第04章可信区间
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
04 模型的校核、验证与确认
6.假设检验法
利用假设检验理论来判断仿真结果和参考结果
是否在统计意义下一致以及一致性的程度如何。有
不少作者采用这一方法对仿真模型进行验证和对仿
真精度进行评估。
7.时间序列与频谱分析
把仿真模型输出与相应的参考输出看作时间序
列，对它们进行某些处理后用时间序列理论和频谱
的、标准解已知的系统模型，将需要测试的仿真计算模型作适
当的调整，使其成为标准解已知的典型系统的仿真计算模型， 并将仿真结果同标准解相比较。以此来考核被测试的系统模型 的正确性。
七、将软件可靠性理论应用于模型校核
仿真计算模型是一类用于专门目的软件或计算机程序。 因而除了在设计过程中遵循软件工程的思想方法和要求以 外。对于已经设计出来的复杂系统仿真程序，也可以利用 软件可靠性的理论与方法对它进行诊断与查错。在70年代 Mills和Basin。利用超几何分布模型解决了软件系统错误
程序设计和实现阶段建立起来的；关于问题实体
(研究对象)的一些
结论，则是在仿真 实验过程中通过运 行计算模型而获得 的。
4.概念模型有效性(Conceptual Model Validity) 是指在形成概念模型的过程中所使用的理 论和假设是否正确，对问题实体的模型表达对 于该模型的指定用途和具体目的是否合情合理， 能否充分体现建模的预期目的。
分析方法考察二者在频域内的统计一致性。
8.综合方法 上述方法两种或两种以上的综合使用，以便 从多个侧面考察仿真模型有效性。
当然，模型验证方法远不止以上列出的几种。
还有其它一些方法，如基于Kalmal滤波理论的模
型检验与校正方法，决策理论在仿真系统概念模
型有效性确认中的应用。模糊数学在仿真模型验
统计学教案习题04总体均数的估计和假设检验
第四章 总体均数的估计和假设检验一、教学大纲要求（一） 掌握内容1． 抽样误差、可信区间的概念及计算； 2． 总体均数估计的方法；3． 两组资料均数比较的方法，理解并记忆应用这些方法的前提条件； 4． 假设检验的基本原理、有关概念（如I 、II 类错误）及注意事项。
（二） 熟悉内容 两样本方差齐性检验。
（三） 了解内容1． t 分布的图形与特征；2． 总体方差不等时的两样本均数的比较； 3． 等效检验。
二、教学内容精要（一） 基本概念 1． 抽样误差抽样研究中，样本统计量与总体参数间的差别称为抽样误差（sampling error ）。
统计上用标准误（standard error ，SE ）来衡量抽样误差的大小。
不同的统计量，标准误的表示方法不同，如均数的标准误用X S 表示，率的标准误用S P 表示，回归系数的标准误用S b 表示等等。
均数的标准误与标准差的区别见表4-1。
表4-1 均数的标准误与标准差的区别均数的标准误标准差意义 反映的抽样误差大小 反映一组数据的离散情况 记法X σ（样本估计值X S ）σ（样本估计值S ）计算X σ=nσ X S =nSσ =nX 2)(∑-μS=1)(2--∑n X X控制方法增大样本含量可减小标准误。
个体差异或自然变异，不能通过统计方法来控制。
2．可信区间（1）定义、涵义：即按预先给定的概率确定的包含未知总体参数的可能范围。
该范围称为总体参数的可信区间（confidence interval ，CI ）。
它的确切含义是：CI 是随机的，总体参数是固定的，所以，CI 包含总体参数的可能性是1-α。
不能理解为CI 是固定随机的，总体参数是随机固定的，总体参数落在CI 范围内可能性为1-α。
当0.05α=时，称为95%可信区间，记作95%CI 。
当0.01α=时，称为99%可信区间，记作99%CI 。
（2）可信区间估计的优劣：一定要同时从可信度（即1-α的大小）与区间的宽度两方面来衡量。
医学统计学题库完整
医学统计学题库完整第⼀章绪论习题⼀、选择题1.统计⼯作与统计研究得全过程可分为以下步骤:(D)A、调查、录⼊数据、分析资料、撰写论⽂B、实验、录⼊数据、分析资料、撰写论⽂C、调查或实验、整理资料、分析资料D、设计、收集资料、整理资料、分析资料E、收集资料、整理资料、分析资料2、在统计学中,习惯上把(B )得事件称为⼩概率事件。
A、B、或C、D、E、3～8A、计数资料B、等级资料C、计量资料D、名义资料E、⾓度资料3、某偏僻农村144名妇⼥⽣育情况如下:0胎5⼈、1胎25⼈、2胎70⼈、3胎30⼈、4胎14⼈。
该资料得类型就是( A)。
4、分别⽤两种不同成分得培养基(A与B)培养⿏疫杆菌,重复实验单元数均为5个,记录48⼩时各实验单元上⽣长得活菌数如下,A:48、84、90、123、171;B:90、116、124、225、84。
该资料得类型就是(C )。
5、空腹⾎糖测量值,属于( C)资料。
6、⽤某种新疗法治疗某病患者41⼈,治疗结果如下:治愈8⼈、显效23⼈、好转6⼈、恶化3⼈、死亡1⼈。
该资料得类型就是(B )。
7、某⾎库提供6094例ABO⾎型分布资料如下:O型1823、A型1598、B型2032、AB型641。
该资料得类型就是(D )。
8、100名18岁男⽣得⾝⾼数据属于(C )。
