共线向量定理_
平面向量共线向量定理
平面向量共线向量定理1. 什么是共线向量？说到平面向量，咱们先得搞明白什么是共线向量。
共线向量，简单来说，就是一群向量，它们的方向一致，就像一群小鸟齐齐飞向同一个方向。
想象一下，如果你和朋友们都朝同一个地方走，那你们就是共线的。
这样的向量在数学上可不是随便说说，它们有着特别的关系，甚至可以通过一些简单的计算来证明。
1.1 向量的定义向量其实就像一条有方向的箭，箭头指的地方就是它的方向，而箭的长度就是它的大小。
想象一下，如果你在操场上朝一个方向跑，跑的快慢、方向都可以用向量来表示。
平面向量则是在二维平面上的向量，咱们日常生活中的位置、速度等都可以用平面向量来描述。
1.2 向量的加法与数乘现在，咱们再聊聊向量的加法和数乘。
就像把两根同样的手指放在一起，你的总长度就变大了。
向量加法也是如此，把两个向量的起点连起来，最后的箭头指向的地方就是它们的和。
而数乘，就像你把这根手指伸长了几倍，方向不变，但大小却变大了。
这些操作在数学上是基础，但实际上它们的用途可多了去了。
2. 共线向量的性质接下来，咱们得看看共线向量的性质。
首先，共线向量的方向是一致的，换句话说，它们的方向角是相同的。
如果你把两根共线向量放在一起，你会发现它们可以重合，仿佛它们就是亲兄弟。
其次，任何一个共线向量都可以表示成其他向量的倍数，听起来有点复杂，其实就像是你把一道菜用不同的调料做成的风味，但本质上还是那道菜。
2.1 数学表达说到数学表达，咱们可以用公式来理解这一点。
如果有两个向量 ( vec{a ) 和( vec{b )，它们是共线的，那就意味着存在一个非零的实数 ( k )，使得 ( vec{a = k cdot vec{b )。
简单来说，就是你可以通过某种方式把一个向量变成另一个向量，这就叫共线。
2.2 生活中的例子在生活中，我们也能找到共线向量的例子。
比如说，两个车沿着同一条道路行驶，不管它们的速度多快或慢，只要方向一致，它们就可以看作是共线向量。
空间向量基本定理
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时,称为单位正交基底，通常用 i, j , k 表示.
1、 如 果 a, b 与 任 何 向 量 都 不 能 构 空 成间的 一个基底， 则a与b 有 什 么 关 系 ？ 共线
2、 判 断 ： O, A, B, C为 空 间 四 点 ， 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系共面 ？
通过平面向量基本定理来类似地推广到 空间向量中吗？ 空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 பைடு நூலகம் 一 向 量p，存 在 惟 一 的有序实数组 ( x, y, z )， 使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。
18.向量共线定理和向量基本定理
向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=.变形形式:已知直线l 上三点,,A B P ,O 为直线l 外任一点,有且只有一个实数λ,使得()1OP OA OB λλ=-+.2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+. 考点1 向量共线定理题型 1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知3AD AB =,3DE BC =,试判断AC 与AE 是否共线?例2已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C DAD.D ,,A C D例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD 的形状 ⑴AD BC = ⑵13AD BC =⑶AD BC =,且AB AD=题型2 向量共线定理的应用 例 4 ⑴已知点C在线段AB上,且52AC CB =,则AC =AB ,BC = AB⑵设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值.⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A B C ，， 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 .A 100 .B 101 .C 200 .D 201考点3 平面向量基本定理题型 在几何图形中,用基底表示其他向量 例5 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a =,AD b =,用,a b 为基底表示,,,MA MB MC MDBC例6 D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =.A 12BC BA -+ .B 12BC BA -- .C 12BC BA - .D 12BC BA+例7如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为1200，OA与OC的夹角为300，且1OA OB ==，23OC =．若OC OA OBλμ=+(),R λμ∈，则λμ+的值为练习:1. 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件AB CD AOBCABC DC 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3. 已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线4. 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（ ）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +5. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c6. 在ABC△中，已知D是AB边上一点，若2AD DB=，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23 .B 13 .C 13- .D 23-7. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE ADA 、1B 、2C 、3D 、48. 设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=9. 在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = （用,a b 表示）10. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求ABDEA BCH•MCD → ，CE → ．已知a +b=213e e +，a -b=212e e -，用1e 、2e 表示a =。
共线向量定理推论
共线向量定理推论
一、共线向量定理
1. 定理内容
- 如果有向量→a(→a≠→0)与向量→b，那么存在唯一实数λ，使得→b=λ→a 时，向量→a与→b共线。
1. 推论一：判断三点共线
- 设A,B,C是平面内三个不同的点，则A,B,C三点共线的充要条件是存在实数λ，使得→AB=λ→AC（其中→AB和→AC为非零向量）。
