双曲线的渐近线

x2 2 1．(2013· 福建高考)双曲线 －y ＝1 的顶点到其渐近线的距离等于 4 ( 2 A. 5 2 5 C. 5 4 B. 5 4 5 D. 5 )
[练一练]
x2 2 x 解析：双曲线 －y ＝1 的渐近线方程为 y＝± ，即 x± 2y＝0， 4 2 2 2 5 所以双曲线的顶点(± 2,0)到其渐近线距离为 ＝ . 5 5
所以c=10，
y x 1 所以双曲线的方程是 64 36

2
2
4x y 例5.已知双曲线的方程渐近线为 3 并且焦点都在圆 x 2 y 2 100 上，求双曲线方程. y x 0 解： ∵ 双曲线的方程渐近线为 3 4 2 2 y ∴ 可双曲线方程为： x2 2 ( 0) 3 4
答案：C
x2 y2 2．(2013· 云南模拟)已知F(c,0)是双曲线C： 2 － 2 ＝1(a＞0，b＞0) a b 1 2 的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c) ＋y ＝ c 相切， 2
2 2
则双曲线C的离心率为________．
2 2 解析：依题意得，圆心 F(c,0)到渐近线的距离等于 c，即有 b＝ 2 2 c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c2 c ＝2b ＝2(c －a )，c ＝2a ，a＝ 2，即双曲线 C 的离心率为 2.
变式2： 过定点P(0,-1)的直线与双曲线 x2 y 2 4 仅有 一个公共点的直线有（ 4 ）条。 2 2 x y 4 仅有一 变式1 过定点P(2,1)的直线与双曲线 个公共点的直线有（ 4 ）条。
2 2 x y 4 仅有一 变式2 过定点P(1,1)的直线与双曲线 个公共点的直线有（ 2 ）条。 2 2
由
a 2 b 2 100 b 4 a 3
a 2 36 解得 2 b 64
x y 1 所以双曲线的方程是 36 64
2
2
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是
y x 因为焦点都在圆x2+y2=100上， a 2 b2 1
2 2
4 又双曲线的渐近线方程为y=± x 3 2 2 2 a b 100 a 64 a 4 所以 解得 2 由 a 4 b 3 b 36 b 3
3
例4．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点 M (4, 3 ) 求双曲线方程。 变形：已知双曲线渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点 N (4, 5 )求双曲线方程。
x2 y 2 令双曲线为 2 2 ，若求得 0, 则双曲线的交点在x轴; a b 若 0, 则焦点在y轴上。
例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： y 2 2 2 2 x y
1). 9 4 1
x y 2). 1 9 4
0
x
2 y ， 3) 1共渐近线且过点 (2 3 例3 求与双曲线 x 16 9 2
的双曲线方程及离心率．
2 y x 0 解： 设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 16 9 2
答案：C
角度二
已知渐近线求离心率
x2 y2 2．设双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线 y＝x2 a b ＋1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 5 A. 4 5 C. 2 B． 5 D. 5 ( )
解析：设双曲线的一条渐近线方程为 y＝kx，由题可知这条直 线与抛物线 y＝x ＋1
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
y＝
b x a
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
角度一
5 心率为 ，则C的渐近线方程为 2 1 A．y＝± x 4 1 C．y＝± x 2 1 B．y＝± x 3 D．y＝± x
2
(
)
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2 2 2 2 a ＋ b c b 5 b 1 b 1 2 解析：∵e ＝ 2＝ 2 ＝1＋ 2＝ ，∴ 2＝ ，∴a＝ ， a a a 4 a 4 2
1 ∴y＝± x. 2
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的 两条渐近线互相垂直(位置关系)．
3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b 4．渐近线与离心率
x2 y2 b － ＝ 1(a>0 ， b>0) 的一条渐近线的斜率为 a ＝ a2 b2 b2 ＝ a2
c2－a2 2 ＝ e －1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质 a2 都表示双曲线张口的大小．
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 3．已知双曲线 2 － 2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝ 2，则一条渐 a b 近线与实轴所成锐角的值是________．
2 c 解析：∵e＝ 2，∴e2＝2，即 2＝2，又c2＝a2＋b2， a
b2 b ∴ 2＝1, 即a＝1， a π ∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是 . 4 π 答案： 4
∵ 点 (2 3 ， 3) 在双曲线上，
2 2 y y x x 1. 1 即 故所求双曲线方程为： 9 4 16 9 4 4 c 9 4 5 . a 3， b 2， 4 2 2
2 2
12 9 1 4 16 9
∴ 离心率 e 5 .
a
5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交 于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使 |A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线 与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范 围是( ) ,2) , 2] B.[ A.( C.(
,+∞) D.[
,+∞)
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2 B1
A1 A2
O
F2(0,c) x F1(0,-c)
B1 F2(c,0)
F2
x
A1O F1
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) a b
2 2 2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
2
y＝kx， 相切，联立 2 y ＝ x ＋1.
