光子学物理基础J

称为模式条件（mode condition）。在给定的n1，n2，
n3时，分析表明只有 t 超过一定值时，才会有有限个
允许的模式（详见后），该超越方程可用图解法求解，
也可用计算机求数值解，得到的分立的βm，即对应
允许的模式。
解之中剩下的唯一的一个待定量是振幅常数Cm （对应第m个模），通常用前面讲的归一化的
电介质波导主要有: 平板波导(slab waveguides)（或薄膜波导） 直角波导(rectangular waveguides) 圆形波导(circular waveguides) ——光纤(optical fiber) （尺度～λ）
本节限于介绍光波导理论的基础 。
1. 电介质波导的一般性质
]1/ 2
这样归一化之后，任意振幅的模式，可用归一化
模来表示
Ey A y ( x)
而通过y方向单位长的波导横截面的能流为|A|2 (W) B. 对于TM modes
h qx 同样 q Ce 方法 h H y ( x) C[ cos hx sin hx] q h p ( x t ) C [ cos ht sin ht ] e q
β 称为传播常数 (propagation constant)
2 2 2 E n 2 E n 2 k0 n E 0 1 2 2 2 2 H 2 n H k 0 n H 0 n


2 (k02 2 ) c
2
n2
c
2
n ( )
2
2
连续性必在波导区内取极大值，因之二阶空间导
数为负值而导致的。
上两式是导模的必要条件。
2) 模式的正交性 模式的正交性指，当介质（无耗）波导中 同时传输二个线性无关的模式时，沿波导传输的 能流是两个模式单独在波导中传输的能流之和。 数学表示式：

s
* E1 H 2 ez dБайду номын сангаас 0
p,q,h 都可归结为待定的传播常数β， y β用界面关系来确定，还可用x＝－t 时 的 x 连续性：
q h sin ht q cos ht p[cos ht sin ht ] h pq 即 tg (ht ) h(1 pq / h 2 )
方程是β的超越方程，（transcendental equation)，
前面的定义式描写。
ii）导模色散曲线（Dispersion curves of confined
modes) 将modes conditon中的

k0 t
两个变数β，t 换成

t
(无量纲的量)
0
则由两个超越方程，可由 得出 k 0 0
t
以两者为坐标逐点作图，得到的曲线称之为
连续界面关系要求，是图中曲线所示的形式的场分布，
显然这不是物理允许的解。 (图上(a)点)
截止点
(b) k0n3< β<k0n2 在II区是振荡解（可有不同形
式），I，III区是实指数解，并可取衰减形式，即也满足 无穷远边界条件，此为导波模。(图上(b),(c)点) (c) k0n1< β<k0n3 ， 在I 区仍是指数衰减解，II，III
显然，导模要求横向能流为0，能量限制在波 导轴附近。这十分类似量子力学的束缚态 2 (boundary states)。故 2 2

n 表示 （式中， x y ），此时场在远离波导 区是指数下降的。在波导内，导模必须满足 2 2 2 nc2 c nc是 nx, y 的最大值。这是因为 0，则由于
2 ） 非对称波导中的TE模和TM模
依波导中的规定，
横电波模（TE modes）
Ez 0, Ex 0, Ey 0
横磁波模（TM modes） H z 0, H x 0, H y 0
由Maxwell’s Equation 可得到：
H 0 y i E y Ey H x 0 z 0 i E y H z 0 x
§6.5 光波导和光纤初步 （The Elements of Optical Waveguides)
光波导—即光学波导，通常指的是电介质波 导（dielectric waveguides), 广义地说也包括光 纤（optical fiber)。 光波导理论是集成光学（Integrated Optics) 和光纤通讯(Optical Fiber Communication)的理 论基础。
0 n II 2 III n3 -t
n1 n( x, y ) n2 n 3
x0 t x 0 x t
由于整个结构分成I、II、III三个区域，故 Wave Eq. 也分区写成三个方程
2 2 0 2 ( x ) k n ( x) 0 (i 1,2,3) 0 i 2 x
H y ( x, y, z, t ) H y ( x)e
i (t z )
0 x t x 0 x t
p,q,h仍同前表示，此外
2 2 n2 n2 p 2 p q 2q n3 n1
h( p q ) Mode condition tg (ht ) 2 (h p q )
得出这个解时， 用了 x＝0处的 y ,
y x
的连续性，（界面关系）
x＝－t处的 y 的连续性，还用了无穷远
的边界条件。
解的表达式中
h (n k )
2 2 2 0 2
2 1/ 2
q ( n k )
显然，
2 2 1/ 2 1 0
2 2 1/ 2 p ( 2 n3 k0 )
2. 平板波导(slab waveguide, planar waveguide)
1) 三层平面波导
X
Z
I n1 Y
这是平板波导的最典型的模 型，结构如图。平板型介质厚度 为t，板面尺寸相对厚度可认为 无穷。介质折射率为n2, 板一侧 外介质的折射率为n1, 板另一侧 外介质的折射率为n3。 整个波导的 n( x, y ) 可写成

