A ．11x =-，223m x m -=B ．11x =-，223m x m-=- C ．11x =，223m x m -=D ．11x =，223m x m-=-【答案】【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()1230x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，解得11x =，223m x m-=，故答案为C ． 例6、已知221140x x x x +---=，求1x x+的值【答案】 3或2- 【解析】 设1x t x +=，则原方程可化为260t t --=，解得13t =，22t =-，故1x x+的值为3或2-变式1、设方程22140x x ---=．求满足该方程的所有根之和 【答案】 26-【解析】当210x ->，即：12x >时，原方程可化为2230x x --=，解得：13x =，21x =-（舍去） 当210x -=，即：12x =时，代入原方程不成立，应舍去．当210x -<，即：12x <时，原方程可化为2250x x +-=，解得：316x =--，41162x =-+>（舍去）所以方程的所有根为3和16--，故方程的所有根之和为3(16)26+--=-变式2、解关于x 的方程22220x mx m n -+-= 【答案】12x m n x m n =-=+，【解析】()()0x m n x m n -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以12x m n x m n =-=+，变式3、解方程()()()()()()11111111291012x x x x x x x x ++++=-+++++ 【答案】 96492x -±=【解析】 原式变形为11111012x x -=--，去分母整理得2211220x x +-=，解得96492x -±=，经检验都是原方程的根，故原方程的解为96492x -±=变式4、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t 是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-． 注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s 和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-题型二、一元二次方程的整数根 例1、方程()3211x x x ++-=的所有整数解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 C【解析】当211x x +-=，即1x =或2x =-时，原方程成立； 当211x x +-=-时，当0x =或1x =-．由()03111+-=-≠，()1311-+-=得1x =-是原方程的解；当21x x +-≠1或1-时，有30x +=，得3x =-，41x =，从而知原方程整数解的个数是4． 故选C ．例2、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个【答案】 5【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当6,9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数变式、已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．题型三、一元二次方程的根与系数的关系例1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】 C【解析】方程2210kx x --=是一元二次方程，则0k ≠，有两个不相等实数根，则()2240k ∆=-+>，解得1k >-，所以1k >-且0k ≠，答案为C ．例2、已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤【答案】 B【解析】∵方程有实数根，∴240b ac -≥．由题意，得22442b b ac b ac a -+-=- ⑴ 或22442b b ac b ac a ---=- ⑵ 令24u b ac =-，则方程⑴可化为：220au u b -+=，方程⑵化为：220au u b ++=∵24u b ac =-是方程⑴或⑵的解，∴方程⑴、⑵的判别式非负，即12180ab ∆=∆=-≥，∴18ab ≤，故答案为B 选项．变式、已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案】 1-【解析】 ∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、课堂巩固1、设a ，b 都是正实数且1110a b a b +-=-，则b a的值为（ ） A ．152+ B ．352- C ．152-+ D ．152--【答案】C【解析】原式可化简为210b ba a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得152b a -+=或152--（舍去）2、分式方程()()2211011n x x n n n n +-+=++的解为（ ）A ．1x n =，21x n =+B ．11x n =，211x n =+ C ．1x n =，211x n =+ D ．11x n =-，211x n =-+【答案】B【解析】原分式方程可化为1101x x n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，故11x n =，211x n =+，故答案为B ．3、含参一元二次方程2(32)30mx m x m +-+-=的解为（ ） A ．11x =，23m x m -=B ．11x =-，23mx m-= C ．11x =，23mx m-= D ．无法判断【答案】 A【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()130x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，所以11x =，23m x m-=，故答案为A ．4、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________【答案】 2m =-【解析】由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-5、已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值【答案】 8-【解析】通过配方，原式可化为()()22230x y ++-=，由()220x +≥，()230y -≥可得2x =-，3y =，故()328y x =-=-6、解关于x 的方程210x x --=【答案】 1152x +=，2152x --=【解析】当0x ≥时，原方程化为210x x --=，解得152x ±=，因为0x ≥，故152x +=；当0x <时，原方程化为210x x +-=，解得152x -±=，因为0x <，所以152x --=，综上可得原方程的根为1152x +=，2152x --=7、解方程：2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 12x =，212x =，31x =【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =8、已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值【答案】 21-【解析】因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-9、（2014初三上期末朝阳区）某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？【答案】 10【解析】该题考察的是一元二次方程的应用．设售价应提高x 元，依题意得()()10500108000x x +-=，整理得2403000x x -+= 解方程得110x =；230x =，∵售价不高于70元，所以30x =不符合题意，答：该商品每件应涨价10元．