整理得 x2－kx＋1
＝0，则 Δ＝k2－4＝0， b c 解得 k ＝ ± 2 ，即 a ＝ 2 ，故双曲线的离心率 e ＝ a ＝ a2＋b2 ＝ a2 b2 1＋a ＝ 5. c2 ＝ a2
答案：D
角度三
由离心率研究渐近线夹角问题
变式3 过定点P(3,1)的直线与双曲线 x y 4 仅有一 个公共点的直线有（ 2 ）条。 2 2 x y 4 仅有 变式4 过定点P( 5,1) 的直线与双曲线 一个公共点的直线有（ 3 ）条。 归纳：过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线 的条数——数形结合，相切或与渐近线平行。
2
2
与双曲线的右支有两个 不同交点双曲线，
b 2 3, e a
b 1 a
2
5，,10
解题归纳
过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线 条数，与这个定点的位置有关： (1)当点在渐近线上时有0条或2条(为中心 时有0条，其余有2条)； (2)当点在双曲线上时有3条； (3)当点在双曲线内部时有2条； (4)其余均为4条。
双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的
离心率为_______.
【解析】渐近线斜率是 b ，而夹角是60°.因为两直线关于x 轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°.即
b 3 tan 30 ， a 2 3 b 3 2 2 2 2 2 b ，a 3b ，c a b 4b ， tan 60 3， 或 若 a 3 a 2 c 4 2 3 e2 2 ，e . a 3 3 b 若 3， b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，e2=4，e=2. a 答案：2或 2 3 3
4 例5．已知双曲线的渐近线方程为y=± x , 3 并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的
方程。
解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是
x y 2 1 2 a b
2 2
因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10， 4 又双曲线的渐近线方程为y=± x 3
b 4 所以 a 3
x2 y 2 2 k (k 0) 2 n m 或 ____________________________
标准
例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在 原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双 曲线的标准方程及其渐近线的方程。 练习、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=100. 2x±3y=0 5x±2y=0
∵焦点都在圆 x 2 y 2 100 上， c 2 100 .
(3 | |)2 (4 | |)2 100 4 .
2 y y x 1 . ∴所求双曲线方程： x 4 即 36 64 32 42
2
2
2
2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作 图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足
所以
即有
又双曲线的离心率为
所以
<e≤2.
角度四
利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围
x2 y2 4．(2013· 惠州模拟)已知双曲线 2－ 2＝1 与直线 y＝2x 有交点，则 a b 双曲线离心率的取值范围为 A．(1， 5) C．( 5，＋∞) B．(1， 5] ( )
2 2 2 2 2
答案： 2
双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点. 归纳起来常见的命题角度有：
1已知离心率求渐近线方程；
2已知渐近线求离心率； 3已知离心率确定渐近线夹角问题；
4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.
已知离心率求渐近线方程 x2 y2 1．(2013· 新课标卷Ⅰ)已知双曲线C： 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的离 a b
D．[ 5，＋∞) b b 解析： ∵双曲线的一条渐近线方程为 y＝ax， 则由题意得a＞2，
c ∴e＝a＝
b 1＋a2＞
1＋4＝ 5.
答案：C
x y 过双曲线 2 2 1的右焦点F作直线， a b 当直线斜率为 2，直线与双曲线的左、 右 两支各有一个；当直线 斜率为3时，直线 双曲线离心率的取值范 围。
由双曲线方程求渐近线方程的方法： (1) 定焦点位置，求出 a、b，写出方程 ______________________________________ (2) 由双曲线方程的常数项令为零即可 ______________________________________
若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程 2 x 2 －n 2 y 2 = k ( k ≠ 0 ) m 整式 为 ____________________________