弹性力学本构关系
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弹性力学的材料本构模型与参数计算
弹性力学的材料本构模型与参数计算弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和回复的规律。
材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，参数计算则是确定材料本构模型中所需要的参数数值。
1. 弹性力学基础弹性力学研究材料在小应变条件下的力学行为，假设物体在去除外力后能完全恢复到初始状态。
基于胡克定律，弹性力学将应力与应变关系表达为：σ = Eε其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
2. 材料本构模型材料的本构模型是将材料的应力-应变关系表示为数学公式的抽象模型。
常用的材料本构模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
2.1 线弹性模型线弹性模型假设应力和应变之间的关系是线性的，最常用的线弹性模型是胡克弹性模型。
胡克弹性模型的应力-应变关系为：σ = Eε2.2 非线性弹性模型非线性弹性模型考虑了材料在大应变条件下的非线性响应。
常见的非线性弹性模型包括各向同性的本构模型（如拉梅尔模型和奥格登模型）和各向异性的本构模型（如沃纳模型和哈代模型）。
2.3 粘弹性模型粘弹性模型结合了弹性性质和粘性性质，能够描述材料在长时间作用下的变形行为。
常见的粘弹性模型有弹簧-阻尼器模型、弹性-塑性-粘性模型等。
3. 参数计算确定材料本构模型所需要的参数是理解材料行为的重要步骤。
常见的参数计算方法包括实验测量和理论推导。
3.1 实验测量通过实验测量可以得到材料的应力-应变曲线，从而确定本构模型的参数。
常见的实验方法包括拉伸试验、剪切试验和压缩试验。
3.2 理论推导根据材料的微观结构和特性，可以通过理论推导得到本构模型的参数。
例如，线弹性模型的参数可以通过弹性模量E的测量计算得到。
4. 应用举例材料本构模型和参数计算在工程设计和材料研究中具有重要应用。
例如，在航空航天领域，材料本构模型和参数计算可以用于飞机结构的强度分析和损伤评估。
总结：弹性力学的材料本构模型是描述物体应力和应变之间关系的数学表达形式，常见的模型包括线弹性模型、非线性弹性模型和粘弹性模型。
第11章-弹塑性力学--本构关系
xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
xy c41 x c42 y c43 z
y y
图4-2
（a）
z
x
x
z
现在引进坐标系 Ox’y’z’, 原坐 标系 Oxyz 绕 y 轴转动 1800 后可与之重合 (图4-2)
新旧坐标轴间的方向余弦
l11 l33 cos180
1 0 0 1 l22 cos 0 1 0 0 l21 l31 l12 l32 l13 l23 cos 90 0
（11-13）
平面应力问题 用应变分量表示 应力分量
E y x 1 2 x E （11-14） y y x 1 2 G
ij ije 2 ij
（11-3’）
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况，并 由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物 体边界法线方向与 z 轴重合的两对边上有均匀的σz 作 用，其他边均为自由边时，则由材料力学知道
第11章 本构关系
11.1 广义胡克定律 单向应力状态，应力小于屈服应力时，应力应变呈简单的 线性关系
x E x
E 为弹性常数（扬氏弹性模量）
三维应力状态，一点处的应 力状态需9个应力分量，相对 应的也要用9个应变分量表示
xy c41 x c42 y c43 z
y y
图4-2
（a）
z
x
x
z
现在引进坐标系 Ox’y’z’, 原坐 标系 Oxyz 绕 y 轴转动 1800 后可与之重合 (图4-2)
新旧坐标轴间的方向余弦
l11 l33 cos180
1 0 0 1 l22 cos 0 1 0 0 l21 l31 l12 l32 l13 l23 cos 90 0
（11-13）
平面应力问题 用应变分量表示 应力分量
E y x 1 2 x E （11-14） y y x 1 2 G
ij ije 2 ij
（11-3’）
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
现在考虑一种物体各边平行于坐标轴的特殊情况，并 由此导出工程上常用的弹性常数和广义胡克定律。当物 体边界法线方向与 z 轴重合的两对边上有均匀的σz 作 用，其他边均为自由边时，则由材料力学知道
第11章 本构关系
11.1 广义胡克定律 单向应力状态，应力小于屈服应力时，应力应变呈简单的 线性关系
x E x
E 为弹性常数（扬氏弹性模量）
三维应力状态，一点处的应 力状态需9个应力分量，相对 应的也要用9个应变分量表示
弹性力学_第四章 本构关系
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
z
Chapter 5.1
y
x x x x
x
x
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
其中
c11 C11 , c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331…
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指
标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的
cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl C jikl kl kl
Cijkl C jikl
kl lk
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