⼆、问答题1.举例说明总体与样本得概念、答:统计学家⽤总体这个术语表⽰⼤同⼩异得对象全体,通常称为⽬标总体,⽽资料常来源于⽬标总体得⼀个较⼩总体,称为研究总体。
实际中由于研究总体得个体众多,甚⾄⽆限多,因此科学得办法就是从中抽取⼀部分具有代表性得个体,称为样本。
例如,关于吸烟与肺癌得研究以英国成年男⼦为总体⽬标,1951年英国全部注册医⽣作为研究总体,按照实验设计随机抽取得⼀定量得个体则组成了研究得样本。
2.举例说明同质与变异得概念答:同质与变异就是两个相对得概念。
对于总体来说,同质就是指该总体得共同特征,即该总体区别于其她总体得特征;变异就是指该总体内部得差异,即个体得特异性。
研究生统计学讲义第3讲第4章正态性检验和方差齐性检验
Lower
X 45.14 2 8 .000 -21.1333 -22.2129
Upper
-20.0538
t 检验统计量=－45.142，自由度df=8，双侧 P=0.000<0.05，可认为人工培植人参中M物质的含量 与野生人参不同。同时，由95% Confidence Interval of the Difference(差别的95%可信区间)为(-22.2129，20.0538)，不包含63.5，也可以认为人工培植人参中物 质的含量与野生人参不同。
(2) 计算检验统计量 t 值：
t
X 0
/ n
42.4 63.5 1.4 / 9
42.51 df= 9－1=8
(3) 确定 P 值和作为推断结论：查 t 界值表（附表3） ，得t0. 05 (8) =2.306，t0. 01(8) =3.355，现│t│> t0..018) ， P<0.01，拒绝H0，可认为人工培植人参中M物质的含 量与野生人参不同。 如使用SPSS11.5统计软件，在数据编辑窗的变量窗 口以x为变量名，在其Label（变量标签）中标签M物 质的含量，在数据窗口输入M物质的含量的数据，建 立数据文件L5.4.sav格式与L3.3.sav相同。采用OneSample T Test（单样本t检验）过程进行统计分析。
四、 完全随机设计资料的两均数比较（成组 t 检验） （一）、正态分布资料的两小样本均数比较
1.H0:μ1—μ2=0 ; H1: μ1—μ2 ≠0 ,α=0.05
t
| ( X 1 X 2 ) (1 2 ) |
2 Sc
其中
1 1 n1 n2 2 2 ( n1 1) s1 ( n2 1) s 2 2 Sc n1 n2 2
医学统计学-生存分析
A meta-analysis is a two-stage process. 提取单个研究的数据，并估计其进行点估计和可信区间; 决定是否合适将结果汇总，若是，计算其汇总值。
Meta分析不仅是简单将单个研究的数据累加
Meta分析
系统综述的特征:最佳证据
*
规范的临床问题
1
全面、完整的资料
2
对原始研究的质量评价，纳入合格的研究
结果解读（2）
结果解读：生存函数
Gehan比分检验：其基本思想是，在假定无效假设（两总体生存曲线相同）成立的前提下，则两样本来自分布相同的总体，两样本的Gehan比分合计V值应为0，若V值偏离0太远，则无效假设成立的可能性就很小。
对数秩检验：其基本思想是，在假定无效假设（两总体生存曲线相同）成立的前提下，可根据不同日期两种处理的期初人数和死亡人数，计算各种处理在各个时期的理论死亡数。若无效假设成立，则实际死亡数与理论死亡数不会相差太大。
检索方法：常未说明 有明确检索策略
文献选择：有潜在偏倚 有明确入选/排除标准
文献评价：方法不统一 有严格评价方法
结果合成：定性 定量/定性
结论推断：有时遵循研究依据 大多遵循研究依据
生存分析的主要内容：
1
描述生存过程（估计生存函数）
2
比较生存过程（比较生存函数）
3
影响生存时间的因素分析
4
SPSS中的菜单位置
第一章
生存率的估计方法有参数法和非参数法。常用非参数法，非参数法主要有二个，即乘积极限法与寿命表法。
01
寿命表法适用于观察例数较多而分组的资料，不同的分组寿命表法的计算结果亦会不同，当分组资料中每一个分组区间中最多只有 1个观察值时，寿命表法的计算结果与乘积极限法完全相同。
医学统计学(方差分析)
各种变异的表示方法
04
列举存在的变异及意义
各种变异的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率事件。
01
计算 C=(Σx) 2/N=(3309.5) 2/30=365093 SS总=Σx2-C=372974.87-365093=7881.87
α=0.05
02
SS组内=SS总-SS组间=7881.87-2384.026=5497.84
Ν总=N-1=29, Ν组间=k-1=2, Ν组内=N-k=30-3=27
159.0
111.0
115.0
合计Σxij
1160
921.5
1228
3309.5(Σx)
ni
11
9
10
30(N)
均数
105.45
102.39
122.80
110.32()
糖尿病
IGT
正常人
xij
106.5
Σ
Σxij2
123509.52
144.0
105.2
124.5
117.0
109.5
105.1
110.0
96.0
76.4
109.0
115.2
95.3
103.
