八年级最短路径问题归纳小结

八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 点之间的最短路径.算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题
②确定终点的最短路径问题
③确定起点终点的最短路径问题
④全局最短路径问题
【问题原型】
【涉及知识】
【出题背景】
【解题思路】旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
即已知起始结点，求最短路径的问题.
与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.
-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.
求图中所有的最短路径.
“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
找对称点实现“折”转“直”，近两年岀现“三折线”转“直”等变式问题考查.
【十二个基本问题】
【问题
1】
作法图形原理
-------------- I
•B
在直线I上求一点P,使
PA+PB值最小.
【问题2】“将军饮马”连AB,与l交点即为P.
A
P
在直线I上求一点P, PA+PB值最小.
【问题3】
I
1
两点之间线段最短.
FA + PB最小值为AB.
作法图形原理
作B关于I的对称点B /
连A B /,与I交点即为P . P七I
B'
两点之间线段最短.
FA+PB最小值为A B/.
作法图形原理
•P
l
2
在直线I l、I2上分别求点M、^使^ PMN的周长最小.
【问题4】分别作点P关于两直线的对
称点P/和P〃，连P' P 〃,
与两直线交点即为M , N .
两点之间线段最短.
l l
I
2
PM+MN + PN的最小值为
线段P P，的长.
P"
作法图形原理
・Q
•P
I
2
在直线I i、I2上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小.
【问题5】“造桥选址”分别作点Q、P关于直线
l i、I2的对称点Q，和P/ 连
QP,与两直线交点即为M ,
N.
作法
I1
Q
P
N
*
P'
Q.
图形
l
2
两点之间线段最短. 四边
形PQMN周长的最小值为线
段PP，的长.
原理
在11上求点A,在12上求点B，使PA+AB值最小.
作点P关于I i的对称点
P/,作PBI I2 于B,交I2
于A.
点到直线，垂线段最短.
PA+AB的最小值为线段P
B的长.
A为I i上一定点，B为12上一定点，在I2上求点M, 在I i上求点N ,使
AM + MN + NB的值最小.
作点A关于12的对称点A/,作点B关于I i的对称点B,连A，B，交12于M, 交I i于N .
A
n
M m
•B
直线m II n，在m、n , 上分别求点M、N,使MN 丄m , 且AM + MN + BN 的值最小.
【问题6】
在直线I上求两点M、（M 在左），使MN =a，并使
AM + MN + NB的值最小.
【问题
7】将点A向下平移MN的长度单
位得A，,连A/B,交n 于点N，
过N作NM丄m于M .
作法
将点A向右平移a个长度单
位得对称点
A ,作A /关于I的
A〃，连A〃B,交直
线
N,将N点向左平
I于点移a个单位
得M .
作法
A
A'V\M
去n
>B
图形
I
图形
两点之间线段最短.
AM +MN + BN的最小值为
A B+MN.
原理
两点之间线段最短.
AM +MN + BN的最小值为
A〃B+MN .
原理
【问题
8】
作法图形原理
【问题
9】
作法图形原理A.
*B 1
在直线I上求一点P, |PA —P B|的值最小.
【问题
10】连AB，作AB的中垂线与
直线I的交点即为P. I
垂直平分上的点到线段两
端点的距离相等.
PA —PBI =
0 .
作法图形原理
I2
两点之间线段最短.
AM +MN + NB 的最小值为
线段A，B，的长.
B
A
|PA -PB |的值最大.
【精品练习】
1•如图所示，正方形 ABCD 的面积为12,^ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有 一点P ,使PD+ PE
的和最小，则这个最小值为（
）
A . 2 亦
B . 2 恵
C . 3
D . 76
2•如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，/ ABC = 60 °,若将△ ACD 绕点A 旋转，当 交于点E 、F ，则△ CEF 的周长的最小值为（ ）
在直线丨上求一点P ,使 作直线AB , 与直线I 的交
点即为P .
|PA —PB |的值最大. 【问题11】 作法 ---- I
*B 在直线I 上求一点P ,
作B 关于I 的对称点B / 作直线A B/,与I 交点即
为P .
图形 I
三角形任意两边之差小于
第三边.|PA- PB < AB .
|PA -PB 的最大值 =AB .
原理
三角形任意两边之差小于
第三边.
PA-PB <AB /.
PA —PB 最大值=AB /.
【问题12】“费马点”
作法
图形 原理
△ ABC 中每一内角都小于
120 °,在^ ABC 内求一点 P ，使FA+PB + PC 值最小.
所求点为“费马点”，即满 足/ APB = / BPC = /
APC = 120 ° .以 AB 、AC
为边向外作等边^ ABD 、
△ ACE ，连 CD 、BE 相交 于P ,点P 即为所求.
两点之间线段最短.
PA+PB+PC 最小值=CD .
AD '分别与BC 、CD
AC'
D
D = 90 °, / C = 70 °,在BC 、CD 上分别找一点 M 、^使^ AMN 的周长最小时, ） C . 110 °
AB = 4 42，/ BAC = 45 °, / BAC 的平分线交 BC 于点D ，M 、N 分别是 AD 和AB
上的动点，贝y BM+MN 的最小值是
5. 且 如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90 °, / B = 30 °, AB = 6,点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上 ED = AE ，则线段AE 的取值范围是 （不与点 B 、C 重合）， 如图，/ AOB = 30。

，点M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且OM = 1，ON = 3，点P 、Q 分别在边 OB 、OA 上, •（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
6. 则MP + PQ + QN 的最小值是 即 Rt △ ABC 中，/ C = 90°，则有 AC 2 +BC 2 =AB 2
） 7•如图，三角形 △ ABC 中，/ OAB = /AOB = 15。

，点B 在x 轴的正半轴，坐标为
B （6V 3，
0）.
OC 平分/ AOB ，点M 在0C 的延长线上，点 N 为边0A 上的点，贝MA + MN
的最小值是
3•四边形 ABCD 中，/ B = /
/ AMN+ / ANM 的度数为（
A . 120 °
B . 130 °
4.如图，在锐角^ ABC 中,
CD 为x 轴上一条动线段， D 在C 点右边且 CD = 1,求当AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标;
C 为/ AOB 内一点.
在OA 求作点D , OB 上求作点E ，使△ CDE 的周长最小，请画岀图形； 在(1)的条件下，若/ AOB = 30°, OC = 10,求^ CDE 周长的最小值和此时/ DCE 的度数.
8.已知 此时 A ( 2,
C 、
D 4 )、B (4 , 2) . C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形 两点的坐标分别为
.
ABCD 的周长最小值为
9.已知 (1) 1 )、B (4 , A ( 1, P 为x 轴上一动点，求 2).
PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标;
(2) P 为x 轴上一动点，求 I PA - PB|的值最大时P 点的坐标
;
A
10 •点 (1)
(2)
11. (1)如图①，△ ABD 和^ ACE 均为等边三角形， BE 、CE 交于F ,连AF ，求证：AF + BF + CF = CD ;
(2)在^ ABC 中，/ ABC = 30° AB = 6 , BC = 8,/ A ，/ C 均小于 120° 求作一点 P ,使 PA+PB + PC 的 值最小，
试求岀最小值并说明理由.
12 .荆州护城河在 CC /处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达B 处, 都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使
E
图①
需经过两座桥 DD /、EE /,护城河及两桥。