课件：三垂线定理及逆定理ppt
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线射垂直 线斜垂直
P
提问: 若将条件
o a a⊥AO与结论中
A α
a⊥ PO交换位置
是否还成立？
-
6
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证：
a⊥AO
证 PA⊥α ①
O B
D C
AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
PO⊥BD
同理，AC⊥BD PC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影
-
14
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，P
求证：BC⊥AM
证明: PB=PC M是BC的中点
PM ⊥BC
PA⊥平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影
A BC⊥AM
-
C M B
15
五、课堂小结
P
1、三垂线定理
a
o
2、三垂线逆定理 α A
(1)定理中四条线均针对同一平面而言
(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系
(3)操作程序分三个步骤——“一垂,二射,三 证.”
-
16
六、课后作业:
书P25的习题9.4的3、4题,并预 习后面的内容.
-
17
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
垂直的判定定理;逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂
直的判定定理.
-
9
三垂线定理
三、例题分析：
仔细想 一想…
例 1、判定下列命题是否正确?
(1)若b是平面α的斜线、直线a垂直于b在平面
α内的射影，则b⊥a。 ( ×)
(2)若b是平面α的斜线、平面α内的直线a垂直于b
在平面α内的射影，则b⊥a。( ) √
解：在路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
再在道边取一点D， 使水平角∠CDB等于45°， 测得C、D的距离等于a m.
A
B
90°
45°
C
-
D
12
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=a m ∴BC=a m，
百度文库
求证： a⊥PO
证明：PA⊥α
aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
oa
α
A
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定义
判定定- 理 线面垂直定义
5
三垂线定理
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线， AO是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥AO 求证： a⊥PO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α, a⊥AO
求证： a⊥PO
P
oa
α
A
三垂线定理
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO 在平面α内的射影，且a α ，a⊥AO
-
1
一、复习引入：
三垂线定理
1、什么叫平面的斜线、垂线,什么叫射影？
PO是平面α的斜线, O为斜足;
PA是平面α的垂线, A为垂足;
P
AO是PO在平面α内的射影.
oa A α
-
2
2. 如果 a α , a⊥AO， 思考 a 与 PO 的关系如何？你能 否由此得出一般的规律?
P
oa
α
A
二、新课学习:
线斜垂直 线射垂直
P a
o
A α
-
8
三垂线定理
使用三垂线定理及逆定理还应注意
的问题…
P
d c ba
α
A
O
(1)、三垂线定理及逆定理描述的是PA(垂线)与α(平面 )、 AO(射影)与a (直线) 、 PO(斜线)与 a(直线)之间的垂直关系;
(2)、a与PO可以相交，也可以异面; (3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
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P
提问: 若将条件
o a a⊥AO与结论中
A α
a⊥ PO交换位置
是否还成立？
-
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三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证：
a⊥AO
证 PA⊥α ①
O B
D C
AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
PO⊥BD
同理，AC⊥BD PC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影
-
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(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点，P
求证：BC⊥AM
证明: PB=PC M是BC的中点
PM ⊥BC
PA⊥平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影
A BC⊥AM
-
C M B
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五、课堂小结
P
1、三垂线定理
a
o
2、三垂线逆定理 α A
(1)定理中四条线均针对同一平面而言
(2)应用定理关键是找“基准面”这个参照系
(3)操作程序分三个步骤——“一垂,二射,三 证.”
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六、课后作业:
书P25的习题9.4的3、4题,并预 习后面的内容.
-
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-
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三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
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三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
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三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
垂直的判定定理;逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂
直的判定定理.
-
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三垂线定理
三、例题分析：
仔细想 一想…
例 1、判定下列命题是否正确?
(1)若b是平面α的斜线、直线a垂直于b在平面
α内的射影，则b⊥a。 ( ×)
(2)若b是平面α的斜线、平面α内的直线a垂直于b
在平面α内的射影，则b⊥a。( ) √
解：在路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
再在道边取一点D， 使水平角∠CDB等于45°， 测得C、D的距离等于a m.
A
B
90°
45°
C
-
D
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∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=a m ∴BC=a m，
百度文库
求证： a⊥PO
证明：PA⊥α
aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
P
oa
α
A
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
线面垂直定义
判定定- 理 线面垂直定义
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三垂线定理
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线， AO是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥AO 求证： a⊥PO
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三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
是PO在平面α内的射影，且a α, a⊥AO
求证： a⊥PO
P
oa
α
A
三垂线定理
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO 在平面α内的射影，且a α ，a⊥AO
-
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一、复习引入：
三垂线定理
1、什么叫平面的斜线、垂线,什么叫射影？
PO是平面α的斜线, O为斜足;
PA是平面α的垂线, A为垂足;
P
AO是PO在平面α内的射影.
oa A α
-
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2. 如果 a α , a⊥AO， 思考 a 与 PO 的关系如何？你能 否由此得出一般的规律?
P
oa
α
A
二、新课学习:
线斜垂直 线射垂直
P a
o
A α
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三垂线定理
使用三垂线定理及逆定理还应注意
的问题…
P
d c ba
α
A
O
(1)、三垂线定理及逆定理描述的是PA(垂线)与α(平面 )、 AO(射影)与a (直线) 、 PO(斜线)与 a(直线)之间的垂直关系;
(2)、a与PO可以相交，也可以异面; (3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
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