对于同一个模式 1 * 模沿无耗波导传输的平均能流 E H e d l l l z 2 s


取 El , H l为将能流归一化为1W的场振幅。则 模式的正交归一化条件（orthonormalization of the modes）
1 * El H m ez d lm 2 s
TE modes
TM modes
E 0 y H y i Hy Ex 2 2 0 ni z 0 ni H y i Ez 2 n x 0 i
A. 对于TE modes (只须求 E y 即可）
Ey ( x, y, z, t ) y ( x)e


单位长度波导中每个导模的平均能量密度
是实数，故上述积分是实数 由于 ，
能量传播速度： ve
P U
* 1 * U l El El H l H l dS 4 s


可以证明，这些导模的能量传播速度正好等于 群速度 v g ： vg (见Yariv, Optical waves in crystals )
由Wave Equa. 得
i (t z )
Ce qx 0 x q y ( x) C[cos hx sin hx] t x 0 h q p ( x t ) C [cos ht sin ht ] e x t h
（ε为 E 的分量）
三个区域的交界面上场量必须满足切向分量连
续的界面关系. 对于导模来说，还必须满足 x
时 0 的边界条件。
我们先一般地讨论一下各种模式（包括非导波模） 为确切起见，假设 n2>n3>n1
我们按β的取值范围来讨论，并要求满足界面上切向分 量及导数连续的界面关系 当 (a) β> k0n2 , 在三个区域都是实指数函数形式，且由
(General properties of dielectric waveguides)
波导的基本作用是用来传输高频电磁 信号和能量。 讨论波导问题的基本理论工具仍旧是 Maxwell的电磁场理论，波导理论实际上 是电磁波在“受限”空间中的传播理论。
X
Z
1)任意截面的介质波导 及导波模式 当波导内的场随时间 变化的因子是
e
it
时，
O （μ0，ε（x,y））
Y
由波导内的Maxwell方 程得到：
E i 0 H ( r 1) H i 0 n 2 E
我们期望的导波沿Z方向传输，因之
i ( t z ) E ( x, y ) e i ( t z ) H ( x, y ) e
方法来确定。即由通过波导横截面（此处为y方向单位
长的横截面）传输的能流归一化为1W，来确定：
m ( m) 2 1 * Re E y H x dx y ( x) dx 1 2 20
可得到
Cm 2hm [
0
1 1 2 2 m [t ](hm qm ) qm pm
如果我们涉及的介质折射率分布梯度很 小，该方程趋于均匀各向同性介质中（但 n 并 非常数）的Wave Eq. 的形式。 简化后的Wave Eq. （写成本征方程形式) :

2 算符 t2 2 z 2
2 2 2 2 ( x, y ) t [k0 n ( x, y) 0 ( x, y )
上式化为


若导模是TE模 ( Ez 0)
TM模 H z 0
m * El Em dS lm s 2
m 1 * H l H m dS lm s 2
(用 Maxwell 方程易证)
3) 能量的传播速度
每个导模沿波导的平均能流：
* 1 Pl Re El H l ez dS s 2
区为振荡解，这称之为 衬底辐射模（substrate
radiation mode)，常用来起耦合作用。(图上(d)点)
(d) β<k0n1 ，三个区域都是振荡解，不能将能量局限 于波导中，成为辐射模（radiation mode)。(图上(e)点)
从上面分析看到，导模满足前面讲的必要条件。 如果我们再详细分析可看到: 导模 对应的传播常数β只能取分立值（discrete），因 之只能存在有限个模式，数目取决于 , n2 , n3 , t，对应量 子力学中的束缚态。 辐射模，对应传播常数β取连续值，因之存在无限多 模式，对应量子力学中的非束缚态。

称横向Laplace算符。
解出场的横向分布 ( x, y ) ［注意方向并非一 定是横场］，波导问题即可解决。

如果介质明显分区（如前图），则在界面上，
远离波导处，对传播的模
tan——连续， 0
(边界条件)
一般情况下，当给定 n( x, y) 时，本征值 2 2 有无穷多个。不同的 值将对应不同的电磁波模 式，加上边界条件限制，我们期望的传输模式通 常只有有限个。这种能沿波导传输高频电磁能量 的模式称之为导模（guided modes, waveguide modes, confined modes)
类似得归一化常数
0 Cm 2 mt '
t'
q h2 q
2
2
t q 2 h2 1 p 2 h2 1 ( 2 2 2 ) 2 2 n2 q h 2 n1 q p h 2 n3 p
C. TE mode和TM mode的一般性质
i） 所有的modes都是相互正交的，正交归一性由