这次课我学到了：签字：年 月 日课后作业1、()()2353x x x -=-的解是（ ） A ．52x =B ．3x =C ．152x =，23x = D ．25x =【答案】 C【解析】原方程可变形为()()3250x x --=，所以152x =，23x =，故答案为C 选项．2、分式方程2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为（ ）A ．2或12或1 B ．2或12C ．1D ．无实数解【答案】 A【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =，故答案为A ．3、含参一元二次方程2(1)(21)20m x m x ---+=的解为（ ）A ．12x =-，211x m =-- B ．12x =，211x m =+ C ．无法确定 D ．12x =，211x m =-【答案】 D 【解析】因为原方程为一元二次方程，所以10m -≠，由因式分解法可得()()2110x m x ---=⎡⎤⎣⎦，所以12x =，211x m =-，故答案为D ．4、若关于x 的方程()0221123=----mx x m mm是一元二次方程，则m =__________【答案】 23m =-【解析】满足10m -≠，且232m m -=，解得23m =-5、（2012中考东城二模）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根． 据此可知：(1)i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则4i = ， 2011i =______________，2012i =__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．【答案】（1）1；-i ；1（2）1i +和1i -【解析】该题考查的是求一元二次方程的根（1）根据21i =-可将4i 化为22i i ⋅；()100520112i i i =⋅；()100620122i i i =⋅进行计算即可；∵21i =-， ∴2421i i i =⋅= ∴()()10051005201121i i i i i ⋅⋅==-=-； ∴()()10061006201221i i i i i ⋅-⋅===．∴41i =，2011i i =-，20121i =……3分（2）先根据21i -=求出∆的值，再由公式法求出x 的值即可． ∵()224124∆=--⨯⨯=-，21i =- ∴24i ∆=，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-…5分6、解关于x 的方程()()()2220x p q x pq p q p q -+++-=【答案】1()x p p q =-，()2x q p q =+【解析】用十字相乘法分解因式得()()0x p p q x q p q ---+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以1()x p p q =-，()2x q p q =+7、已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，当m 为何值时，方程恰有三个不相等的实数根？求出这三个实数根【答案】0m =，11x =-，212x =-+，312x =--【解析】设22x x y +=，则原方程可化为22210y my m -+-=，解得11y m =+，21y m =-，所以2210x x m +--=①，2210x x m +-+=②，从而148m ∆=+和24m ∆=应有一个等于0，一个大于0，经讨论当20∆=，即0m =时10∆>，此时②有两个相等的实数根1x =-，①有两个不等实数根12x =-±8、已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，15,2αβ±= 又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．9、（2012初二下期末朝阳区）列方程解应用题汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2009年到2011年每年盈利的年增长率是多少?（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2012年盈利多少万元?【答案】（1）0.2x =（2）2592万元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题． （1）设该公司每年盈利的年增长率是x ．()2150012160x += 3分()21 1.44x +=解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 4分 答：该公司每年的年增长率是20%（2）()216010.22592+= 5分 答：预计2012年盈利2592万元。
一元二次方程(说课稿)
配方法
• 通过添加和减去特定的数值，将一元二 次方程配成完全平方的形式。
• 适用于一元二次方程的二次项系数和一 次项系数无法直接分解的情况。
联立方程组解法与一元二次方程的联系
1
联立方程组
将多个一元二次方程联立起来，通过求解方程组得到方程的解。
经济问题
一元二次方程可以用于经济学中的成本、收入、利润等相关问题的建模和分析。
工程问题
一元二次方程在工程领域中广泛应用，如弧线造型、平面结构力学等的计算和优化。
总结和回顾
通过本课程，我们深入了解了一元二次方程的定义和特点，解的求法，图像 和性质，分解和配方法，联立方程组解法与应用实际问题。希望这些知识能 够帮助你更好地理解和应用一元二次方程！
二次函数图像
顶点
二次函数的图像是一个抛物线， 具有对称轴、顶点等性质。
二次函数的顶点是抛物线的最 高点或最低点，对称轴通过顶 点。
根
二次函数与x轴的交点称为根， 根的个数与方程的解的个数相 等。
分解和配方法求一元二次方程的解
分法
• 将一元二次方程分解成两个一次方程， 每个一次方程的解即为原方程的解。
一元二次方程(说课稿)
欢迎参加本次关于一元二次方程的分享。本课程将深入探讨一元二次方程的 定义和特点，以及解的求法，图像和性质，分解和配方法，联立方程组解法 与应用实际问题。让我们一起开始吧！
一元二次方程的定义和特点
1 定义
一元二次方程是一个包含未知数x的二次项、一次项和常数项的等式。
2 特点
它的最高次项是二次项，拥有一个未知数，和三个系数：二次项系数、一次项系数和常 数项。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
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感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
九年级一对一教案-第6讲-一元二次方程19版
第6讲一元二次方程1.一元二次方程定义2.一元二次方程的根3.解一元二次方程4.根的判别5.韦达定理6.一元二次方程应用知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－1.【例题1】 （2017秋•郓城县期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．3x 2+﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0 C．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【例题剖析】概念理解题：能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键【例题2】 关于x 的方程是一元二次方程，则a= ．【例题剖析】对一元二次方程一般形式的理解题：【例题3】 （2017•河北模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +m 2﹣5m +4=0，常数项为0，则m 值等于（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．