结构力学第五版 李廉锟 第六章结构位移计算1
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第六章 结构位移的计算
内容提要
在验算结构的刚度和超静定结构的内力分 析中，都需要计算结构的位移。本章介绍结构 位移的概念和虚功原理，重点介绍应用虚功原 理计算静定结构的位移问题。用图乘法计算静 定结构在荷载作用下产生的位移是本章的重点 内容。
第六章 结构位移的计算
要求静定结构的位移，必先求出静定结构的内 力。因此本章可以说是对前面所学的各类静定结构 的内力计算的复习。同时，位移计算又是下章即将 开始学习的超静定结构的基础。
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
（1）校核结构刚度—刚度小，变形过大，即使不破坏也不能 正常使用。 位移最大值≤允许值 (2)为计算超静定结构打基础---在计算超静定结构的反力和内力 时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条 件，需要计算结构的位移。
(3)计算结构变形后的位置---在结构的制作、架设等施工过程 中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施 工措施，因而也需要计算结构的位移。(施工要求)
做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用
线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线
有位移Δ时[如图]，作用于物体的常力F在位移Δ上
所做的功为
W FΔcos。
F
F
α
Δ
第六章 结构位移的计算
如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B 两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向
始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度 时，两力所做 的功为 W=2Fr =M
相对位移 线位移： 角位移：
一般来说，结果的位移与结构 的几何尺寸相比都是极其微小的。
P C
△C
△BC
B
△B
C
B
BC
第六章 结构位移的计算
二、结构位移产生的原因 1、荷载作用 2、温度改变和材料胀缩 3、支座移动和制造误差
P t
第六章 结构位移的计算
计算位移的目的
静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容， 在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。概 括地说，它有以下三个目的：
因而,从全课程来看，本章是承上启下的一章， 也是十分重要的内容。
第六章 结构位移的计算
§6-1 概述
1、变形和位移 变形——结构（或其一部分）形状的改变（变形是泛指，有
弯曲变形，扭转变形，拉伸压缩变形等，研究对象通常为整个杆
件，或其他单个整体构件。 ） 位移——结构各处位置的移动—— 杆件截面位置的改变
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
ΔAH
F
A
A
B AB
ΔBH
F B
第六章 结构位移的计算
2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
A
线位移： 绝对位移
角位移：
（1）位移是由做功的力引起的 例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1
由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产 生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所 示，力F1在位移Δ11上做了功。
由于位移Δ11是由做功的力F1引起的，我们把力在自 身引起的位移上所做的功称为实功。
从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一 个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位 移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可 有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积 却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛 顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)。
第六章 结构位移的计算
既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可 将功分为两种情况：
F
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所
做的功称为虚功。
F
F
Δ11
Δ12
Δ22
第六章 结构位移的计算
在虚功中，既然做功的力和 相应的位移是彼此无因果关系的 两个因素，所以，可将二者看成 是同一结构的两种独立无关的状 态。其中，力系所属的状态称为 力状态[图(a)]，位移所属的状态 称为位移状态[图(b)]。
式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于
力偶矩与角位移的乘积。
为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位 移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称 为广义位移。
第六章 结构位移的计算
由上述可知，功包含了两个因素，即力和位 移。若用F表示广义力，用Δ表示广义位移，则功 的一般表达式为 W=FΔ
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
第六章 结构位移的计算
第六章 结构位移的计算
如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移
将各下弦杆做得 比实际长度短些，拼 装后下弦向上起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
第六章 百度文库构位移的计算
§6-2 变形体的虚功原理
1.实功与虚功
在力学中功的定义是：一个不变的集中力所
建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形
状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结
构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转
动，称为结构的位移。
第六章 结构位移的计算
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
内容提要
在验算结构的刚度和超静定结构的内力分 析中，都需要计算结构的位移。本章介绍结构 位移的概念和虚功原理，重点介绍应用虚功原 理计算静定结构的位移问题。用图乘法计算静 定结构在荷载作用下产生的位移是本章的重点 内容。
第六章 结构位移的计算
要求静定结构的位移，必先求出静定结构的内 力。因此本章可以说是对前面所学的各类静定结构 的内力计算的复习。同时，位移计算又是下章即将 开始学习的超静定结构的基础。
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
（1）校核结构刚度—刚度小，变形过大，即使不破坏也不能 正常使用。 位移最大值≤允许值 (2)为计算超静定结构打基础---在计算超静定结构的反力和内力 时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条 件，需要计算结构的位移。
(3)计算结构变形后的位置---在结构的制作、架设等施工过程 中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施 工措施，因而也需要计算结构的位移。(施工要求)
做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用
线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线
有位移Δ时[如图]，作用于物体的常力F在位移Δ上
所做的功为
W FΔcos。
F
F
α
Δ
第六章 结构位移的计算
如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B 两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向
始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度 时，两力所做 的功为 W=2Fr =M
相对位移 线位移： 角位移：
一般来说，结果的位移与结构 的几何尺寸相比都是极其微小的。
P C
△C
△BC
B
△B
C
B
BC
第六章 结构位移的计算
二、结构位移产生的原因 1、荷载作用 2、温度改变和材料胀缩 3、支座移动和制造误差
P t
第六章 结构位移的计算
计算位移的目的
静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容， 在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。概 括地说，它有以下三个目的：
因而,从全课程来看，本章是承上启下的一章， 也是十分重要的内容。
第六章 结构位移的计算
§6-1 概述
1、变形和位移 变形——结构（或其一部分）形状的改变（变形是泛指，有
弯曲变形，扭转变形，拉伸压缩变形等，研究对象通常为整个杆
件，或其他单个整体构件。 ） 位移——结构各处位置的移动—— 杆件截面位置的改变
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
ΔAH
F
A
A
B AB
ΔBH
F B
第六章 结构位移的计算
2. 结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
A
线位移： 绝对位移
角位移：
（1）位移是由做功的力引起的 例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1
由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产 生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所 示，力F1在位移Δ11上做了功。
由于位移Δ11是由做功的力F1引起的，我们把力在自 身引起的位移上所做的功称为实功。
从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一 个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位 移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可 有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积 却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛 顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)。
第六章 结构位移的计算
既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可 将功分为两种情况：
F
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所
做的功称为虚功。
F
F
Δ11
Δ12
Δ22
第六章 结构位移的计算
在虚功中，既然做功的力和 相应的位移是彼此无因果关系的 两个因素，所以，可将二者看成 是同一结构的两种独立无关的状 态。其中，力系所属的状态称为 力状态[图(a)]，位移所属的状态 称为位移状态[图(b)]。
式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于
力偶矩与角位移的乘积。
为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位 移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称 为广义位移。
第六章 结构位移的计算
由上述可知，功包含了两个因素，即力和位 移。若用F表示广义力，用Δ表示广义位移，则功 的一般表达式为 W=FΔ
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
第六章 结构位移的计算
第六章 结构位移的计算
如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移
将各下弦杆做得 比实际长度短些，拼 装后下弦向上起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
第六章 百度文库构位移的计算
§6-2 变形体的虚功原理
1.实功与虚功
在力学中功的定义是：一个不变的集中力所
建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形
状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结
构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转
动，称为结构的位移。
第六章 结构位移的计算
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截