河北工业大学材料力学重点及其公式

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河北工业大学材料力学重点及其公式

材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。 变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类:表面力、体积力;静载荷、动载荷。

内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力

截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上和内力。

应力: dA dP

A P p A =

∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。

静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不再变化的载荷。 动载荷:载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因:脆性材料在其强度极限

b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性

材料、脆性材料的许用应力分别为:

[]3n s σσ=,[]b b

n σσ=,强度条件:

[]σσ≤⎪⎭⎫

⎝⎛=max max A N ,等截面杆 []σ≤A N max

轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=∆1,沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为:

l

l

∆=ε,A P

A N ==

σ。横向应变为:b

b b b b -=∆=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-='。

胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA

Nl

l =

∆ 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx

d G G φργτρρ==。力学关系dA dx

d G dx d G

dA T A

A

A

⎰⎰

===

22ρφ

φρρτρ 圆轴扭转时的应力:t

p W T

R I T ==

max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=

t

W T

,可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形:⎰⎰==

l p

l p dx GI T dx GI T ϕ;等直杆:p

GI Tl

=ϕ 圆轴扭转时的刚度条件: p GI T

dx d ==

'ϕϕ,][max max

ϕϕ'≤='p

GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)()(x q dx x dQ =;()()x Q dx x dM =;()()()x q dx x dQ dx

x M d ==2

2 Q 、M 图与外力间的关系

a )梁在某一段内无载荷作用,剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线。

b )梁在某一段内作用均匀载荷,剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线。

c )在梁的某一截面。

()()0==x Q dx

x dM ,剪力等于零,弯矩有一最大值或最小值。 d )由集中力作用截面的左侧和右侧,剪力Q 有一突然变化,弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。 梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ≤=

W

M max

max ,[]ττ≤max 提高弯曲强度的措施:梁的合理受力(降低最大弯矩max M ,合理放置支座,合理布置载荷,合理设计截面形状 塑性材料:[][]c t σσ=,上、下对称,抗弯更好,抗扭差。脆性材料:[][]c t σσ<, 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁:截面沿杆长变化,恰使每个截面上的正应力都等于许用应力,这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形:当梁上有几个载荷共同作用时,可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形,然后进行叠加,即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤:(1)判断静不定度;(2)建立基本系统(解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构);(3)建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统);(4)求解静不定问题。 二向应力状态分析—解析法 (1)任意斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

;ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

(2)极值应力 正应力:y

x xy

tg σστα--

=220,

2

2min max )2

(2xy y x y

x τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ 切应力:xy

y x tg τσσα221-=, 2

2min max )2(

xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ (3)主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

α与1α之间的关系为:4

,2

220101π

ααπ

αα+

=+

=,即:最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45°

扭转与弯曲的组合(1)外力向杆件截面形心简化(2)画内力图确定危险截面(3)确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论,强度条件为:[]σσσ≤-31 或

[]στσ≤+224, 对于圆轴,W W t 2=,其强度条件为:

][22σ≤+W T M 。按第四强度理论,强度条件为:()()()[]

[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212

1

,经化简得出

[]στσ≤+223,对于圆轴,其强度条件为:

][75.02

2σ≤+W

T M 。

欧拉公式适用范围(1)大柔度压杆(欧拉公式):即当1λλ≥,其中P E σπλ21=时,22λ

πσE cr =(2)中等柔度压杆

(经验公式):即当12λλλ≤≤,其中b

a s

σλ-=2时,λσb a cr -=(3)小柔度压杆(强度计算公式):即当2λλ<时,s cr A

F

σσ≤=

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