0【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解题：【例题4】（2017秋•抚顺县期末）关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3【例题5】（2017秋•潮南区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（）A．﹣2B．1C．0D．5【例题6】已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=．【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解转换计算：【例题7】（2017•临海市模拟）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20142.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2－4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=－3,k=6.【例题剖析】解一元二次方程-直接开平方法的【新定义题】【练习1】给出一种运算：对于函数y=x n，规定y'=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y'=4x3．已知函数y=x3，则方程y'=36的解是（）A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=4，x2=﹣4【练习2】（2017春•甘州区校级期中）在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为．【练习3】在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．【练习4】（2017春•鄂州期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则=．考点1 ：解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【例题剖析】解一元二次方程-配方法【例题8】利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形为（）B．C．D．A．【例题9】用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0考点2 ：解一元二次方程-公式法【例题剖析】解一元二次方程-公式法【例题10】已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【例题11】若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2B．m＜﹣1C．1＜m＜2D．0＜m＜1【例题12】用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．考点3 ：解一元二次方程-因式分解法【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法【例题13】（2017•霍山县校级模拟）使分式的值等于零的x是（）A．6B．﹣1或6C．﹣1D．﹣6【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法实际运用【练习5】（2017•高新区一模）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（）A．8.5B．4C．4或﹣4.5D．4或﹣4.5或8.5【练习6】定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3B．x=﹣1C．x1=3，x2=1D．x1=3，x2=﹣1【练习7】（2017秋•凉州区期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．考点4 ：换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例题剖析】解一元二次方程-换元法【例题14】（2017秋•鄂城区期中）已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3【例题15】已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．3C．﹣2或3D．﹣2且3【例题16】已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【例题17】（2017秋•宜城市期中）已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.【例题剖析】解一元二次方程-根的情况判别【例题18】一元二次方程3x2﹣6x+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【例题19】（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【例题剖析】解一元二次方程-根判别的相关计算【练习8】（2018•泸县校级一模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【练习9】（2017•广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4*4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时★=b2－4ac≥0.（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例题剖析】根与系数的关系的直接计算【例题20】（2017秋•武昌区月考）方程x2﹣6x+10=0的根的情况是（）A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根【例题21】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣15=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣15D．15【例题22】两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．【例题23】（2017春•莱城区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积是（）A．18B．30C．36D．不确定【例题剖析】根与系数的关系的逆运算【练习10】（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【练习11】（2017•新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【练习12】（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【例题剖析】根与系数的关系的转换计算【模型A】+【练习13】若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣【练习14】（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【练习15】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【模型B】x12+x22【练习16】若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6B．﹣6C．18D．﹣18【练习17】已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．【模型C】+【练习18】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【练习19】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【模型D】n m【练习20】（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【练习21】（2018•宜宾模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是．