(完整版)高考数列专题练习(整理)

数列综合题

1．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．

（Ⅰ）求n a 及n S ；

（Ⅱ）令b n =

2

1

1

n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。

2.已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.

n S

3.等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 9

2053=+a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※

)

（1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；

（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ．

4．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112

1

,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；

(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立

5．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2

,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-．

（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ．

6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

2n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1

2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=

且

（1）求证：{1}n a -为等比数列；

（2）求数列{}n b 的前n 项和。

8．已知数列{}n a 中，11

3a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221

n n n S a S =-．

（1）求n S 的表达；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

9.已知数列{}n a 的首项135a =

，1

231+=+n n n a a a ，其中*

∈N n 。 （1）求证：数列11n a ⎧⎫

-⎨

⎬⎩⎭

为等比数列； （2）记12

111

n n

S a a a =++，若100n S <，求最大的正整数n ．

10已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*

N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列．

（1）记数列*

1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足221117227

n n T n T n ++<<++的所有n 的值．

11．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，0,1a a ≠≠） （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n n n n a S a b ⋅+=2

，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，1

1

111--+=

+n n n a a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ． 求证：2

12->n T n ．

12 正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． （1）试求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n ＝1

a n ·a n +1

，{b n }的前n 项和为T n ，求证：12

n T <．

13已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且305=S ，又931,,a a a

成等比数列． （1）求n S ；

（2）若对任意t n >，*

N n ∈，都有25

122121212211>

+++++++++n n a S a S a S ，

求t 的最小值．

14已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n +++

+=-=．

（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；

（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*

n N ∈，都有21

4

n b t t +≤，

求实数t 的取值范围．

15 在数列{}n a 中，11a =，*13(1)3()n n n a a n n N +=++⋅∈， （1）设3n

n n

a b =

，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a

n

的前n 项和n S ．

16．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，(p – 1)S n = p 2 – a n ，n ∈N *，p > 0且p ≠1，数列{b n }满足b n = 2log p a n ． （1）若p =

21

，设数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和为T n ，求证：0 < T n ≤4； （2）是否存在自然数M ，使得当n > M 时，a n > 1恒成立？若存在，求出相应的M ；若

不存在，请说明理由．