95.3
总体均数估计
5.00
0.0920
0.0913
3个抽样实验结果图示
各样本均数未必等于总体均数； 各样本均数间存在差异； 样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本对称。 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。
本均数的抽样分布具有如下特点
从总体均数为μ，标准差为σ的正态总体中抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数为μ，标准差为 。
例6-7 某医院用某药治疗脑动脉硬化症22例，其中显效者10例。问该药总显效率的95%置信区间为多少？
本例n=22, X=10, 查附表6（478页），得此两数相交处的数值为24～68，即该药总显效率的95%置信区间为（24%，68%）。
（三）置信区间的确切涵义
01
02
03
95%的置信区间的理解：
For example
例6-6 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 95%的置信区间为： 该仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间 （ 70.9%，85.7% ）
04
03
01
02
查表法
当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的置信区间可据二项分布的理论求得。
当n确定时，上述两者互相矛盾。 提高准确度（可信度），则精确度降低 （置信区间会变宽），势必降低置信区间的实际应用价值，故不能笼统认为99%置信区间比95%置信区间要好。 相反，在实际应用中，95%置信区间更为常用。
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2．区间估计(interval estimation)：
通常有两类方法：
定量资料的t检验
基本思路（1）
60≠18.56，为什么？ 差别是由于抽样误差引起的，统计学上称为差异无统计学意义。 差异是本质上的差异，即二者来自不同总体。统计学上称为差异有统计学意义。
基本思路（2）
两者不等的原因： 同一总体，即 但有抽样误差存在； 非同一总体，即 存在本质上的差别，同时有抽样误差存在。
3.2 第Ⅱ类错误（type Ⅱ error） 如果实际情况与H0不一致，也仅仅由于抽样的原因，使得统计量的观察值落到接受域，不能拒绝原本错误的H0，导致了另一种推断错误。这样的错误称为第Ⅱ类错误。犯第Ⅱ类错误的概率为β。 接受了实际上不成立的H0，这类“取伪”的错误称为第Ⅱ类错误。其概率大小用β表示，β只取单尾。
=5.600
=13.233
解题步骤（2）
确定P 值，作出推断结论 查t 界值表， ，由于 ，故 ，在 =0.05的水准上拒绝 ，接受 ,差异有统计学意义，可以认为接受培训前后调查问卷得分有差别。
SPSS软件实现（1）
资料录入方式
SPSS软件实现（2）
3.3 假设检验与两类错误
实际情况
检验结果
拒绝H0
不拒绝H0
H0为真
第Ⅰ类错误(α) 假阳性（误诊）
结论正确(1-α) 置信度
H0不真
结论正确(1- β) 检验功效
第Ⅱ类错误(β) 假阴性（漏诊）
3.4 两类错误间的关系
当样本含量一定时，α越小，β越大；α越大，β越小；
增大n， α和β同时减小。
能否采用单样本t 检验完成配对设计t 检验？
SPSS软件实现（4）
2.3.1 两独立样本均数的t 检验 (Independent samples t test)
4.观察性研究的质量评价工具
中国循证心血管医学杂志2012年8月第4卷第4期 Chin J Evid Based Cardiovasc Med,Aug,2012,Vol.4,No.4•297 ••循证理论与实践 •Meta分析系列之四：观察性研究的质量评价工具曾宪涛，刘慧，陈曦，冷卫东[中图分类号] R4 [文献标志码] A [文章编号] 1674-4055(2012)04-0297-03基金项目:湖北医药学院2011年度优秀中青年科技创新团队项目（2011 CZX01）作者单位:442000 十堰,湖北医药学院附属太和医院口腔医学中心（曾宪涛,冷卫东）;浙江大学医学部公共卫生学院流行病与卫生统计学教研室（刘慧）;武汉大学口腔医学院口腔预防科（陈曦）通讯作者:冷卫东,E-mail:lengtaihe@.doi:10.3969/j.1674-4055.2012.04.004观察性研究（observational study ）又称非实验性研究（non-experimental study ），是指没有加入研究人员的任何干预（试验的或其他方面）措施，允许事件自然发展的研究过程[1]。
医学研究中有很大部分是观察性的研究，多用于评估教育项目和研究可能造成疾病或损害的危险因素，由于人的内在特点或实施条件涉及医学伦理等原因，这类研究通常不能实现随机化。
因此，与随机对照试验相比，观察性研究更容易受到偏倚风险影响，发生选择性偏倚的风险大于实验性研究。
由于观察性研究能够提供许多极为重要的信息，并在医学研究中占很大的比例，因此，观察性研究的Meta 分析具有重要意义[2]：①对观察性研究进行定量分析,以确定某因素是否为危险因素；②提供更准确的效应量估计和增加统计效能，分析量效关系；③分析不同研究间的异质性；④总结各单个研究的结果；⑤研究稀有暴露因素及其相互作用；⑥研究稀少疾病的危险因素。
近年来观察性研究的Meta 分析大量涌现,并呈逐年增多的趋势,已成为流行病学研究中的重要部分。
《数理统计》第6章§4正态总体的置信区间
区间。
其他非正态分布的影响
03
非正态分布可能导致置信区间的形状和范围与正态分
布不同，需要特别注意。
05
置信区间的应用实例
金融数据的置信区间分析
股票价格的预测
通过分析历史股票价格数据，利 用正态总体置信区间估计股票价 格的未来走势，为投资者提供参 考。
总体方差的置信区间
总结词
总体方差的置信区间是用来估计未知的总体 方差的一个区间范围，基于样本方差和自由 度。
详细描述
在正态分布的假设下，总体方差的置信区间 可以通过样本方差和自由度计算得出。具体 来说，对于给定的置信水平（如95%），我 们可以使用以下公式来计算总体方差的置信 区间：$left(frac{text{样本方差}}{text{自由 度}} pm text{统计量}right)^2$，其中统计量
许多自然现象的观测数据都服从或近似服从 正态分布，如人的身高、考试分数等。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布是重要的 理论基础。
参数估计
利用正态分布的性质进行参数的点估计和区 间估计，如均值和方差的估计。
线性回归分析
在回归分析中，正态分布用于解释因变量的 变异和建立预测模型。
02
置信区间的概念
流行病学研究