【模型E】根的加、积混合【练习22】（2017•仙桃）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【练习23】设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2009B．2010C．2011D．2012【练习24】（2017•日照模拟）已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2﹣ab+3a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．8【练习25】已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣9【练习26】（2017•昆明模拟）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（）B．﹣C．D．﹣A．【练习27】（2017秋•金堂县期末）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；★ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.★平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；★利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；★传播、比赛问题：★面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.1、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）“每每型”：在经济问题中常常出现这样的描述：“单价每降低1元，每天可多售出10件。
一对一教案一元二次方程第一课时
一对一教师辅导教案授课日期：2018年月日授课课时： ks 学员姓名年级辅导科目学科教师班主任授课时间教学课题一元二次方程1教学目标1、复习一元二次方程，一元二次方程的解的概念；2、复习4种方法解简单的一元二次方程；教学重难点灵活运用韦达定理，注意a≠0对求范围结果的影响课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:教学内容课堂收获【知识点1】一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念1、这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．例2．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【练一练】1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．课堂教学过程①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个2、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？3、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？【知识点2】解一元二次方程的方程1、直接开平方法应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．例1：解方程：x2+4x+4=12、配方法左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．5x3pp例2．解下列关于x 的方程（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．3、因式分解法先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
方程的根的性质
总结词
一元二次方程的根具有根的和等于系数之比的负值、根的积等于常数项与首项系数之比的性质。
详细描述
一元二次方程的根具有一些重要的性质。根的和等于系数之比的负值，即 x1 + x2 = -b/a；根的积等于常数项与 首项系数之比，即 x1 * x2 = c/a。这些性质在求解一元二次方程时具有重要的应用价值。
$x$ 的解。
适用范围
适用于所有一元二次方 程。
注意事项
需要先判断判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，确保方程有实
数解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的 公式直接求解。
详细描述
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解的公式 为 $x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$，其中 $Delta = b^2 - 4ac$。 直接代入求解即可。
适用范围
适用于所有一元二次方程 。
注意事项
需要先判断判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的 正负，确保方程有实数解 。
因式分解法
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
详细描述
通过因式分解将一元二次方程转化为两个 一次方程，从而求解。
适用范围
如果一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 可以分解为 $(mx + n)(rx + s) = 0$ 的形 式，则 $x$ 的解为 $x_1 = -frac{n}{m}, x_2 = -frac{s}{r}$。
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
在几何学中，一元二次方 程可以用来解决一些与面 积、体积、角度等有关的 问题。
一元二次辅导讲义(全面)
杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。
《一元二次方程》数学教学PPT课件(4篇)
2
抢答：
一元二次方程
2
2x +x+4=0
2
-4y +2y=0
2
3x -x-1=0
2
4x -5=0
2
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
3x(x-1)=5(x+2)
二次项 一次项 常数项
系数
系数
2
1
4
-4
2
0
3
-1
-1
4
0
-5
m-3
1-m
-m
-8
-10
3
比一比
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并
式，并写出它的二次项系数，一次项系数和
常数项。
方程
一般形式
3x( x 1) 5( x 2) 3x 8x 10 0
2
二次项 一次项 常数
系数
系数
项
3
-8
-10
x( x 5) 0
x 5x 0
1
5
0
1 2x 0
2x 1 0
2
0
-1
2
16
-17
2
2
2
(2 x 1) 2( x 3) 2x 2 16x 17 0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
1
2
(3)2x － －
3x －1 ＝0
2
y
(4) －
2 ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
想一想:
☞
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______
≠3
时，是一元二次方程．
认识一元二次方程讲课稿
说课稿——认识一元二次方程12304014 刁震宇教学重点：掌握一元二次方程的概念教学难点：将一元二次方程与实际问题结合教学过程：师：上课，同学们好生：老师好师：请坐。
很高兴今天能与同学们一起学习，我是你们的授课老师刁震宇。
在正式进入本节课的学习内容之前，老师有一个出自爱因斯坦的关于成功的公式要教给大家，成功=艰苦奋斗+正确方法+少说空话。
老师希望同学们都能够在学习和生活中掌握这个公式，成为一名成功的人。
接下来我们一起走进本节课的学习内容。
