最新近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)

多所高校近世代数题库

一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分）

1、设A与B都是非空集合，那么A_. B’xx，A且B:。（）

2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f」。（）

4、如果循环群G =归中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。（）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）

6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为-g • G,-h・Hig’Hg H 。（）

7、如果环R的阶_2，那么R的单位元1-0。

（）

8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）

9、F（x）中满足条件p（「）=0的多项式叫做元［在域F上的极小多项式。（）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与幷p）同构的子域，这里Z是整数环，（p ）是由素数p生成的主理想。

（）

二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A,A2,…，A n和D都是非空集合，而f是A1 A2… An到D的一个映射，那么（）

①集合4,人2,…，A n,D中两两都不相同；② A1,A2,…,A n的次序不能调换；

③A1A2… A n中不同的元对应的象必不相同；

④一个元a「a2,…，a n的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（）

a +

b j

①在整数集Z上，a b ；②在有理数集Q上，a二ab ；

ab

③在正实数集R*上，a ^b=alnb:④在集合｛n^Zn^。｝上，a"b=a — b。

3、设是整数集Z上的二元运算，其中a ^max：a,b?（即取a与b中的最大者），那么•在Z中（）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a ^a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是（）

①0和- x ；②1和0；③k和x-2k ；④- k和- （x 2k）。

5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」，acx =xac，那么x=（）

① bc J a 4；② c °a '；③ a J bc J；④ b 'ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH ｝。如果6,那么G的阶G =（）

①6；②24；③10 ；④12。

7、设f ：G1 > G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8设f :尺> R2是环同态满射，f（a）二b，那么下列错误的结论为（）

①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；

③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R?是不交换的，则R|不交换。

9、下列正确的命题是（）

①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）

①E:I = E:I I :F ；② F:E=I:FE:I ；

③ I : F H E : F F : I ；④ E : F A：〔E : I I : F。

三、

(2011

年近世代数)填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1分,

共10分)

1、 设集合 A-L1,O"； B —1,2 ［则有 B A = ___________ 。

2、 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则f '〔f a ］；」 ________ 。

3、 设集合A 有一个分类，其中 A 与A j 是A 的两个类，如果 A = A j ，那么A i A j 二 _______________ 。

4、 设群G 中元素a 的阶为m ，如果a n =e ，那么m 与n 存在整除关系为 ________ 。

5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 ______ 同构。

6、 给出一个5-循环置换理=(31425)，那么二J

= ____________ 。

7、 若|是有单位元的环 R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 ___________ 。 8若R 是一个有单位元的交换环，

I 是R 的一个理想，那么 %是一个域当且仅当|是 ____________ 。

9、 整环|的一个元p 叫做一个素元，如果 ___________ 。

10、 若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 _________ 。 四、 (2011年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出 错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)

1、如果一个集合 A 的代数运算•同时适合消去律和分配律，那么在 a 1 'a^' 'a n 里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群，如果满足 G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律

成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且I M S R ，如果I 是R 的最大理想，那么 S= 0。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若 d 和d 都是a 和b 的最大公因子，那么必有 d 二d 。

5、叫做域F 的一个代数元，如果存在 F 的都不等于零的元 a 0

,a 1

/' ,a n

使得

五、(2011年近世代数)计算题(共 1、给出下列四个四元置换

2 3 4

六、(2011年近世代数)证明题(每小题 10分，共40分)

1、 设a 和b 是一个群G 的两个元且ab =ba ，又设a 的阶a = m ， b 的阶b = n ，并且(m,n) = 1，证明：ab 的阶 ab =

mn 。

2、 设R 为实数集，—a,b ・R,a =0，令f (a,b ): R > R,x — ax b^^ R ，将R 的所有这样的变换构成一个集合

G ={f (a ,b

)忖a,b^ R,a^。}，试证明：对于变换普通的乘法，

G 作成一个群。

3、 设丨1和丨2为环R 的两个理想，试证丨1

口丨2和h +I 2

='a+ba^

12>都是R 的理想。

4、 设R 是有限可交换的环且含有单位元 1,证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

5、 整数环Z 中，证明(3，7)=(1)

6、 证明：域是欧式环。

7、 证明群同态定理第一条。

8 R ［x ］条件下，做映射：f : g(x)=g(0),求证：在f 映射下R ［x ］与R 同构，并求其核。

a 0 - a 1

亠；'亠 a n

J n

= 0。

15分，每小题分标在小题后)

组成的群 2 3 4丿

G ，试写出G 的乘法表， 6「0丨1丨2丨3|4丨

51? 是模6的剩余类环， \2 1

3 并且求出 G 的单位元及 4丿 ■- 1丨 (2)

丨… <2 j 3

1 4

.j

二 4 和G 的所有子群。

且

f(x),g(x) Z 6 'x 1。如果 f (x)二 3〕x 3 • 2、

2、 设Z g(x) = 4 X 2 ■ 5X - 31,计算 f (x) ■ g(x)、f(x) -g(x)和 f (x)g(x)以及它们的次数。

3、 群G=(a),|a|=7 ，求出群G 的所有子群。