南京理工大学大学物理第26次课19-312级剖析

三引维入含拉时普薛拉定斯谔算定方符态率程，分：2势布函也x数2不2 不随显时y22含间时变z间2化2 ·，·。·（其1概2）
i
2
2 U ( x. y.z.t)
(13)
t 2m
3. 定态薛定谔方程（重点）
3. 定态薛定谔方程（重点）
2 2 2 2
i t 2m ( x2 y2 z2 ) U( x. y.z.t)
p const p 0 x 沿整个X轴传播
E const E 0 t 波列长为长
结论：自由粒子的De Bröglie波是单色平面波
其波函数为：
0
cos
2
(t
x
)
0
cos
2
(
E h
t
h
x /
p
)
0
cos
2
(
E h
t
h
x /
p
)
2
0 cos h (Et px)
1 0 cos (Et px)
h h p mv
1.226 nm 或： 1.226 nm
U
Ek
适用于：电子波且EK << E情形
二.不确定关系
德国物理学家海森堡提出：
x px h E t h
L h
即：位置测得越准，动量测得越不准！ 电子处于某能态上的寿命越短，能级宽度越大
§19-3 波函数 Schrödinger 方程
1 0 cos[ ( px Et )]
常写成复
i ( px Et )
数形式： 0e
i ( px Et )
0e
Y
P
r
X
r 当粒子沿着 方向传播时： Z
i ( pr Et )
0e
三维自由粒子的波函数
式中：
r xi yj zk
p pxi py j pzk
注意：波函数常用复数表示
结论：1）某时刻(t)在空间某点(r)处粒子出现的 概率正比于该时刻、该地点波函数模的平方
2
2 0
dW 2 dV *dxdydz
2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量粒 子的一次性行为和一个粒子多次重复性行 为。
3）波函数所代表的波是概率波
微观粒子出现在||2大的地方，||2小的 地方粒子出现少；即波函数按波的形式去 分配粒子出现的概率。
i
t
E(4)
2 2m
2 x 2
i
t
U( x.t)(10)
势场中的一维含 时薛定谔方程
2 2
i
t
2m
x 2
U( x.t)
(11)
2 2
i
t
2m
x 2
U( x.t)
(11势时) 场薛中定的谔一方维程含
若为三维粒子，薛定谔方程为：
2 2 2 2
i t 2m ( x2 y2 z2 ) U( x. y.z.t)
因为粒子在全空间出现是必然事件
二、Schröding方程 适用条件 v<<c，低速微观粒子
E Ek Ep
1. 自由粒子的Schröding方程
设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动
E, p不变与 恒定
其波函数为：
e i ( Et px x ) 0
0e
i ( Et px x ) ····（1）
一、波函数：描述粒子波动性的运动函数。
1. 自由粒子的波函数 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直 线运动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。
E const
p const
X
E 恒定！ h 恒定！
h
p
1. 自由粒子的波函数
E
恒定！ h
X 恒定！ 单色平面波!
h
p
从不确定关系来研究：
3、波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性 W
dV 1
V
(r , t) 在空间是有限函数
2）波函数是连续的 即在r处的几率密度(r )与r dr处
几率密度(r dr )只差一微量 3）波函数是单值的
粒子在空间出现的概率只可能单一
4）满足归一化条件 （Narmulisation）
W
dV 1
2、波函数的统计铨释（波恩Born） 实验现象： 1）大量电子的一次性行为：
U 粒子的观点
波动的观点
极大值 较多电子到达 波强度大，02或 2大 极小值 较少电子到达 波强度小，02或 2小 中统间一值地看介：于粒二子者出之现间的概波率强正介比于于二者02或之间2
2）一个粒子多次重复性行为
U 粒子的观较点长时间以波后动的观点
若2.粒势子场处中在的势薛场定中谔，方势程能为2Um2 (x,2xt)2，总能2pm量x2 ： ( 5 )
E px2 U( x.t ) ( 7 ) px2 E U( x.t ) ( 8 )
2m
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：
2 2
2m
x 2
[E
由（4）式：
源自文库
U( x.t)](9)
(b) 概率： dW 2 dV *dxdydz
表示t 时刻粒子在体积元 dV内出现的概率
2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量粒 子的一次性行为和一个粒子多次重复性行为。
微观粒子遵循的是统计规 律，而不是经典的决定性规律。
牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子 的轨迹是已知的
量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一 定到达某点，只给出到达各点的统计分布； 即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大， ||2小的地方出现的几率小。一个粒子下一时 刻出现在什么地方，走什么路径是未知的
极大值 到达概率大 波强度大，02或 2大 极小值 到达概率小 波强度小，02或 2小 中统间一值地看介：于粒二子者出之现间的概波率强正介比于于二者02或之间2
结论： 1）某时刻(t)在空间某点(r)处粒子出现的概率
正比于该时刻、该地点波函数模的平方
(a) 概率密度
2
2 0
表示t 时刻粒子在某r处单位体积内出现的概率
第19章 原子的量子理论
19.1 玻尔的氢原子理论 19.2 物质波及不确定关系 19.3 波函数 薛定谔方程 19.4 氢原子 多电子原子中电子的分布 *19.5 激光 *19.6 半导体 *19.7 原子核和基本粒子简介
19.2 物质波及不确定关系 一.物质波：
E mc 2 ,
hh
电子的德布罗意波长
(3)式 ( 2
/ 2m)
（1）式对t求导：
i E
(2)
2
2m
2 x 2
px2 2m
(5)
t
自由粒子非相对论条件下总
(1)式对x求二阶偏导数
2 x 2
px2
2
(3)
(2)式 i
动能：
E
Ek
px2 2m
（4）、（5）式比较：
2 2
i
t
2m
x 2
(6)
i E (4)自由粒子一维含时薛定谔方程 t
( x. y.z) f (t) (14)
U U(x.y.z)