x x x x
是由于x的作用所产生的相对伸长 其中 x
x
x
E
ν 是由于y的作用所产生的相对缩短 x x E
ν 是由于z的作用所产生的相对缩短 x x
y
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹性力学-本构关系
c12 = c21 ⋯⋯ c56 = c65
∴
σ x c11 c12 σ c22 y σ z = τ xy 对 τ yz τ zx
c13 c23 c33
称
c14 c24 c34 c44
c15 c25 c35 c45 c55
弹性对称
弹性 有 个对 向， 称 向， 对称 向上弹性 性 ， 力 关系 。 称为弹性对称 弹性对称。 称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向 弹性对称面。 弹性对称方向和 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴 弹性主轴。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
第四章 本构关系
物体的弹性性质和广义 广义胡克定律 §4-1 物体的弹性性质 广义 §4-2 线弹性材料的本构关系 各向同性线弹性材料的物理方程 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
物体的弹性性质 广义Hooke定律 弹性性质·广义 §4-1 物体的弹性性质 广义 定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： σ ij = f ( ε ij ) 应力与应变张量均为六个独立分量。 应力与应变张量均为六个独立分量。则 σ x = f1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 横观各向异性材料 仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 平面为材料的弹性对称面， 轴为弹性主轴。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 平面为材料的弹性对称面 轴为弹性主轴 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 体内一点 的应力和应变 为{σ } 和{ε }。则 则 {σ } = [C ]{ε } 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 其中 为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向， 现将 轴反向，考 轴反向 察其本构关系
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹塑性本构关系简介
2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹性力学本构关系
本构关系1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G、λ、K 与E、μ的关系式；2. 球量和偏量的本构方程。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：当式中的自变量：x、y、z、yz、zx、xy为小量时，可对其按Taylor级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
而表示函数f1 对应变分量的一阶偏导数，在小变形条件下，它们均为常数，这样可得一线性方程组：上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个，但可以证明，只有21个常数独立。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
1. 极端各向异性体的弹性常数为21个。
2.具有一个对称面的各向异性材料正交各向异性体：物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。
正交各向异性体的弹性常数为9个。
3.横观各向同性体若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。
本构关系
1.弹性体应变能学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则d W=d W1+d W2其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。
变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,d W1+d W2=d E - d Q因为将上式代入功能关系公式，则如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。
绝热过程中，d Q=0，故有d W1+d W2=d E对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得即设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分对上式积分，可得U0=U0（ ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。
在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
弹性力学第四章 本构关系
弹性力学第四章 本 构关系
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
弹性力学 第四章 本构关系
0 0 0 0
0 0 0 0
σ zz σ xx σ yy σ xy
= ν xσ xx +ν y σ zz
Ey Ez
σ zz