在流行病学研究中，利用置信区间分析疾病发病率 、患病率等指标，为制定公共卫生政策提供依据。
诊断试验评价
在评价诊断试验的性能时，使用置信区间分 析试验结果的准确性，为医生提供可靠的诊 断依据。
市场调查数据的置信区间分析
市场份额预测
通过对市场调查数据进行置信区间分析，预测产品在市场 中的份额和潜在增长空间。
心理测量第4章心理与教育测量的信度
K-R20公式
K-R21公式
克伦巴赫系数
库德-理查逊公式只适用于答对一题得一分，答错无分的测验，不适用于项目多重记分的测验，针对这一需要，克伦巴赫提出了系数的方法。其公式为：
K为测验题目数， 为某一题目分数的变异数， 为测验总分的变异数
采用SPSS计算信度
数 据 库
两次施测期间被试的学习效果没有差别
计算再测信度应满足以下几个假设；
两次测验的时间间隔要适当
应注意提高被试的积极性
再测法适用于速度测验和人格测验，而不适用于难度测验
采取此法时应注意以下几个问题：
用再测法估计信度的优点是能提供测验结果是否随时间而变化的资料，可作为预测被试将来行为的依据。其缺点是易受练习和记忆的影响。
S为相同尺度的标准分数的标准差，rxx、ryy分别为两个测验的信度系数。然后再将标准分数的差异与1.96SE（0.05水平）进行比较，即可得出两个测验的差异是否显著。
例：韦克斯勒对104名14岁半至15岁半的儿童，间隔一个月时间前后测了两次，求得全量表的稳定性系数为0.95，实测分数的标准差为15，则测量的标准误为：
同 质 性 信 度 计 算 方 式
结果
输入40题
评分者信度
标准化测验一般都有较为严格的评分程序。对于客观性试题来讲，评分所引起的误差是可以忽略不计的，但是对于一些主观题来讲，评分者之间的变异是产生误差的重要原因之一。
考察评分者信度的方法是随机抽取部分试卷，由两个或多个评分者独立按评分标准打分，然后求其间的相关。在计算相关时，如果是两个评分者，则采用积差相关或等级相关的方法，一般认为经过训练的成对评分者之间的一致性达0.90以上，评分才是客观的。如果是多个评分者则采用和谐系数来估计信度。其公式为：
循证医学(1)
循证医学(evidence based medicine ) 指的是临床医生面对着具体的病人，在收集病史、体检、以及必要的实验和有关检查资料的基础上，应用自己的理论知识与临床技能，分析与找出病人的主要临床问题，并进一步检索、评价当前最新的相关研究成果，取其最佳证据、结合病人的实际临床问题与临床医疗的具体环境作出科学、适用的诊治决策，在病人的配合下付诸实施，最后分析与评价效果。
PICO模式在构建一个具体的临床问题时，可采用国际上常用的PICO格式。
P指特定的患病的人群(population/participants); I指干预(intervention/exposure); C指对照组或另一种可用于比较的干预措施(comparator/control); O为结局(outcome)。
每个临床问题均应由PICO四部分构成。
1. 证据系统即计算机决策支持系统（Computerized decision support system, CDSS），是指针对某个临床问题，概括总结所有相关和重要的研究证据，并通过电子病例系统与特定患者的情况自动联系起来，为医生提供决策信息。
2、Cochrane临床对照试验中心注册库（Cochrane Central Register of Controlled Trials，CENTRAL 是随机对照试验和半随机对照试验的数据库，该数据库由Cochrane协助网组织、协调和编制，采用计算机和手工检索相结合的方法，对期刊、会议论文集、MEDLINE和EMBASE及其他文献数据库收录的刊物进行检索，确定其中的随机对照试验和半随机对照试验，为进行系统评价提供系统、全面和准确的原始资料库。
1.原始研究证是指直接以人群（病人和/或健康人）为研究对象，对相关问题进行研究所获得的第一手数据，经统计学处理、分析、总结而形成的研究报告。
常见的研究方法有随机对照试验、交叉试验、自身前后对照试验、同期非随机对照试验、队列研究、病例对照研究、横断面调查、病例分析和病例报告等。
04t检验和u检验
TTEST过程执行成组设计的来自正态总体的两个样本均数比较的t检验。它具有对两样本方差齐性比较的的F检验功能，计算t值与t’值，并给出相应的p值。
1. TTEST过程的语句组成。
*PROC TTEST options;
*CLASS variable;
VAR variable;
M(Sign) 3.5 Pr>=|M| 0.0156
Sgn Rank 14 Pr>=|S| 0.0156
W:Normal 0.896401 Pr<W 0.3222
Quantiles(Def=5)
略
Extremes
略
从上面的结果来看：
正态性检验：W=0.896401,p<W=0.3222,说明d(d=x1-x2)服从正态分布，t检验适用条件满足。
第四章
数值资料的参数统计推断，按推断目的不同分为两大类：总体参数的区间估计及总体参数的假设检验。其中应用最广泛的是总体均数的区间估计及总体均数的假设检验。PROC MEANS过程可以进行总体均数的区间估计，而总体均数的假设检验，依据研究设计类型的不同分别由PROC MEANS过程和PROC TTEST过程完成。
t检验：T(Mean=0)=-2.01284,Pr>|T|＝0.0750>0.05，按α＝0.05水平，尚不能
拒绝总体均数为零的假设，即可认为装瓶机工作正常。
例4.3若上例仅已知n=10, =490.3,s=15.2392,及μ0=500,则SAS程序为：
DATA A;
N=10;MEAN=490.3;SD=15.2392;MU=500;赋初值
T=(MEAN-MU)/(SD/SQRT(N));DF=N-1;计算t统计量及其自由度
第04章 设计过程质量管理 (《质量管理》PPT课件)
的到达
口有一位候客门童
备的拾元人民币
菜单错误
点菜后复述菜单，送厨 错误的菜品以及补上的
房时复述
正确的菜品均免费
配菜错误
复验菜品，交服务员时 错误的菜品以及补上的
核对菜单
正确的菜品均免费
菜品配送错误
给餐桌和菜品编号，关 错误的菜品以及补上的
联餐桌和菜品编号
正确的菜品均免费
SERVQUAL模型
口碑
个人需要
可靠度
1.00 0.98 0.77 0.45 0.25 0.13 0.06 0.02 0.01 0.00
解答
R(t)
1.0 0.8
0.6 0.4 0.2
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 小时
某电子产品可靠度分布曲线
故障率λ(t)：是指产品工作到时刻t，在以后的单位 时间内发生故障的概率。
➢ 切入点：
✓产品材质、重量、尺寸、形状、装配操作数、接 触面数、紧固件数、装配路径、检测方法和工具、 所用公用工程介质、使用环境、操作方法、可回 收利用情况
DfE
➢ 3R：
✓Reduce ✓Reuse ✓Recycle
➢ 3层次：
✓小循环 ✓中循环 ✓大循环