- 例如，已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则→AB=(3 - 1,4 - 2)=(2,2)，→AC=(5 - 1,6 - 2)=(4,4)。
- 此时→AC = 2→AB，满足→AB=λ→AC（λ=(1)/(2)），所以A，B，C三点共线。
2. 推论二：向量共线与坐标的关系（平面向量）
- 对于平面向量→a=(x_{1},y_{1})，→b=(x_{2},y_{2})（→a≠→0），若→a与→b共线，则x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} = 0。
- 证明：由共线向量定理可知，若→a与→b共线，则存在实数λ，使得→b=λ→a，即(x_{2},y_{2})=λ(x_{1},y_{1})=(λ x_{1},λ y_{1})。
- 所以x_{2}=λ x_{1}，y_{2}=λ y_{1}，消去λ可得x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0。
- 例如，已知→a=(1,2)，→b=(2,k)，因为→a与→b共线，根据x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0，则1× k - 2×2=0，解得k = 4。
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
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已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
3.1.2空间向量的共线与共面
例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
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B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数 使
051平面向量基本定理及共线向量定理
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
平面向量基本定理和共线定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
高中数学共面向量基本定理
OP OA tAB (1 t)OA tOB
3、空间共面向量定理
p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB
作业P162之友
B
PA
OP (1 t)OA tOB
P、A、B 三点共线
O
P B
A
O
OP xOA yOB
O、P、A、B 四点共面
②平面AC//平面EG。
证明：② EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得：
D
A
H
C
B
G
面EG // 面AC
E
F
四、课堂练习 1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
例3 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴ AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC k面
OP 1 (OA OB) 2
（中点公式）
例1：若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O，
试用 OA,OB表示OP
B P A
O
练习： 已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0)，点O为空间任一点，则
A.
OP m OA n OB
mn mn
B.
OP n OA m OB
C A
B
O
1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
共线向量定理练习题
共线向量定理练习题首先，让我们先了解一下什么是共线向量定理。
在数学中，共线向量定理指出如果存在实数k，使得向量a和向量b的关系可以表示为b=k*a，那么这两个向量a和b是共线的。
换句话说，如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是共线的。
接下来，我们将通过一些练习题来巩固对共线向量定理的理解。
练习题一：已知向量a=3i-2j和向量b=-6i+4j，求证向量a和向量b是共线的。
解答：要证明向量a和向量b是共线的，我们需要找到一个实数k，使得b=k*a。
设b=k*a，则-6i+4j = k*(3i-2j)。
展开这个等式，我们可以得到以下两个方程：-6 = 3k4 = -2k解这个方程组，我们可以得到k=-2。
把k的值代入b=k*a的式子中，我们有：-6i+4j = -2*(3i-2j)这个等式成立，因此向量a和向量b是共线的。
练习题二：已知向量a=2i+j-3k和向量b=-4i-2j+6k，求证向量a和向量b是共线的。
解答：要证明向量a和向量b是共线的，我们需要找到一个实数k，使得b=k*a。
设b=k*a，则-4i-2j+6k = k*(2i+j-3k)。
展开这个等式，我们可以得到以下三个方程：-4 = 2k-2 = k6 = -3k很明显，这个方程组没有解。
因此，向量a和向量b不共线。
练习题三：已知向量a=i-j+k和向量b=3i-3j+3k，判断向量a和向量b是否共线，并解释你的答案。
解答：要判断向量a和向量b是否共线，我们需要找到一个实数k，使得b=k*a。
设b=k*a，则3i-3j+3k = k*(i-j+k)。
展开这个等式，我们可以得到以下三个方程：3 = k-3 = -k3 = k这个方程组成立，且k=3，因此向量a和向量b是共线的。
通过以上练习题，我们巩固了共线向量定理的理解，并应用该理论来解决了几个具体的问题。
向量共线定理
练习：
1、设e1，e2是两个共线的向量，已知AB 2e1 ke2， CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2。若A、B、D三点共线， 求实数k的值。 2、设二个非零向量e1，e2不共线，如果AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2，求证A、B、D三点共线。 3、在OAB中，两条中线AD、BE交于点G， 若OA a，OB b，用a，b表示பைடு நூலகம்G。
运算律：
a a 结合律
a aa 第一分配律
第二分配律
a
b
a
b
练习：
a
已知非零向量 a ，求向量 的模
结论：① a 是单位向量 | a |
|a|
a
试用OA和OB表示OC。
思考：
设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数 s，t，
使 OC sOA tOB
若A、B、C三点共线，则
；
反之，若s+t=1，则
。
结论：设O为平面上任一点，则A、B、C三点共线
OC 1 t OA tOB t R
或 A、B、C三点共线 OC sOA tOB ，其中s+t=1
得b a。
说明：
①要证向量 a，b共线，只须证明存在实数λ ，使
得 b a 即可。
②推广：a // b 存在实数1，2，使得1a 2b