同学们在以前的学习中接触过一元一次方程，二元一次方程，有哪位同学能够告诉老师他们的概念以及一般形式呢？生：一元一次方程是在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1。
一般形式是ax+b=c。
二元一次方式是含有两个未知数，且未知数的指数都是1，一般形式是ax+by=c。
师：好，请坐。
同学们说他说的对不对呀？生：对。
师：那今天老师就要交给大家一种新的方程，也就是今天的学习内容：第二章第一节认识一元二次方程。
那下面我们先来看看黑板上的这道题。
A同学你来读一下题。
生：幼儿园某教室矩形地面的长为8cm，宽为5cm，现准备在地面正中间铺设一块面积为18平方米的地毯，如下图所示，四周未铺设地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度么？师：好，请坐。
同学们思考这道题，由已知条件，四周未铺设地毯的条形区域的宽度都相等，那我们不妨将其设为x，依据题中所给的条件，大家能列出怎样的方程？同学们在练习本上验算一下。
有哪位同学能告诉老师你的答案？A同学。
生：由题中条件知，地毯的长为18-2x，宽为5-2x，且地毯的面积为18平方米，得出方程：（8-2x)(5-2x)=18师：好，请坐。
大家同意他的答案么？生：同意。
师：完全平方的公式大家都还记得吧，我们一起来把这个方程整理，大家在本子上计算，老师在黑板上验算。
大家的答案跟老师的答案一样么？生：一样。
师：好，那同学们在本子上记录下整理后的方程。
一元二次方程全章讲义
编讲：向老师一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。
① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 － 43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0； ④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）（4x + 3）。
例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。
例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、21。
【夯实基础练】：一）、填空题：1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m 2 = 。
4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。
一元二次方程详细教学
一元二次方程详细教学【原创实用版】目录一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法3.因式分解法三、一元二次方程的应用1.实际问题中的应用2.解决其他相关数学问题的基础正文一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知数，且 a≠0。
在这个方程中，未知数的最高次数是二次，因此被称为一元二次方程。
一元二次方程是初中数学和高中数学中的基本内容，掌握这个知识点对于后续学习有着重要的意义。
在一元二次方程中，一般形式为 ax+bx+c=0，其中 a、b、c 分别为方程的三个系数，x 为未知数。
在这个方程中，a 决定了二次项的正负性，当 a>0 时，二次项为上开口抛物线，当 a<0 时，二次项为下开口抛物线。
b 和c 则决定了抛物线与 x 轴的交点，也就是一元二次方程的解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有配方法、公式法和因式分解法三种。
1.配方法：配方法是将一元二次方程化为完全平方的形式，然后解出未知数的方法。
具体操作是，将常数项移到等式右边，然后将二次项的系数除以 2，再将其平方加到等式两边，使等式左边成为完全平方。
2.公式法：公式法是根据一元二次方程的系数，利用公式求出解的方法。
公式为：x1,2=[-b±√(b-4ac)]/2a。
其中，x1 和 x2 分别为方程的两个解，当 b-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数解；当 b-4ac=0 时，方程有两个相等的实数解；当 b-4ac<0 时，方程无实数解。
3.因式分解法：因式分解法是将一元二次方程分解为两个一次方程，然后解出未知数的方法。
具体操作是，将一元二次方程的左边因式分解，然后使每个因式等于 0，解出一次方程，从而得到未知数的解。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，例如求解面积、体积、路程等问题。
第01讲 一元二次方程(解析版)
第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a 2+2)x 2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a 2≥0，于是都有a 2+2＞0，由此可知a 2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m 2-1)x 2+(2-2m)x+(m 3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m 2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x 2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+(2a+1)x+a 2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x-+=不是整式方程；⑤2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0；(2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m 2-8)y 2-(3m-1)y+m 3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m 2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m 2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m 3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+=2490b ac =-=> ∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m 2﹣3m+2=0，解得：m 1=1，m 2=2，∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0得出：x 2+5x=0x（x+5）=0，解得：x 1=0，x 2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a=.（2）已知关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a -≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3-B ．3、2、3C ．3、2-、3D ．