Inputs Reduce
Process Reuse
可靠度R(t)：在规定条件，规定时间内，无故障地 发挥规定功能的概率。
1 Rt (t)
NS (t) N
+
Q(t) N f (t) N
=
f(t)
Q(t)
R(t)
0
t
时间
算例
对某电子产品做寿命测试，随机抽取了100 只，统计出现故障的产品数量。测试结果如下 表所示，试绘制该产品的可靠度分布曲线。
分析流行病学方法
例 号
病 例
四个 对照 平均
病例
对照
病例 对照 病例 对照 病例 对照
1
25
32
有
2/4
否
0/4
有
1/4
有
0/4
2
30
30
有
3/4
否
0/4
有
1/4
有
0/4
3
22
31
有
1/4
有
0/4
否
1/4
有
0/4
4
33
30
有
3/4
有
0/4
有
0/4
有
0/4
5
22
27
有
3/4
否
1/4
否
1/4
否
0/4
6
21
29
有
3/4
有
2．成组匹配(frequency matching)
01
亦称群体匹配、频数匹 配，即要求某种或某些 因素（匹配因素）在对 照组与病例组总的分布 相同。
02
如病例组中男性的比例 为50%，则选择对照中， 男性的比例也为50%。
01
如果所研究的是罕见病，或所 能获得的合格病例数很少，则 采用个体匹配的设计方法；
2.对照的来源
自然人群：从产生病例的自然人
A
群中选择，或选取病例的邻居、
亲属、同事或配偶作为对照等。
B
医院对照：选取与病例同一医院 的其他疾病患者
（三）样本含量的估计
所允许犯假阳性错误 的概率α；
所希望达到的检验把 握度（1-β）；
病例组的暴露率 （P1 ）和对照组暴 露（P0 ）；
《统计学》课件第6章抽样推断
01
定义
抽样推断是一种通过从总体中随 机抽取部分样本，并利用这些样 本数据来推断总体特性的统计方 法。
02
03
04
代表性
样本应具有代表性，能够反映总 体的特征和规律。
抽样推断的重要性
01
02
03
节省成本
通过抽样可以减少所需的 数据量，降低调查成本。
提高效率
通过快速收集样本数据， 能够快速获得总体信息， 提高调查效率。
对数据进行核查，确保 数据的准确性，及时纠
正错误或异常值。
分类与编码
对数据进行适当的分类 和编码，以便进行后续
的数据分析。
数据清理
删除或修正不准确、不 完整或重复的数据，提
高数据质量。
数据分析与解释
描述性统计
使用描述性统计方法，如平均 数、中位数、众数、标准差等
，对数据进行初步分析。
推断性统计
根据调查目的，选择合适的推 断性统计方法，如回归分析、 方差分析、卡方检验等，对总 体进行推断。
非参数假设检验的步骤
确定数据特征、提出假设、构造检验统计量、确定临界值、作出推 断结论。
非参数假设检验的优缺点
优点是适用范围广、灵活性高；缺点是计算较为复杂，需要更多的 样本数据支持。
05
样本量的确定
影响样本量的因素
总体标准差
总体标准差越大，需要的样本量 也越大，以减小估计误差。
置信水平置信水平越Biblioteka ，所需样本量也越 大，以减小估计误差。
《统计学》课件第6章抽样 推断
目录
• 抽样推断概述 • 抽样方法与技术 • 参数估计 • 假设检验 • 样本量的确定 • 实例分析
01
抽样推断概述
郑大《统计学》在线测试
郑大《统计学》在线测试《统计学》第04章在线测试《统计学》第04章在线测试剩余时间：55:31答题须知：1、本卷满分20分。
2、答完题后，请一定要单击下面的“交卷”按钮交卷，否则无法记录本试卷的成绩。
3、在交卷之前，不要刷新本网页，否则你的答题结果将会被清空。
第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、编制时间数列时，要求动态数列的每个指标具有A、一致性C、可比性B、连续性D、间隔性B、环比发展速度-1等于环比增长速度D、环比增长速度的连积等于环比发展速度B、125%D、15%B、2%D、18%B、发展速度D、增长速度2、发展速度与增长速度的关系是A、定基发展速度-1等于环比增长速度C、定基长速度的连乘积等于定基发展速度3、已知某地的工业总产值1999年比1995年增长187.5％，1998年比1995年增长150％，那么1999年比1998年增长A、37.5%C、115%4、某企业报告期产量比基期产量增长了10％，生产费用增长了8％，则其产品单位成本降低了A、1．8%C、20%5、对时间数列进行动态分析的基础是A、发展水平C、平均发展水平第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、属于时期数列的有A、历年年末人数B、历年出生的婴儿数C、各月商品库存量D、各月末银行存款余额E、历年的工业总产值2、定基增长速度等于A、环比增长速度的连乘积B、累计增长量除以固定水平C、定基发展速度减1D、逐期增长量除以固定水平E、环比发展速度连乘积减去100％3、定基增长速度等于A、定基发展速度－1B、.环比发展速度的连乘积C、环比增长速度的连乘积D、环比增长速度加1后的连乘积再减1E、E.定基增长量除以最初水平4、各项指标值不能直接相加的时间数列有A、时期数列B、时点数列C、相对数时间数列D、平均数时间数列E、变量数列5、时期数列的特点是A、指标数值具有可加性B、指标数值不能直接相加C、指标数值通过连续登记加总取得D、指标数值只能间断计量E、指标数值的大小与时间长短有直接关系第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、将总体系列不同的综合指标排列起来就构成时间数列正确错误错误错误错误错误2、用几何法计算的平均发展速度的大小，与中间各期水平的大小无关正确3、编制时点数列，各项指标的间隔长短必须保持一致正确4、用水平法计算的平均速度，实质上只反映了现象首末水平的变化正确正确《统计学》第05章在线测试第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、按照“先综合，后对比”的思路编制的总指数是A、综合指数C、可变构成指数B、平均指数D、结构影响指数B、报告期D、末期B、综合指数D、调和平均数指数B、数量指标指数和质量指标指数D、算术平均数指数和调和平均数指数B、报告期质量指标D、报告期数量指标2、拉氏综合指数是把同度量因素固定在A、基期C、研究期3、总指数的基本形式是A、个体指数C、算术平均数指数4、统计指数按其所反映的指标性质不同可分为A、个体指数和总指数C、综合指数和平均数指数5、数量指标指数的同度量因素一般是A、基期质量指标C、基期数量指标第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、下列属于数量指数的是A、劳动生产率指数B、价格指数C、农副产品产量指数D、农副产品收购价格指数E、商品销售量指数2、下列属于数量指标指数的是A、产品产量指数B、商品销售额指数C、价格指数D、产品成本指数E、职工人数指数