高2020届高2017级高三文科数学三维设计一轮复习课时跟踪检测(十八)导数与函数的极值、最值

课时跟踪检测（十八）导数与函数的极值、最值

A级——保大分专练

1.(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1,在区间[－3,2]上的最大值为M,最小值为N,则M－N＝()

A.20

B.18

C.3

D.0

解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1),∴f(x)在(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递增,在(－1,1)上单调递减,又∵f(－3)＝－19,f(－1)＝1,f(1)＝－3,f(2)＝1,∴M＝1,N＝－19,M－N ＝1－(－19)＝20.

2.(2018·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()

A.(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间

B.(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间

C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知,当x<－1或35或－10,y＝f(x)单调递增.所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞,－1),(3,5),单调递增区间为(－1,3),(5,＋∞).函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值,在x＝3处取得极大值,故选项C错误.

3.(2019·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝1

2x

2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()

A.(0,1)内

B.(1,2)内

C.(2,3)内

D.(3,4)内

解析：选B函数的极值点即导函数的零点,f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x－2,则f′(1)＝－1<0,f′(2)＝ln 2>0,由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内,故选B.

4.已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为()

A.[－3,＋∞)

B.(－3,＋∞)

C.(－∞,－3)

D.(－∞,－3]

解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9,令f′(x)＝0,解得x＝1或x＝－3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表：

5.(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－4

3,则b ＝

( )

A.－1

B.1

C.1或－1

D.－1或3

解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ,因为f (x )在x ＝1处有极值－4

3,

所以⎩⎪⎨⎪⎧

f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，

Δ＝4b 2

＋4c >0，

解得⎩

⎪⎨⎪

⎧

b ＝－1，

c ＝3，故选A.

6.设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |最小时t 的值为( )

A.1

B.12

C.5

2

D.

22

解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t , 设f (t )＝t 2－ln t (t >0),则f ′(t )＝2t －1

t , 令f ′(t )＝0,得t ＝22

, 当0

22时,f ′(t )<0；当t ＞2

2

时,f ′(t )＞0. ∴当t ＝

22时,f (t )取得最小值,即|MN |取得最小值时t ＝22

. 7.(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1

x 2在x ＝－1处取得极值,则a ＝________.

解析：因为y ′＝a ＋2x 3,所以当x ＝－1时,a －2＝0,所以a ＝2,经验证,可得函数y ＝2x －1

x 2

在x ＝－1处取得极值,因此a ＝2.

答案：2

8.f (x )＝2x ＋1

x 2＋2

的极小值为________.

解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)

(x 2＋2)2

.

令f ′(x )<0,得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0,得－2

∴f (x )在(－∞,－2),(1,＋∞)上是减函数,在(－2,1)上是增函数, ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－1

2.

答案：－1

2

9.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0),则获得最大利润时的年产量为________百万件.

解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3), 当00；当x >3时,y ′<0. 故当x ＝3时,该商品的年利润最大. 答案：3

10.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值,其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0,则f (x )的极大值与极小值之差为________.

解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ,

所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝0.

所以y ′＝3x 2－6x ,令3x 2－6x ＝0,得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时,y ′>0；当0

故当x ＝0时,f (x )取得极大值,当x ＝2时,f (x )取得极小值, 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：4 11.设函数f (x )＝

a ln x

x

＋b (a ,b ∈R ),已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1. (1)求实数a ,b 的值； (2)求f (x )的最大值.

解：(1)因为f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝

a (1－ln x )

x 2

. 所以f ′(1)＝a ,又因为切线斜率为1,所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0),得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1,b ＝0.

(2)由(1)知f (x )＝ln x

x ,f ′(x )＝1－ln x x 2.

令f ′(x )＝0,得x ＝e.