工程流体力学非恒定流伯努利方程
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z p O x y
s δ
v θ g ds θ dz
p+
¶ p ds ¶ s
图4.1 沿流线的伯努利方程 图4 .1 沿流线的伯努利方程
2）流体为不可压缩流体
C
3）对于恒定流动（流动参数与t无关） 将上式沿流线积分,得
v2 gz Cl 2 p
（ Cl 称为流线常数）
工程流体力学
f
1
p 0
,
。
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、 w、 f x 、f y 、
f y 、f z 是已 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 f x 、
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
4.2
4.2.1
伯努利方程
沿流线的伯努利方程
百度文库
伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在 1738年首先提出。
对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可 简化成
v v 1 p v fs t s s
引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅 为重力，且z轴向上，如图4.1所示。
工程流体力学
式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号 的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和 非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力 和压强的合力。
对于欧拉方程的物理意义讨论如下：
工程流体力学
(1)对于静止流体, dv 0 ,方程式为
即为静力学基本方程。
v (2)对于恒定流动， t 0 dt
式中 是流场的速度势。 当t是常数时，f (t ) 对整个流场是个常数。
工程流体力学
4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义
1. 几何意义 每一项都表示某一个高度： z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；
是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压
p
强水头；
工程流体力学
工程流体力学
du p f x dt x dv p fy dt y dw p fz dt z
上式整理后便得到
du 1 p dt f x x dv 1 p fy y dt dw 1 p fz z dt
工程流体力学
第四章 理想流体动力学
本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原 因——力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方 程——伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究 流体和物体之间的作用力问题。
4.1
4.1.1
欧拉运动微分方程式
欧拉运动微分方程式的导出
第2章流体静力学中曾推导出流体静力学的平衡 微分方程式
工程流体力学
p f x x p f y y p fz z
这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，
且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如
果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影， du 、 dv 那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为： dt dt d w 和 。于是，上式便可写成 dt
或
v2 z Cl 2g p
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。 伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。 在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表 达成 ：
2 v12 p2 v2 z1 z2 2g 2g
工程流体力学
【例 4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流 速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 h 60mmHg （不计损 失）。 求：（1）该管中的流速v； （2）若管中流体是密 度为0.8g/cm3的油，h 仍不 变，该点流速又为多少。
v2 是流速高度，又称流速水头； 2g p z H p ，H 是测压管水头； p p v2 z H , H称为总水头。 2g
v12 2g p1 g
z1 0
图4.2 水头线
v 2g p2 g
z2
2 2
H线 H p线
流线 基线
0 图4 .2 水头线
工程流体力学
在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头 线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为 测压管水头线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连 线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。
用矢量表示为
v 1 ( v ) v f p t
对于恒定流动
u v w 0 t t t
工程流体力学
上式称为流动欧拉运动微分方程式。 对于不可压缩流体： 对于可压缩流体：
C
f ( p, T )
以上可通过流体的状态方程确定。 4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论
工程流体力学
2. 物理意义
式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。
z是单位重量流体具有的位置势能；
p
v2 2g
z
是单位重量流体具有的压强势能； 是单位重量流体具有的动能；
p
是单位重量流体具有的总势能；
v2 z 是单位重量流体具有的总机械能。 2g p
伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流 线，各点单位重量流体的机械能守恒 。
p1
工程流体力学
倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势 流）的条件，可得到 ：
v2 z C 2g p
上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为 通用常数，在整个流场中均相等。 倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格 朗日积分式
v2 gz f (t ) 2 t p
工程流体力学
将加速度展开成欧拉表达式
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z
s δ
v θ g ds θ dz
p+
¶ p ds ¶ s
图4.1 沿流线的伯努利方程 图4 .1 沿流线的伯努利方程
2）流体为不可压缩流体
C
3）对于恒定流动（流动参数与t无关） 将上式沿流线积分,得
v2 gz Cl 2 p
（ Cl 称为流线常数）
工程流体力学
f
1
p 0
,
。
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、 w、 f x 、f y 、
f y 、f z 是已 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 f x 、
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
4.2
4.2.1
伯努利方程
沿流线的伯努利方程
百度文库
伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在 1738年首先提出。
对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可 简化成
v v 1 p v fs t s s
引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅 为重力，且z轴向上，如图4.1所示。
工程流体力学
式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号 的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和 非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力 和压强的合力。
对于欧拉方程的物理意义讨论如下：
工程流体力学
(1)对于静止流体, dv 0 ,方程式为
即为静力学基本方程。
v (2)对于恒定流动， t 0 dt
式中 是流场的速度势。 当t是常数时，f (t ) 对整个流场是个常数。
工程流体力学
4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义
1. 几何意义 每一项都表示某一个高度： z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；
是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压
p
强水头；
工程流体力学
工程流体力学
du p f x dt x dv p fy dt y dw p fz dt z
上式整理后便得到
du 1 p dt f x x dv 1 p fy y dt dw 1 p fz z dt
工程流体力学
第四章 理想流体动力学
本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原 因——力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方 程——伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究 流体和物体之间的作用力问题。
4.1
4.1.1
欧拉运动微分方程式
欧拉运动微分方程式的导出
第2章流体静力学中曾推导出流体静力学的平衡 微分方程式
工程流体力学
p f x x p f y y p fz z
这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，
且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如
果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影， du 、 dv 那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为： dt dt d w 和 。于是，上式便可写成 dt
或
v2 z Cl 2g p
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。 伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。 在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表 达成 ：
2 v12 p2 v2 z1 z2 2g 2g
工程流体力学
【例 4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流 速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 h 60mmHg （不计损 失）。 求：（1）该管中的流速v； （2）若管中流体是密 度为0.8g/cm3的油，h 仍不 变，该点流速又为多少。
v2 是流速高度，又称流速水头； 2g p z H p ，H 是测压管水头； p p v2 z H , H称为总水头。 2g
v12 2g p1 g
z1 0
图4.2 水头线
v 2g p2 g
z2
2 2
H线 H p线
流线 基线
0 图4 .2 水头线
工程流体力学
在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头 线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为 测压管水头线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连 线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。
用矢量表示为
v 1 ( v ) v f p t
对于恒定流动
u v w 0 t t t
工程流体力学
上式称为流动欧拉运动微分方程式。 对于不可压缩流体： 对于可压缩流体：
C
f ( p, T )
以上可通过流体的状态方程确定。 4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论
工程流体力学
2. 物理意义
式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。
z是单位重量流体具有的位置势能；
p
v2 2g
z
是单位重量流体具有的压强势能； 是单位重量流体具有的动能；
p
是单位重量流体具有的总势能；
v2 z 是单位重量流体具有的总机械能。 2g p
伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流 线，各点单位重量流体的机械能守恒 。
p1
工程流体力学
倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势 流）的条件，可得到 ：
v2 z C 2g p
上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为 通用常数，在整个流场中均相等。 倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格 朗日积分式
v2 gz f (t ) 2 t p
工程流体力学
将加速度展开成欧拉表达式
u u u u 1 p u v w fx t x y z x v v v v 1 p u v w fy t x y z y w w w w 1 p u v w fz t x y z z