3、下列属于质量指标指数的是A、产品产量指数B、商品销售额指数C、价格指数D、产品成本指数E、职工人数指数4、某商品基期售出50公斤，报告期售出60公斤，指数为120％，该指数为A、数量指标指数B、综合指数C、总指数D、销售量指数E、个体指数5、质量指标指数的同度量因素一般是A、基期质量指标B、报告期质量指标C、基期数量指标D、报告期数量指标第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、广义指数就是各种相对数正确错误错误错误错误错误2、总指数就是加权指数正确3、编制综合指数的关键问题是同度量因素及其时期的选择正确4、编制平均数指数，实质上就是计算个体指数的平均数正确5、如果物价上涨10％，则现在100元钱只值原来的90元了正确06章第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、所谓随机原则，就是指A、随便抽取单位；C、保证总体中每个单位有同等的机会被抽取；B、任意抽取单位D、使得选中的单位不多不少，合乎要求2、所谓大样本是指样本单位数为A、30个C、≥30个B、50个D、≥50个B、增加约3/5D、没有什么变化B、调查中所产生的系统性误差D、计算过程中产生的误差B、代表性误差D、抽样误差3、在不重复抽样中，抽样单位数从5％增加到25％，抽样平均误差A、增加39.7％C、减少约3/54、抽样误差是指A、调查中所产生的登记性误差C、随机性的代表性误差5、能够事先加以计算和控制的误差是A、登记性误差C、系统性误差第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、从一个全及总体中抽取一系列样本，则A、样本指标的数值不是唯一确定的B、样本指标是样本变量的函数C、总体指标是随机变量D、样本指标也是随机变量E、样本指标随着样本的不同而不同2、抽取样本单位的方法有A、重复抽样B、简单随机抽样C、等距抽样D、不重复抽样E、整群抽样3、在全面调查和抽样调查中都存在的误差是A、系统性B、登记性误差C、责任心误差D、技术性误差E、代表性误差4、在总体100个单位中，抽取40个单位，下列说法中正确的是A、样本个数40个B、样本容量40个C、是一个大样本D、是一个小样本E、一个样本有40个单位5、区间估计必须具备的要素是A、点估计量B、置信区间C、置信度D、概率E、抽样平均误差第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、由于总体指标是唯一的，所以样本指标也是唯一的正确错误错误错误错误错误2、抽样误差是抽样法本身所固有的，但可以尽量避免正确3、有意选择样本单位所造成的误差不是抽样误差正确4、抽样调查不仅存在抽样误差，而且也存在登记误差正确5、抽样平均误差实际上是所有可能出现的样本平均数的方差正确07章第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、估计量的含义是指A、用来估计总体参数的统计量的名称C、总体参数的名称B、用来估计总体参数的统计量的具体数值D、总体参数的具体数值2、一个95％的置信区间是指B、总体参数有5％的概率未落在这一区间A、总体参数有95％的概率落在这一区间内内C、在用同样方法构造的总体参数的多个区D、在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95％的区间包含该总体参数间中，有95％的区间不包含该总体参数3、纯随机重复抽样的条件下，若其他条件不变，要使抽样平均误差缩小为原来的1/3，则样本单位数必须A、增大到原来的３倍C、增大到原来的６倍B、增大到原来的９倍D、也是原来的1/3B、都有可能不成立D、原假设一定成立，备选假设不一定成立4、在假设检验中，原假设和备选假设A、都有可能成立C、只有一个成立而且必有一个成立5、成数与成数方差的关系是B、成数的数值越接近0.3，成数的方差越A、成数的数值越接近0，成数的方差越大大C、成数的数值越接近0.5，成数的方差越大D、成数的数值越接近l，成数的方差越大第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、在参数估计中统计量的标准误差可用于A、衡量样本统计量与总体参数之间的差距B、衡量样本统计量的离散程度C、衡量样本统计量的集中程度D、衡量总体参数的离散程度E、衡量总体参数的集中程度2、由样本统计量来估计总体参数的方法有A、点估计B、区间估计C、假设检验D、近似估计E、抽样估计3、评价估计量的标准为A、一致性B、无偏性C、显著性D、有效性E、综合性4、样本均值是总体均值的A、无偏估计量B、一致估计量C、有偏估计量D、无效估计E、近似估计量5、决定样本量大小的因素有A、置信水平B、总体方差C、允许的估计误差D、总体均值E、总体比例第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、若两样本均数比较的假设检验结果P值远远小于0.01，则说明差异非常大正确错误错误错误错误2、对同一参数的估计，99％可信区间比90％可信区间好正确3、均数的标准误越小，则对总体均数的估计越准确。
置信区间(详细定义及计算)
在交通工程中需要测定车速（单位 km/h),由以往
例5
解
由置信区间的概念，所求μ的0.99的 置信区间为
2、现在作了150次观测，试问平均测量值的误差在
的经验知道，
即
测量值为X，
测量值的误差在 之间。
1、至少作多少次观测，才能以0.99的可靠性保证平均
之间的概率有多大？
由题意要求
用平均测量值 来估计μ
为了调查某地旅游者的消费额为X，
例4
40名旅游者。
解
本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。
选取统计量为
由公式知μ的置信区间为
查表
则所求μ的置信区间为
随机访问了
得平均消费额为
元，样本方差
设
求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。
若σ2＝25
μ的置信区间为
即
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得
解
μ的置信区间为
代入样本值算得 ,
[12.706，13.294].
得到μ的一个区间估计为
注：该区间不一定包含μ.
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
又如，上例中同样给定
可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
则μ的置信度为0.95的置信区间为
两个统计量
随机区间与常数区间
不同，
其长度与在数轴上
的位置与样本
有关。
当一旦获得样本值
那么，
都是常数。
为常数区间。
设 是总体X的 一个未知参数，
定义7.7
若满足
的置信区间.
（双侧置信区间）.
