第04章可信区间

第4章可信区间

在第3章讨论的抽样误差，主要研究从已知的总体中随机抽样，所得样本具有哪些统计性质。而实际工作中的思路恰好与之相反：即我们得到一个样本，要根据样本所提供的信息推断总体的性质。例如，想了解某降压药的疗效，随机抽取一部分高血压患者进行临床试验，对药物的疗效进行观察，这一部分参加试验的患者即为样本，样本中的每一个个体所研究指标的情况在试验中均了如指掌，但研究的目的并不限于此样本，而是通过这一样本所提供的信息进一步推断该药物是否有效，是否可以应用于临床，这个结论是针对总体的。

统计推断(statistical inference)就是根据样本所提供的信息，以一定的概率推断总体的性质。统计推断包括两方面的内容：参数估计和假设检验。本章主要阐述如何根据统计量的抽样分布性质，用样本统计量估计总体参数。

§4.1 可信区间的概念

医学研究的目的之一是希望了解有关的总体参数，即对未知的总体参数进行估计。由样本信息估计总体参数称为参数估计(parameter estimation)。参数估计的概念是Neyman在1937年提出的。参数估计包括点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)。

4.1.1 点估计

点估计一般是直接用样本统计量作为总体参数的估计值。这种估计方法简单方便，但未考虑抽样误差。

例如，某地区所有12岁正常男孩的身高是一个总体，但该总体的参数μ——平均身高未知。为此，随机抽取该地区120名12岁正常男孩，测得其平均身高为X=142.67cm，标准差为s=6.00cm，这是样本统计量。用样本均数X作为总体均数μ的一个估计，用样

本的标准差s作为总体标准差σ的一个估计，即认为该地区所有12岁正常男孩的平均身高为142.67cm，标准差为6.00cm。这就是点估计。思维朴素，也很直观。

在这个问题中，总体参数μ和σ是未知的，但它们是固定的值，并不是随机的。而样本统计量随样本的不同而异，是随机的。如果有另一个研究者作同样的研究，测得当地另外120名12岁男孩的平均身高为X=141.95cm，当然也可以此作为总体平均身高的另一个点估计。那么，谁的结论更可信？点估计是无法回答的，这就需要用到区间估计了。

4.1.2 区间估计

区间估计是按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度为1-α 的可信区间(confidence interval, CI )，又称置信区间。这种估计方法称为区间估计。可信区间估计的理论基础是统计量的抽样分布规律。

可信度为1-α 的可信区间的确切涵义是：每100个样本所算得的100(1-α)％可信区间，平均有100(1-α)个包含了总体参数。如取α=0.05，则在每100个样本所算得的100个95％可信区间中，平均有95个包含总体参数，有5个不包含总体参数。

可信区间通常由两个可信限(confidence limit)界定，其中较小者称为下限或下可信限，记为C L ，较大者称为上限或上可信限，记为C U 。严格地讲，可信区间并不包括上可信限和下可信限两个值，是一开区间，可表示为(C L , C U )。

4.1.3 可信区间的两个要素

可信区间的第一个要素是可靠性，常用可信度1-α 的大小表示。可靠性常根据研究目的和实际问题的背景由研究者自行决定，常用的可信度为90％、95％和99％，但并不以此为限。

可信区间的第二个要素是精确性，常用可信区间的长度C U -C L 衡量。若区间太长，虽其可靠性甚高，但可能无济于事，尤如估计一个年级大学生的平均年龄在10～60岁之间，估计某地区某病患病率在1％到99％之间，固然可信，但疏略亦甚明显。精确性与变量的变异度大小、样本含量和1-α 取值有关。当1-α 确定后，可信区间的长度受制于个体变异和样本含量：个体变异越大，区间越宽；样本含量越小，区间越宽。当抽样误差确定后，可靠性和精确性是相互牵制的：若要提高可信度，可取较小的α 值，此时势必使区间变长，致精密度下降。故不能笼统地认为99％可信区间比95％可信区间好。一般常用95％可信区间，认为它能较好地兼顾可靠性和精确性。

可靠性和精确性是相互矛盾的两个方面，估计参数的可信区间的要旨，是充分利用样本所提供的信息，作出尽可能可靠而精确的估计。

§ 4.2 均数的可信区间

4.2.1 总体均数的可信区间

根据第3章的结果，从正态分布总体N (μ,σ2)中随机抽取一个样本，则X

s X t μ-=服从自

由度为ν＝n -1的t 分布，即t 值接近于0的可能性较大，远离0的可能性较小，出现太大的t 值和太小的t 值的可能性更小，根据t 分布的性质，大于t 0.05,ν者只有2.5%，小于-t 0.05,ν者亦只有2.5%。则t 有95％的可能在-t 0.05,ν 到t 0.05,ν 之间。更一般地有：

ανανα-=<<-1)(,,t t t P (4.1)

或： αμνανα-=+<<-1)(,,X X s t X s t X P (4.2)

从而总体均数的(1-α )可信区间定义为： (X s t X ⨯-να,，X s t X ⨯+να,) (4.3)

其中ν＝n -1为自由度，t α,ν为自由度是ν的、两侧尾部面积各为α/2的t 界值，可查t 界值表获得。在该区间中，X s t X ⨯-να,为可信区间的下限，X s t X ⨯+να,为可信区间的上限，可信度为1-α。当α =0.05时，该可信区间的可信度为95%；当α =0.01时，该可信区间的可信度为99％。 有时将两个可信限简记为：X s t X ⨯±να,。

当样本含量较大时，例如n ＞100，t 分布逼近标准正态分布，此时可用标准正态分布代替t 分布，作为可信区间的近似计算。相应的100(1-α)％可信区间为： (X s u X ⨯-α,X s u X ⨯+α) (4.4)

其中，u α为标准正态离差，即两侧概率均为α/2的标准正态分布的分位数，如u 0.05=1.96，u 0.01=2.58。

例 4.1 随机抽取12名口腔癌患者，检测其发锌含量，得X =253.05μg/g ，X s =27.18μg/g ，求口腔癌患者发锌含量总体均数95％的可信区间。

本例自由度ν=12-1=11，经查表得t 0.05,11=2.201，则

μL =)/(23.19318.27201.205.25311,05.0g g s t X X μ=⨯-=⨯-

μU =)/(87.31218.27201.205.25311,05.0g g s t X X μ=⨯+=⨯+

即口腔癌患者发锌含量总体均数的95％可信区间为：193.23～321.87(μg/g)。本例193.23～312.87为可信区间，而193.23和321.87分别为其下可信限和上可信限。

例4.2 某地120名12岁正常男孩身高X =142.67cm ，X s =0.5477cm ，计算该地12岁正常男孩身高总体均数90％的可信区间。

因n =120>100，故可以用标准正态分布代替t 分布，u 0.10=1.64，

)(77.1415477.064.167.14210.0cm s u X X =⨯-=⨯-

)(57.1435477.064.167.14210.0cm s u X X =⨯+=⨯+

即该地12岁正常男孩平均身高的90％可信区间为：141.77～143.57(cm)，可认为该地12岁正常男孩平均身高在141.77～143.57(cm)之间。

若按t 分布计算，结果为：141.76～143.58(cm)，两结果很接近。

由上可见，均数的可信区间长度与标准差成正比，与样本含量之平方根成反比，且可信度1-α 越大，t α,v 越大，则区间越宽。

4.2.2 两均数之差的区间估计

实际工作中，我们常常需要估计两总体均数之差21μμ-。例如：冠心病患者与正常人的血清胆固醇平均相差多少？长跑运动员与一般人群的脉率之差为多少？周围神经炎