2）各向同性平面应变本构关系
E2 = E3 = E , ν2 = ν3 = ν , G3 = G,
0 1 / E −ν / E −ν / E 0 ε 1 / E −ν / E 0 22 = ε 33 1/ E 0 1 / 2G ε 23 sys. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23
5个独立的材料常数：E2 ,ν 2 , E3 ,ν 3 , G3 −( σ ε11 = 22 + E2
ν2
ν3
E3
σ 33 )
σ 22 σ 33 σ 23
ε 22 1/ E2 −ν 3 / E3 0 ε = 1/ E3 0 33 ε 23 sym. 1/ 2G3 σ 22 σ = 33 σ 23
E2 / m E2ν 3 / m 0 sym. E3 / m 0 , m = 1 − E2ν 32 / E3 G3
2 → x,
y (3) 3 → y, 1→ z
εzz =−(
εxx εyy ε xy σxx σ yy σ xy
νx
Ex
σxx +
νy
Ey
5个独立的材料常数： Ex ,ν x , E y ,ν y , G y
σ yy )
0 0 1 / 2 Gy
x(2)
1 / Ex = .. sym
− ν y / Ey 1 / Ey
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
弹塑性力学 弹性本构关系
3 0 (2G 3 ) v 1 0 (2G 3 ) v K v 3
E G 2(1 ) E (1 2 )(1 )
1 K (3 2G ) 3
W y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy y
zx
W c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy zx
弹性本构方程 完全各向异性弹性体
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
弹性体应力-应变关系
σ σs σ σs
O
ε
O
ε
线性弹性：应力-应变 之间为简单线性关系
非线性弹性：位移应 力-应变关系为非线性
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
材料力学中的Hooke定律
• 单向拉压条件下的应力-应变分析
L0
σ
σ
d1
L1
轴向应力-应变： 横向应变： 纯剪切：
弹性主方向
弹性对称面
c11 c12 c 21 c22 c13 c23 [ D] c14 c24 0 0 0 0
c13 c23 c33 c34 0 0
c14 c24 c34 c44 0 0
0 0 0 0 c55 c56
0 0 0 0 c56 c66
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c55 0
0 0 0 0 0 c66
此时弹性矩阵中独立弹性常数减 少到9个。
弹性本构方程 横观各向同性弹性体
弹性体内每一点都存在一个弹性对称轴，相对于该轴对称的任 意两个方向上弹性关系相同，即存在一个各向同性平面。 此时弹性矩阵中独立弹性常数减 弹性对称轴 少到5个。
E G 2(1 ) E (1 2 )(1 )
1 K (3 2G ) 3
W y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy y
zx
W c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy zx
弹性本构方程 完全各向异性弹性体
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
弹性体应力-应变关系
σ σs σ σs
O
ε
O
ε
线性弹性：应力-应变 之间为简单线性关系
非线性弹性：位移应 力-应变关系为非线性
弹性本构方程 应力-应变的一般表达式
材料力学中的Hooke定律
• 单向拉压条件下的应力-应变分析
L0
σ
σ
d1
L1
轴向应力-应变： 横向应变： 纯剪切：
弹性主方向
弹性对称面
c11 c12 c 21 c22 c13 c23 [ D] c14 c24 0 0 0 0
c13 c23 c33 c34 0 0
c14 c24 c34 c44 0 0
0 0 0 0 c55 c56
0 0 0 0 c56 c66
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c55 0
0 0 0 0 0 c66
此时弹性矩阵中独立弹性常数减 少到9个。
弹性本构方程 横观各向同性弹性体
弹性体内每一点都存在一个弹性对称轴，相对于该轴对称的任 意两个方向上弹性关系相同，即存在一个各向同性平面。 此时弹性矩阵中独立弹性常数减 弹性对称轴 少到5个。
弹性力学第4章—弹性本构关系
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
弹性力学 第四章 弹性本构关系
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3 + C14 e4 + C15e5 + C16 e6
再由 (4.1.3) 式和 (b) 式的第一式σ1' = σ 1 ，可得
C14 = C15 = 0
同理，由 (b ) 式的第二、三两式分别得到
C 24 = C 25 = 0
C34 = C 35 = 0
应有 C64 = C65 =0。 此时弹性常数应从 21 个减去８个为零的常数,应有 13 个。
从数学上理解弹性对称面，是将坐标轴x3 作镜象反射变换，弹性常数应保持不变，即
C mn = Cm 'n' 当坐标系经过镜象变换如图 4.1 后，新老坐标轴之间的方向余弦有如下表：
(4.1.3)
x3
这样，由 和
§4.1 广义 Hooke 定律
设想弹性体中某点的应力状态与应变状态有关，可用下列公式来表示
( ) σ ij = φij ekl
（i ,j = 1,2,3; k,l = 1,2,3）
如果在点ek0l 附近做 Taylor 展开，有