的置信水平（置信度）为
医学统计学练习题及答案
练习题答案第一章医学统计中的基本概念简答题常见的三类误差是什么？应采取什么措施和方法加以控制？［参考答案］常见的三类误差是：（1）系统误差：在收集资料过程中，由于仪器初始状态未调整到零、标准试剂未经校正、医生掌握疗效标准偏高或偏低等原因，可造成观察结果倾向性的偏大或偏小，这叫系统误差。
要尽量查明其原因，必须克服。
（2）随机测量误差：在收集原始资料过程中，即使仪器初始状态及标准试剂已经校正，但是,由于各种偶然因素的影响也会造成同一对象多次测定的结果不完全一致。
譬如，实验操作员操作技术不稳定，不同实验操作员之间的操作差异，电压不稳及环境温度差异等因素造成测量结果的误差.对于这种误差应采取相应的措施加以控制，至少应控制在一定的允许范围内.一般可以用技术培训、指定固定实验操作员、加强责任感教育及购置一定精度的稳压器、恒温装置等措施，从而达到控制的目的。
(3）抽样误差：即使在消除了系统误差，并把随机测量误差控制在允许范围内,样本均数（或其它统计量）与总体均数（或其它参数）之间仍可能有差异.这种差异是由抽样引起的，故这种误差叫做抽样误差，要用统计方法进行正确分析。
抽样中要求每一个样本应该具有哪三性？[参考答案］从总体中抽取样本，其样本应具有“代表性”、“随机性”和“可靠性”。
（1)代表性: 就是要求样本中的每一个个体必须符合总体的规定。
（2）随机性: 就是要保证总体中的每个个体均有相同的几率被抽作样本。
（3)可靠性：即实验的结果要具有可重复性，即由科研课题的样本得出的结果所推测总体的结论有较大的可信度。
由于个体之间存在差异, 只有观察一定数量的个体方能体现出其客观规律性.每个样本的含量越多，可靠性会越大,但是例数增加，人力、物力都会发生困难,所以应以“足够”为准.需要作“样本例数估计"。
什么是两个样本之间的可比性？［参考答案]可比性是指处理组（临床设计中称为治疗组）与对照组之间，除处理因素不同外，其他可能影响实验结果的因素要求基本齐同，也称为齐同对比原则。
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第4章可信区间在第3章讨论的抽样误差，主要研究从已知的总体中随机抽样，所得样本具有哪些统计性质。
而实际工作中的思路恰好与之相反：即我们得到一个样本，要根据样本所提供的信息推断总体的性质。
例如，想了解某降压药的疗效，随机抽取一部分高血压患者进行临床试验，对药物的疗效进行观察，这一部分参加试验的患者即为样本，样本中的每一个个体所研究指标的情况在试验中均了如指掌，但研究的目的并不限于此样本，而是通过这一样本所提供的信息进一步推断该药物是否有效，是否可以应用于临床，这个结论是针对总体的。
统计推断(statistical inference)就是根据样本所提供的信息，以一定的概率推断总体的性质。
统计推断包括两方面的内容：参数估计和假设检验。
本章主要阐述如何根据统计量的抽样分布性质，用样本统计量估计总体参数。
§4.1 可信区间的概念医学研究的目的之一是希望了解有关的总体参数，即对未知的总体参数进行估计。
由样本信息估计总体参数称为参数估计(parameter estimation)。
参数估计的概念是Neyman在1937年提出的。
参数估计包括点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)。
4.1.1 点估计点估计一般是直接用样本统计量作为总体参数的估计值。
这种估计方法简单方便，但未考虑抽样误差。
例如，某地区所有12岁正常男孩的身高是一个总体，但该总体的参数μ——平均身高未知。
为此，随机抽取该地区120名12岁正常男孩，测得其平均身高为X=142.67cm，标准差为s=6.00cm，这是样本统计量。
用样本均数X作为总体均数μ的一个估计，用样本的标准差s作为总体标准差σ的一个估计，即认为该地区所有12岁正常男孩的平均身高为142.67cm，标准差为6.00cm。
这就是点估计。
思维朴素，也很直观。
在这个问题中，总体参数μ和σ是未知的，但它们是固定的值，并不是随机的。
而样本统计量随样本的不同而异，是随机的。
如果有另一个研究者作同样的研究，测得当地另外120名12岁男孩的平均身高为X=141.95cm，当然也可以此作为总体平均身高的另一个点估计。
那么，谁的结论更可信？点估计是无法回答的，这就需要用到区间估计了。
4.1.2 区间估计区间估计是按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度为1-α 的可信区间(confidence interval, CI )，又称置信区间。
这种估计方法称为区间估计。
可信区间估计的理论基础是统计量的抽样分布规律。
可信度为1-α 的可信区间的确切涵义是：每100个样本所算得的100(1-α)％可信区间，平均有100(1-α)个包含了总体参数。
如取α=0.05，则在每100个样本所算得的100个95％可信区间中，平均有95个包含总体参数，有5个不包含总体参数。
可信区间通常由两个可信限(confidence limit)界定，其中较小者称为下限或下可信限，记为C L ，较大者称为上限或上可信限，记为C U 。
严格地讲，可信区间并不包括上可信限和下可信限两个值，是一开区间，可表示为(C L , C U )。
4.1.3 可信区间的两个要素可信区间的第一个要素是可靠性，常用可信度1-α 的大小表示。
可靠性常根据研究目的和实际问题的背景由研究者自行决定，常用的可信度为90％、95％和99％，但并不以此为限。
可信区间的第二个要素是精确性，常用可信区间的长度C U -C L 衡量。
若区间太长，虽其可靠性甚高，但可能无济于事，尤如估计一个年级大学生的平均年龄在10～60岁之间，估计某地区某病患病率在1％到99％之间，固然可信，但疏略亦甚明显。
精确性与变量的变异度大小、样本含量和1-α 取值有关。
当1-α 确定后，可信区间的长度受制于个体变异和样本含量：个体变异越大，区间越宽；样本含量越小，区间越宽。
当抽样误差确定后，可靠性和精确性是相互牵制的：若要提高可信度，可取较小的α 值，此时势必使区间变长，致精密度下降。
故不能笼统地认为99％可信区间比95％可信区间好。
一般常用95％可信区间，认为它能较好地兼顾可靠性和精确性。
