圆锥曲线最值问题

圆锥曲线的范围、最值问题

1、已知椭圆C ：12222=+b

y a x (a >b >0)的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22

，点

F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x =2上的点P (2, 3)满足|PF 2|=|F 1F 2|，直线l ：

y =kx +m 与椭圆C 交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若在椭圆C 上存在

点Q ，满足λ=+（O 为坐标原点），求实数λ 的取值范围.

解：依题意有⎪⎩

⎪⎨⎧+-==.3)2()2(,2222c c a c 得⎩⎨⎧==.

2,1a c 1b ∴=．∴方程1222=+y x

．… 5分

（Ⅱ）由⎩⎨⎧=++=,

22,2

2y x m kx y 得0224)21(2

22=-+++m kmx x k ． 设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+-=+-=+.2122,21422

212

21k m x x k km x x …………7分,

2

21212122)(k

m

m x x k y y +=

++=+． （1）当0=m 时，点A 、B 关于原点对称，则0=λ． （2）当0≠m 时，点A 、B 不关于原点对称，则0≠λ，

由λ=+，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=).(1),(12121y y y x x x Q Q λλ

即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=.)21(2,)21(422k m y k km x Q Q λλ

Θ点Q 在椭圆上，∴有2])

21(2[2])21(4[22

22=+++-k m

k km λλ， 化简，得22222)21()21(4k k m +=+λ．0212≠+k Θ，∴有)21(42

22k m +=λ…①…

10分

)21(8)22)(21(416222222m k m k m k -+=-+-=∆Θ∴由0>∆，得2221m k >+② 由①、②两式得2224m m λ>．0≠m Θ，42<∴λ，则22<<-λ且0≠λ．

综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是22<<-λ． …………………14分

2、如图，已知椭圆C :22

22x y 1(a b 0)a b

+=>>的一个焦点是()1,0，两个焦点与短轴的一个

端点构成等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点()Q 4,0且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为1A .

（ⅰ）求证：直线1A B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标；

（ⅱ）求△1OA B 面积的取值范围.

解：（Ⅰ）因为椭圆C 的一个焦点是()1,0，所以半焦距c 1=.

y O A

B

Q

x

椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以

c 1

a 2

=，解得a 2,b 3.== 所以椭圆的标准方程为

22

x y 143

+=. ………… 4分 （Ⅱ）（i ）设直线l ：x my 4=+与22

x y 143

+=联立并消去x 得： ()

223m 4y 24my 360+++=.记()11A x ,y ，()22B x ,y ，

12224m y y 3m 4-+=+，12

236

y y 3m 4

=+. ……………… 5分 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得()111A x ,y -，根据题设条件设定点为()T t ,0，

得1TB TA k k =，即

2121

y y

x t t x =--. 所以()()2112

21

2112124my y 4my y x y y x t y y y y ++++==++12122my y 4431y y =+=-=+ 即定点()T 1,0

8分

（ii ）由（i ）中判别式0∆>，解得m 2>. 可知直线1A B 过定点()T 1,0

所以()1OA B 212111

S OT y y y y 22∆=⋅--=+ …………………………… 10分

得1OA B 2124m 4

S 4243m m 3m ∆==++，令t m =,记()4t t 3t ϕ=+，得()24

t 13t 'ϕ=-，当t 2>时，()t 0'ϕ>.()4

t t 3t

ϕ=+

在()2,+∞上为增函数， 所以

4m 3m +28233>+= ，得1OA B 330S 482

∆<<⨯=， 故△OA 1B 的面积取值范围是30,2⎛⎫

⎪⎝⎭

. ………………………………… 13分

3、如图，在椭圆)0(182

22>=+a y a

x 中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、D 分别为椭

圆的左、右顶点，A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF 1交椭圆于另一点C ，交y 轴

于点E ，且点F 1、F 2三等分线段BD 。（I ）求a 的值； （II ）若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标。 （III ）设μλμλ+=

=

∆∆∆∆求,,11CEO

O CF AEO

O AF S S S S 的取值范围。

解：（I ）∵F 1，F 2三等份BD ，

c a a c BD F F 3,23

1

2|,|31||21=⋅==

∴即 …………1分 .3,0,9,8,22222=∴>=∴=+=a a a b c b a ΘΘ ……3分 （II ）由（I ）知11),0,1(),0,3(,3F F B a ∴--=为BF 2的中点，

y O x

A

B

Q x

O 1

A y