( ) σ ij
=
σ
0 ij
+
∂φij ∂ekl
0
e kl
如果 i、j、k、l 是表示老坐标系的角标，m’、n’、p’、q’表示新系的角标，坐标变换后的 弹性常数用Cm'n'p'q' 表示，根据 (4.1.1a) 式在新系中应有
σ = C e m'n'
m' n' p' q' p'q '
由
σ m 'n' = ν m 'iν n' jσ ij
弹塑性力学-本构关系
xx C11 xx C12 yy C13 zz C16 xy C C C C 21 xx 22 yy 23 zz 26 xy yy zz C31 xx C32 yy C33 zz C36 xy yz C44 yz C45 zx zx C54 yz C55 zx xy C61 xx C62 yy C63 zz C66 xy
设弹性体内的位移矢量为：
线弹性本构关系
dA dt
u ui ei 体积力矢量为： f f i ei 面积力矢量为： F X i ei
考察微单元体上的体积力和面积力在单位时间内所 做的功为：
V
dV f u
dS F u
C16 C26 C36 C45 0
xx C11 xx C12 yy C13 zz C C C 21 xx 22 yy 23 zz yy C C C zz 31 xx 32 yy 33 zz yz C44 yz zx C55 zx 这种材料称为正交各向异性 材料，有9个独立的材料常数。 C xy 66 xy
S i i S ij j i V ij i , j
w ij dV dV ij 又： U wdV V t V V w w ij dw ij d ij ij ij t ij
dU dA dt dt
(
V
ij , j
i dV f i )u
xy xx , zz , zx , xy xx yy yy , zz yz yz , zx
第11章-弹塑性力学--本构关系分析
11.1 广义胡克定律 3 张量表示法
ij cijkl kl (i, j,k ,l 1,2,3)
（11-1’）
广义虎克定律或弹性本构方程 弹性系数 cmn (或cijkl ) 共有36个。对于各向同性材料，独立 的弹性常数只有2个。
附页
ij cijkl kl (i, j,k ,l 1,2,3)
个。
ij ji , ij ji
于是，对均匀的理想弹性体：
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y
c21 x
c22 y
c23 z
c24 xy
c25
yz
c26
zx
x c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
不是独立的弹性常数。 对于各向同性弹性体,独立的弹性常数
只有两个, 即 λ和μ或 E 和ν。将式 (11-9) 稍加变换后, 可缩
2
e
2 2
3 e 23
常数λ, μ称为拉梅弹性常数。
（11-2）
通过坐标变换后, 可得任意坐标系 Oxyz 内的本构关系为
x e 2 x , xy xy
y
e
2 y , yz
yz
z
e
2 z , zx
zx
（11-3）
ij ije 2 ij
（11-3’）
以上证明了各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有 两个。
证明：首先，在弹性状态下主应力方向与主应变方向相重合
为此，令x, y, z为主应变方向，则剪应变分量γxy，γyz， γzx应等于零。于是，由式 (4-1) 有
xy c41 x c42 y c43 z
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量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
p 因此， 也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。 d ij
dp与n两者方向一致，则Drucker公设变为 dn 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。
塑性势理论
类比了弹性应变可用弹性势函数对应力微分的表达式，
p dij d
g是塑性势函数。
g ij
•
g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈服面正交。 在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0 f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0 当应力点位于f1=0上
f1 d d1 ij
p ij
p p (d1p : d2 : d3 ) = (0 d1 d1)
p =ds d ij d ij ij
这是一种理想刚塑性模型。
• 相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） • 理想弹塑性问题，应在平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量dij各分量的比例关系，
由于d未知，不能确定应变增量dij的大小。
sij
2 s dij 3
dij dij
d p
p p 2d 2 d1p d3 p d1p d3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
若gf，为非关联的流动法则，塑性应变增量与屈服面不正交。
•
理想塑性材料
• Mises屈服条件相关联的流动法则
p dij d
f dsij ij
0 d 0
p d ij deijp
J 2 2 s /3
或 J 2 2 dJ 2 0 s / 3,
f ij
1 1 f df h h ij 无关 h为塑性模量，一般假定它与 d ij
d ijp
塑性应变增量
与应力增量dij之间成线性关系 d ijp
1 f f d kl h ij kl
只要屈服函数f和塑性模量h已知，则增量本构关系可确定
如何根据加载面f(ij，)的演化求得塑性模量h。