可靠性和精确性是相互矛盾的两个方面，估计参数的可信区间的要旨，是充分利用样本所提供的信息，作出尽可能可靠而精确的估计。
§ 4.2 均数的可信区间4.2.1 总体均数的可信区间根据第3章的结果，从正态分布总体N (μ,σ2)中随机抽取一个样本，则Xs X t μ-=服从自由度为ν＝n -1的t 分布，即t 值接近于0的可能性较大，远离0的可能性较小，出现太大的t 值和太小的t 值的可能性更小，根据t 分布的性质，大于t 0.05,ν者只有2.5%，小于-t 0.05,ν者亦只有2.5%。
则t 有95％的可能在-t 0.05,ν 到t 0.05,ν 之间。
更一般地有：ανανα-=<<-1)(,,t t t P (4.1)或： αμνανα-=+<<-1)(,,X X s t X s t X P (4.2)从而总体均数的(1-α )可信区间定义为： (X s t X ⨯-να,，X s t X ⨯+να,) (4.3)其中ν＝n -1为自由度，t α,ν为自由度是ν的、两侧尾部面积各为α/2的t 界值，可查t 界值表获得。
在该区间中，X s t X ⨯-να,为可信区间的下限，X s t X ⨯+να,为可信区间的上限，可信度为1-α。
当α =0.05时，该可信区间的可信度为95%；当α =0.01时，该可信区间的可信度为99％。
有时将两个可信限简记为：X s t X ⨯±να,。
当样本含量较大时，例如n ＞100，t 分布逼近标准正态分布，此时可用标准正态分布代替t 分布，作为可信区间的近似计算。
相应的100(1-α)％可信区间为： (X s u X ⨯-α,X s u X ⨯+α) (4.4)其中，u α为标准正态离差，即两侧概率均为α/2的标准正态分布的分位数，如u 0.05=1.96，u 0.01=2.58。
例 4.1 随机抽取12名口腔癌患者，检测其发锌含量，得X =253.05μg/g ，X s =27.18μg/g ，求口腔癌患者发锌含量总体均数95％的可信区间。
本例自由度ν=12-1=11，经查表得t 0.05,11=2.201，则μL =)/(23.19318.27201.205.25311,05.0g g s t X X μ=⨯-=⨯-μU =)/(87.31218.27201.205.25311,05.0g g s t X X μ=⨯+=⨯+即口腔癌患者发锌含量总体均数的95％可信区间为：193.23～321.87(μg/g)。
本例193.23～312.87为可信区间，而193.23和321.87分别为其下可信限和上可信限。
例4.2 某地120名12岁正常男孩身高X =142.67cm ，X s =0.5477cm ，计算该地12岁正常男孩身高总体均数90％的可信区间。
因n =120>100，故可以用标准正态分布代替t 分布，u 0.10=1.64，)(77.1415477.064.167.14210.0cm s u X X =⨯-=⨯-)(57.1435477.064.167.14210.0cm s u X X =⨯+=⨯+即该地12岁正常男孩平均身高的90％可信区间为：141.77～143.57(cm)，可认为该地12岁正常男孩平均身高在141.77～143.57(cm)之间。
若按t 分布计算，结果为：141.76～143.58(cm)，两结果很接近。
由上可见，均数的可信区间长度与标准差成正比，与样本含量之平方根成反比，且可信度1-α 越大，t α,v 越大，则区间越宽。
4.2.2 两均数之差的区间估计实际工作中，我们常常需要估计两总体均数之差21μμ-。
例如：冠心病患者与正常人的血清胆固醇平均相差多少？长跑运动员与一般人群的脉率之差为多少？周围神经炎患者经一个疗程治疗后，试验组比对照组的神经传导速度平均提高多少？等等。
我们可以用两样本均数之差21X X -作为两总体均数之差21μμ-的点估计，但点估计没有考虑抽样误差的大小。
故需估计两总体均数之差的可信区间。
设两样本之样本含量、均数和方差分别为：n 1，n 2，1X ,2X 和s 12，s 22，由数理统计理论可知：21)()(2121X X s X X t ----=μμ (4.5) 服从自由度为ν=n 1+n 2-2的t 分布。
其中： ()2121121n n s s c X X +⨯=- (4.6)21X X s -称为均数之差的标准误。
s c 2称为合并方差，是两样本方差的加权平均： 2)1()1212222112-+-+-=n n s n s n s c （ (4.7) 则根据ανανα-=<<-1)(,,t t t P ，可得μ1-μ2的可信区间： ()1212121212,(2)12,(2)() ()n n n n X X X X X X t s X X t s αα+-+------+， (4.8) 例4.3 某医生研究转铁蛋白对病毒性肝炎诊断的临床意义，测得12名正常人和15名病毒性肝炎患者血清转铁蛋白含量(μg/dl)，结果如下，试估计正常人和患者的转铁蛋白含量均数之差的95％可信区间。
正常人(X 1)265.4 271.5 284.6 291.3 254.8 275.9 281.7 268.6 (n 1=12)264.4 273.2 270.8 260.5 病毒性肝炎患者(X 2) 235.9215.4 251.8 224.7 228.3 231.1 253.0 221.7 (n 2=15) 218.8 233.8 230.9 240.7 256.9 260.7 224.4 根据资料算得：89.2711=X s 12 =10.38221.2352=X s 22 =14.3923679.1632151239.141438.1011222=-+⨯+⨯=c s 95.41511213679.1631121221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-n n s s c X X 自由度为ν=n 1+n 2-2=12+15-2=25、α＝0.05的t 界值为：t 0.05,25=2.060，则两组均数之差的95％可信区间为：(271.89－235.21 ) ± 2.060 × 4.95 = 26.48 ～ 46.88可以认为病毒性肝炎患者的血清转铁蛋白含量较正常人平均低36.68(μg/dl)，其95％可信区间为26.48~46.88(μg/dl)。