计算水平作用的振型分解反应谱法

对于单自由度体系
F
F (t ) max
m x(t) xg (t) max
G
所以，体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式为
Fji j x ji jGi
Fji j x ji jGi
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； x ji --- j振型i质点的水平相对位移； j --- j振型的振型参与系数； Gi --- i质点的重力荷载代表值。
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s （2）计算各振型的地震影响系数
1 0.139 2 0.16 3 0.16
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s
（2）计算各振型的地震影响系数 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
查表得 max 0.16
n
j
X
T j
M
I
X
T j
M
X
j
mi x ji
i 1
n
mi
x
2 ji
i 1
x ji 第j振型第i质点的位移
---j振型的振型参与系数
Dj (t)
2
j
j
Dj
2 j
D
j
(t)
j xg (t)
N
x(t) X i Di (t) i 1
N
xi (t) x jiDj (t) j 1
这样，原来的运
动微分方程分解 成n个广义坐标 的独立微分方程
t 0
xg (
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
j j (t)
j 1,2, N
m x(t)
xg (t)
M
* j
j (t)
j j
xg (t)
i 质点相对于基底的位移与加速度为
N
xi (t) x jiDj (t) j 1
N
x ji j j (t) j 1
N
xi (t) x ji j j (t) j 1
120.9kN
（4）计算各振型各楼层的水平
地震作用
Fji j x ji jGi
第一振型
第二振型
F21 0.16 (0.428) (0.667) 2709.8 120.9kN
F22 0.16 (0.428) (0.666) 2709.8 120.7kN
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s （2）计算各振型的地震影响系数
1 0.139 2 0.16 3 0.16 334.2kN
（3）计算各振型的振型参与系数 334.4kN
120.8kN 120.7kN
1 1.363 2 0.428 3 0.063 167.4kN
与各振型地震作用最大值之间不存在组合关系！）
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
1.000
第一振型 Tg T1 5Tg
1
(Tg T
) 2 max
0.139
2 m ax 0.45 m ax
(Tg T
)
2 m ax
[20.2 1(T 5Tg )]max
第二振型 第三振型
0.1s T2 Tg
2 2max 0.16
0.1s T3 Tg
3 2max 0.16
0 0.1 Tg
（2）由地震影响系数谱曲线确定多自由度体系j振 型质点i的水平地震作用标准值；
（3）计算j振型地震作用标准值下的效应，可按静 力方法计算地震作用效应，包括：轴力、弯距、 剪力和变形等；
（4）按振型最大值组合规则计算体系水平地震作 用标准值的效应。（注意：一定是结构的地震效应进
行组合，而不是对地震作用进行组合，因为总的地震作用
i 1
i 1
i 1
方程两端左乘
X
T j
N
N
X
T j
m(
X
i
Di (t
))
X
T j
c(
X
i
Di (t
))
i 1
i 1
N
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
mI
xg (t
)
i 1Leabharlann Baidu
X
T j
mX
j
Dj (t)
X
T j
cX
j
Dj
(t
)
X
T j
k
X
j
D
j
(t
)
X
T j
mI
xg (t
)
X
T j
mX
j
Dj (t)
F1n
F2n
F jn
Fnn
mi
F1i
F2i
F ji
Fni
m2
F12
F22
Fj2
Fn2
m1
F11
F21
Fj1
Fn1
求得各振型的地震作用标准值后， 按静力方法求得地震作用效应 （弯矩、位移等），那么该如何 进行组合呢？
1振型地震 2振型 j振型 n振型 作用标准值
振型组合规则
完 全 二 次 式 方 法 CQC （ Complete quadratic combination method）
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s
（2）计算各振型的地震影响系数
查表得 max 0.16
Tg 0.4s
（3）计算各振型的振型参与系数
第一振型 1
3 i 1
mi x1i
/
3 i 1
mi x12i
270 0.334 270 0.667 1801 270 0.3342 270 0.6672 180 12
1.363
3
3
第二振型 2
i 1
mi x2i
/
i 1
mi x22i
270 (0.667) 270 (0.666) 1801 270 (0.667)2 270 (0.666)2 18012
Tg 0.4s
地震影响 6
多遇地震 0.04
烈度
7
8
9
0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32
罕遇地震 ----- 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25
0.35