3、2-、3-【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x -=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x -=化为一般形式，得23230x x --=，二次项系数为3，一次项系数为2-，常数项为3-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x -+--=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t -=，得到方程210at bt +-=，再根据210(0)ax bx a +-=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，设1x t-=∴210at bt +-=∵210(0)ax bx a +-=≠有一个根1x =∴在210at bt +-=中1t =∴即在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，11x -=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +-=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +-=的一个根，∴2210m m +-=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1-【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题（2）解：∵（﹣3x 2+6x ﹣5）－（﹣x 2+2x +3）＝﹣2x 2+4x ﹣8＝﹣2（x ﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x 2+6x ﹣5＜﹣x 2+2x +3，（﹣3x 2+6x ﹣5）*（﹣x 2+2x +3）＝（﹣3x 2+6x ﹣5）﹣3（﹣x 2+2x +3）＝﹣3x 2+6x ﹣5+3x 2﹣6x ﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x＝5．。
一元二次方程(第一课时)课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
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一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲
义
1、了解一元二次方程的概念；
2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；
3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的概念及解法知识梳理
1、如果()a a 21122
-=-，则（ ） A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a
2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________
3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x
4、 9814313212
11++⋅⋅⋅++++++
5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值
知识梳理
课前检测
一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．
就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax
注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式
(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）
(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
二、一元一次方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
三、一元二次方程的解法
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
第二课时 一元二次方程的概念及解法典型例题
题型一：一元二次方程的概念
例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax D
1222+=+x x x
变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
题型二：一元二次方程的解
例2.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
变2.（1）关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值
为 。
（说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.） 典型例题
（2）已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
（说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
） 题型三：一元二次方程的解法
类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如()m x m m x ±=≥=其解为：,02
※对于()m a x =+2，()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例3.解方程：();08212=-x （2）
7)132=+x （ ()();09132
=--x
变3.（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.
类型二、配方法
基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方
4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例4.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
变4.（1）已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
（2）已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
第三课时 一元二次方程的概念及解法课堂检测
1．若方程||(2)
310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m ≠±2
2．如果关于x 的方程210px x ++=的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p 的值是
（ ）
A ．1 B. ±1 C. 2 D. ±2
3.已知m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -的值为_______;
4．若方程2(1)60k x x +--=的一个根是2，则k=__________;
5．当k 满足条件_______时，方程224(3)50()
k x k x -+-+=不是关于x 的一元二次方程。
6．若关于x 的一元二次方程23
(2)522a x a ax -++=的常数项为二次项系数的2倍，则一次项系数为________;
7.已知,αβ是一元二次2230x x --=的解，则222221()()αβαβ-+--=_______;
8．已知一元二次方程240x x m --=，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（ ）
A.22(2)4x m -=+
B. 2(2)4x m -=-
C. 2(2)4x m -=-
D. 2(2)4x m -=+
9．用配方法解方程2
35x x +=，应把方程的两边同时（ ）
A.加32
B.加94
C.减32
D.减94
10．下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．20bx c ax ++= B. 221x x ax +=- C ．2221(1)0()a x a x +--= D. 213
a x x =-+ 11．229__________(_____1)x ++=+
12．若236y ay ++是一个完全平方式，则a=_______;
13．若2320m n m n x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求m ，n 的值。
14. 当m 取任意实数时，判断关于x 的方程2(1)
(1)0m x m x m -++-=的类型。
15．用配方法解方程：
（1）； （2）； （3）；
23610x x --=22540x x --=2884x x -=课堂检测。