利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。
问题1：
设e1，e2是不共线的两个向量，AB 3e1 2e2， BC 2e1 4e2，CD 2e1 4e2. (1)向量 AC与CD是否共线？为什么？
平面向量的共线定理和共点定理
平面向量的共线定理和共点定理平面向量是数学中重要的概念之一，其具有广泛的应用。
在平面向量的运算中，共线定理和共点定理是两个重要的定理，对于理解和应用平面向量具有重要意义。
共线定理是指如果两个非零向量的起点相同或终点相同，且它们的方向相同或相反，则这两个向量共线。
换句话说，如果两个非零向量可以通过缩放或反向缩放得到，那么它们是共线的。
举个例子来说，假设有两个非零向量A和B，它们的起点都为点P，且它们的方向相同或相反，那么根据共线定理，可以得出结论：向量A和向量B是共线的。
共线定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共线的，则有 A = k * B 或 A = -k * B，其中k 为非零实数。
共点定理是指如果两个非零向量的起点和终点相同，则这两个向量共点。
具体而言，如果两个非零向量的起点都是点P，终点都是点Q，那么根据共点定理，可以得出结论：向量A和向量B是共点的。
共点定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共点的，则有 A = B。
根据以上的共线定理和共点定理，我们可以进行一些相关的应用和推论。
首先，利用共线定理和共点定理，我们可以判断两个向量是否共线或共点。
只需判断它们的起点和终点是否相同，以及它们的方向是否相同或相反即可。
其次，共线定理和共点定理还可以用于求解向量的系数。
例如，已知点P、Q和R的位置关系，以及向量PA和向量QA共线，我们可以利用共线定理求解出向量PA和向量QA之间的系数。
同样地，如果已知向量A和向量B共点于点P，并且向量A、向量B和向量C共线，我们可以利用共点定理求解出向量A和向量B之间的系数。
此外，共线定理和共点定理还可以用于证明一些几何性质。
例如，我们可以利用共线定理证明平面中两个角的余弦值相等，或者利用共点定理证明平面中的四边形为平行四边形。
总结起来，平面向量的共线定理和共点定理在求解向量的位置关系、系数和证明几何性质方面起着关键作用。
通过充分理解和应用这两个定理，我们可以更好地理解和运用平面向量的相关概念和运算。
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
向量共线定理
与������������共线，并将������������用������������线性表示.
������
������
������
������
������
变式1：例1中，若������������ = ������������������， ������������ = ������������������，则������������与������������是否共 线？
那么������与������是共线向量；反之，如果������与������ ������ ≠ ������ 是共线向量， 那么有且只有一个实数������，使
������ = ������������. 思考：为什么要求向量������ ≠ ������，������可以为������吗？
例1 如图，若������，������分别为∆������������������的边������������和������������中点，求证：������������
证：������������ = ������������+������������������.
������+������
探究：已知平面内有O，A，B，C四点，若������������＝������������������＋������������������， (������，������ ∈ ������)．(1)若x＋y＝1，则A、B、C三点是否共线？ (2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
练习：如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线
分 别 交 直 线 AB 、 AC 于 不 同 的 两 点 M 、 N ， 若 ������������＝������������������ ， ������������
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（若a 0，a与b共线且|b|:|a| ，则当a与b同向时b a；当a与b反向时b= a，从而向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使b a.）
三、构建教学
1．整理归纳向量共线定理．
如果有一个实数 ，使b a(a 0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a 0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使b a.
4、 教学运用
1.例题.
例1如图， 分别为 的边
和 中点，求证： 与 共线，并将 用 线性表示.
例2判断下列各题中的向量是否共线：
（1）a=4e1- e2，b=e1- e2；
（2）a=e1＋e2，b=2e1-2e2，且 ， 共线．
例3如图2-2-11， 中， 为直线 上一点， 求证： .
例题提高：上例所证的结论 表明：起点为 ，终点为直线 上一点 的向量 可以用 表示，那么两个不共线的向量 可以表示平面内任一向量吗？
2．练习．
（，求证：a与b是共线向量．
（2）已知 e1 e2 e1＋e2，求证：M，P，Q三点共线．
（3）如图，在△ABC中， ，记 ，
求证： （b－a）．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容:
1．两个向量共线的含义；
2．两个向量共线（平行）的充要条件；
3．能判断两个向量共线.
课外作业
课本P66练习第6,7题
教学反思
教学过程
1、问题情境
问题1上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a，记b＝3a，b与a共线吗？
OA
（给出线性表示：如果b a(a 0)，则称向量b可以用非零向量a线性表示）
2、学生活动
问题2对于向量a和b，如果有一个实数 ，使得b a，那么a与b共线吗？
（可以引导学生从 的不同取值来探讨）
（若有向量a和b，实数 ，使b a，则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量）
2．对定理的理解与证明
问题4为什么要求a是非零的？b可以为0吗？
若a＝0，则a,b总共线，而b 0时，则不存在实数 ，使b a成立；而b=a＝0时，不管 取什么值，b a总成立， 不唯一.
问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？
四队中学教案纸（备课人：葛笑春学科：高一数学）
备课
时间
5.22
教学
课题
2.2.3向量共线定理
教时
计划
2
教学
课时
2
教学
目标
1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；
2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
重点难点
共线向量定理的应用.