0.45 0.65
第二组 0.30
0.40
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s （2）计算各振型的地震影响系数
1 0.139 2 0.16 3 0.16
（3）计算各振型的振型参与系数
334.2kN 334.4kN
1 1.363 2 0.428 3 0.063
167.4kN
（4）计算各振型各楼层的水平地震作用
1、方法一：主要选取贡献大的较低频率的几个振型，一 般建筑（动力自由度较少）取1～3个振型；高层 9～ 15个振型。
2、方法二：一般可取振型有效质量达到总质量90％时所 需的振型数。
振型有效质量：
n
n
WiE (
G j x ji )2 /
G
j
x
2 ji
j 1
j 1
振型分解反应谱法的步骤
（1）进行振型分析，求结构的自振周期、振型和 振型参与系数 ；
五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法
作用于i质点上的力有
惯性力 Ii mi (xi xg）
弹性恢复力 Si ki1x1 ki2x2 kinxn
阻尼力 运动方程
Ri ci1x1 ci2 x2 cinxn
n
n
mi xi cijxj kijx j mi xg
j1
j1
i 1,2, N
X
T j
cX
j
Dj (t)
X
T j
k
X
j
Dj
(t )
X
T j
mI
xg (t
)
M
*j Dj (t)
C
* j
Dj
K
* j
D
j
(t)
X
T j
mIxg (t)
M
* j
X
T j
mX j
---j振型广义质量
K
* j
X
T j
k
X
j
---j振型广义刚度
C
* j
X
T j
cX j
---j振型广义阻尼系数
Dj (t)
如何解j振型对应的广义坐标方程
Dj (t)
2
j
j
Dj
2 j
D
j
(t)
j
xg (t)
已知：对于单自由度体系
x 2x 2x xg (t)
x(t) 1
d
t 0
xg (
)e
(t
)
sin
d
(t
)d
对于j振型折算体系（右图）
j
(t
)
1
j
t 0
xg (
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
D
j
(t
)
j j
0.428
3
3
第三振型 3 mi x3i / mi x32i
i 1
i 1
270 4.019 270 (3.035) 1801 270 4.0192 270 (3.035)2 18012
0.063
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
第一振型
Fji j x ji jGi
第一振型
F11 0.1391.363 0.334 2709.8 167.4kN
F12 0.1391.363 0.667 2709.8 334.4kN
F13 0.1391.3631.0001809.8 334.2kN
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
0.55 0.75
第三组 0.35
0.45
0.65 0.90
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
mx cx kx mIxg (t)
mN
mi
xi
m2
m1
xg(t)
mi mi (xi xg )
Si (t)
Ri (t)
mx cx kx mIxg (t)
N
设 x(t) X i Di (t) i 1
代入运动方程，得
N
N
N
m(X i Di (t)) cX i Di (t) k(X i Di (t)) mIxg (t)
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
其中： Fji (t) mi[x ji jj (t) x ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji (t) mi[x ji jj (t) x ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
体系j振型i质点水平地震作用标准值为：
Fji Fji (t) max mi x ji j j (t) xg (t) max
i 质点 t 时刻的水平地震作用为
Fi (t) mi[xi (t) xg (t)]
n
j x ji xg (t)
j 1
n
xg (t) j x ji xg (t) j 1
N
mi [x ji j j (t) j x jixg (t)] j 1
证明：见郭书P68
N
Fji (t) j 1
C
* j
M
* j
Dj
K
* j
M
* j
D j (t)
X
T j
M
M
* j
I
xg (t)
由于
K
* j
2 j
M
* j
C*j
2
j
j
M
* j
Dj (t)
2
j
j
Dj
2 j
D
j
(t )
X
X
T j
T j
M
I
M X j
xg (t)
Dj (t)
2
j
j
Dj
2 j
D
j
(t )
X
X
T j
T j
M
I
M X j
xg (t)
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T(s)
5Tg
6.0
0.9 0.05 0.5 5
2
1
0.05 0.06 1.7
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
nn
S
ijSiS j
i1 j1
振型较为密集，振型之间相关 性较大时，如考虑平移、扭转
耦联振动的线性结构体系
平 方 和 开 平 方 SRSS （ square root of sum-square method）
n
S
S
2 j
j 1
振型较为稀疏，振型 之间相关性较小时， 如串联多自由度体系
参与振型个数的确定