阿基米德三角形精编版

连接
QA'、QB'、QF、AF、BF，则 kFA'
y1 p
，
显然 kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，
由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，
∴△QAA' △QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，
同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A'
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
2
22
2
相交，分别联立方程组
y y
t 1 2 x0 x 2
x
t
x02 4
,
y
y
1t 2 x0 x 2
xt x02
4
，
解得
D，E
的横坐标分别是
xD
x02 4t 2(x0 1 t)
, xE
x02 4t 2(x0 t 1)
则
xE
xD
(1 t)
x02 4t x02 (t 1)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
对任意 x0 (2, 2) ，要使△ QAB 与△ PDE 的
面积之比是常数，只需
t
满足
4 (t 1)2 8t
4(t
1) 2
16t 2
，
解得 t=-1，此时△ QAB 与△ PDE 的面积之比为 2，故
CP
B
QA 为此抛物线的切线；
AO x
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． Q
l
阿基米德三角形的性质
性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 a3 ． 8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
由性质 1 知 d | QM | x1 x2 y1 y2 2 2p
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c)
任作一直线，与抛物线 y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的
直线，分别与线段 AB 和直线 l : y c 交于点 P，Q ．
y
uuur uuur （1）若 OAgOB 2 ，求 c 的值； （2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
曲线 C 在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t） （t＜0），使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E， 且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值． 若不存在，说明理由．
y12 y22 2 y1 y2 = ( y1 y2 )2 ，
4p 4p
4p
设直线 AB 方程为： x my n ，则
a
(1 m2 )( y2
y1 )2
，∴ ( y2
y1 ) 2
≤ a2 ，∴ d
a2 4p
，即
S=
1 2
ad≤ a3 8p
.
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB． 证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，
存在 t=-1，使△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数 2。
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，
x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
2p
2
∴ y1 y2 2 px
l
由 A、B、C 三点共线知
SVQST
，∴ SVABI
2 SVQST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点 uuur uuur uuuur uuur uuur
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
F (0,
x02 ) ，由于 2 4
x0
2 ，因此 1
x0 2
1
解题方法研究
①当 1 t 0 时，
1
t
1 2
1 2
，存在
x0
(2,
2)
，使得
x0 2
t 1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
②当 t 1时， t 1 1 x0 ,1 t 1 x0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定
解题方uuu法r 研究
解：（1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
uuur MB (2 x,1 y)
y
uuur uuur
B
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 , uuuur uuur uuur
A
OQ E x
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
证明：设 A(2 pt12 , 2 pt1) 、 B(2 pt22 , 2 pt2 ) 、 I (2 pt32 , 2 pt3 ) ，
易求得过 B、I 的切线交点 T
(2 pt2t3, p(t2 t3)) ，
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t1x y p(t2 t3 ) 4 pt1t2t3
等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线
所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积为 S ，
则 SVABI
SVQAB
SVQST
33 2 S1 2 S2
3
333
=
2
S
SVQST
2
S1
2
S2 =
(S 2
S1
S2 ) SVQST
3 = 2 SVABI
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
性质 2 可知 Q 点的轨迹方程
y0 y p(x x0 ) ，
该方程与 ax by c 0 表示同一条
直线，对照可得
x0
c a
,
y0
bp a
，
即弦 AB 过定点 C（ c ， bp ）. aa
阿基米德三角形的性质
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿 基米德三角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点．
（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且
阿基米德三角形面积的最小值为 p2 ．
证明（2）：若底边过焦点，则 x0
p 2
,
y0
0
，Q
点轨迹方程为
x
p 2
即为准线；易
验证 kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德
三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|Q
C N
D
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。 引理3：P为线段QM的中点。
C M1
N D
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p(x x1) ，过 B 的切线方程为 y2 y p(x x2 ) ，联立方程组得
点为Ｍ．
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
Fra Baidu bibliotekx2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2 = ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
2p 2
2
2p
44
阿基米德三角形的性质
性质 11 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交 QA、QB 于 S、T，则△QST 的垂心在准线上．
DF
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ，
化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
P
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
是 y t 1 x t ，直线 PB 的方程是 y 1 t x t ，曲线 C 在
2
2
点 Q 处的切线 l 的方程为 y x0 x x02 , 它与 y 轴的交点为 24
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行． 证明：由性质 1 知
Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
题型类比拓展
题 1（2005 年江西卷，理 22 题）：
如图，设抛物线 C : y x2 的焦点为 F，动点 P 在直线
l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 p ，因此该弦与 y0
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
，它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t1 t2 t3 ) 4 pt1t2t3 ， 显然这个纵坐标是关于 t1, t2 , t3
对称的，因此从 S 点向 QB 引垂线，从 Q 点向 ST 引垂线，它们 与准线的交点也是上述点，故结论得证．
M|= x1 x2 p = y12 y22 + p 2 2 4p 2
≥ 2 | y1 y2 | + p = 2 p2 + p = p ， 4p 2 4p 2
而
SVQAB
1 2
|
QM
|
( y1
y2 )
≥| QM | | y1y2 | ≥ p2
题型类比拓展
题 3（2007 江苏卷，理 19 题）：
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y1 y0
y12 2p
x0
，
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，y1 y2
2 px
代
入得 y0 y p(x x0 ) ，即为 Q 点的轨迹方程.
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
，又 |
FP
|
x02 4
t
，
解题方法研究
有 SVPDE
1 2
|
FP | |
xE
xD
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又 SVQAB
1 2
4 (1
x02 4
)
4 x02 2
于是 SVQAB 4 (x02 4)[x02 (t 1)2 ]
SVPDE 1 t
(x02 4t)2
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切
y
于 A、B 两点.
F
B
l
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
x
（2）证明∠PFA=∠PFB.
O
P
题型类比拓展
题 2（2006 全国卷 II，理 21 题）： 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 → AF ＝λ→ FB （λ＞0）．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交