0 ij •然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态 。
ij. d ij. 3 ij 2
0 ij 1 (4)
Drucker公设
0 在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij ij 所做的功应不小于零：
ij
0 (ij ij )dij 0
0
d1 1 d1 d 2
p d ij 可在 f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f n n f
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
2 1 s3= s ，s1=s2= s，s12=s23=s13=0 3 3
该应力状态的J2和max分别为
1 1 J2 = [(s1)2+(s3)2+(s3)2] = (s)2 3 3
1 1 max= (12)= s 2 2
（2） 加、卸载或中性变载取决(f/ij)dij的符号。
J 2 2 dJ 2 0 s / 3,
塑性应变增量是一个偏量
deij 1 dsij dsij 2G
Prandtl-Reuss本构关系
1 2v d kk ( ) d kk E
Levy-Mises本构关系
如塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可将弹性应变增量忽略，应 力增量与应变增量的关系变为
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
3 2 2 2 s sr sz s 2
f 3 ij 2 1 sij J2
h
2 f f 1 3 ij ij
d d
p
d d
d d
p
df
d
p
演化函数可通过单轴拉伸试验曲线确定
单轴拉伸下，
应力状态：11 =，22 =33 =12 =23 =31 =0
2 Mises屈服 f J 2 s 0 3 0 =
s 2 1
在施加dx=d时材料处于加载状态，对于理想弹塑性则要求
f d =0 ij ij
sxdx+ sydy+szdz=0
由于dy=0，最后得
d z 2 d 1 2
三种应力应变曲线
应变状态
d d
p 11 p
d p d d 2
p 22 p 33
p p p d12 d 23 d31 0
d p
f
f d d p
2 f f f 1 f d d ij ij 3 ij ij h ij ij
1
h
d p
f
2 f f 3 ij ij
一旦加载面f(ij ， )的演化确定，可求出塑性模量h 确定加载面的演化，以Mises屈服条件为例， f(ij，) = ( d p ) 0
Drucker公设的两点说明
（1） 对于不稳定材料（即有应变软化存在）的情况，应力循环不可
能构成，因此，Drucker公设不适用于软化材料。
（2）以上关于材料性质的Drucker公设并不是从热力学定律导出的， 而是在大量宏观实验基础上总结出来的，它们对许多材料都适用。
加载面外凸性
定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再 与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸
d p f 2 p p 2 2 f d ij d ij d 3 3 ij ij
d d p
根据一致性条件
f f p d ij d 0 p ij d
2 f f 3 σ ij σ ij
d p
f d ij ij
可得偏应力为：
s=0
=0 r=0，因此有 0 =
sz =
z =
s 3
s 3 s + 0 3
sr= s 3
r=
s +0 3
=
pr t
最后
p= s t 3r
强化材料的弹塑性本构关系
df = dj >0 加载 d>0 ，否则 d＝0
联系d与df 设 d = dij
1 1 m knl sm n sm nm knl pi pj kl ki lj 2 3
1 s skl ki lj ij kl ij 3
sm n skl
=mknl
mknlsmn=skl
e p d ij d ij d ij
在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零
ij
0 e (ij ij )dij 0 0 p (ij ij )dij 0
ij
1 0 p (ij dij ij )d ij 0 2
Drucker公设的两个推论
（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即>0，
（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，<0，
（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾
2 3
0 ( )d 0
0
1
4
(T0)dp>0 ddp0
dp
Drucker 公设
在加载过程中附加应力作正功 在加载和卸载的应力循环中，则附加应力作正功
一般情况下的应力循环
0 0 •从1点的应力状态 ij （ ij 是静力可能的应力）开始，
•施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服， •再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij +dij )，
例2-2 对于强化材料，其初始拉伸屈服极限为s，若材料处于平面
应力 状态，即3=0，当加上1=2=s时，材料屈服，然后再施加应力
增量d1与d2，且d1= d2，试按Mises屈服条件与Tresca条件判断材料 所处的状态。
解（1）应力状态是否在屈服面上
当材料处于3=0，1=2=s的平面应力状态时，
（1）当1点处在屈服面内，即ij ij
0 0 p (ij ij )d ij p 0 p ij d ij ij d ij
又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等 于静力可能应力所做的塑性功
0 （2）当1点处在屈服面上，即ij = ij p d ij d ij 0