2020年湖南省长沙市中考数学三模试卷

中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各数是2019的倒数的是（）A. -2019B.C.D.2.某种植物细胞的直径约为0.00015mm，用科学记数法表示这个数为（）mm．A. 1.5×104B. 15×10-3C. 1.5×10-3D. 1.5×10-43.下列计算正确的是（）A. a3•a2=a6B. b4+b4=b8C. 23=6D. 27÷2=264.如果一个几何体的三视图都是正方形，这个几何体是（）A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 球5.将平面直角坐标系中点（-1，2）向右平移1个单位后得到的点的坐标是（）A. （0，2）B. （-2，2）C. （-1，3）D. （-1，1）6.一次函数y=-x+1的图象不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A. （y+）2＝1B. （y﹣）2＝1C. （y+）2＝D. （y﹣）2＝8.按一定规律排列的单项式：a、-a2、a3、-a4、a5、-a6、……，第12个单项式是（）A. a12B. -a12C. -a11D. a119.如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（）A. AD⊥BCB. ∠EBC=∠ECBC. ∠ABE=∠ACED. AE=BE10.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A. 3x-2=2x+9B. 3（x-2）=2x+9C. D. 3（x-2）=2（x+9）11.如图，已知圆O的半径为a，点A，B，C均在圆O上，且OB⊥AC，则图中阴影部分的面积是（）A. （+π）a2B. πa2C. （+1）a2D. πa212.已知二次函数y=ax2-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1，0），给出下列叙述：①式子b2＞8a；②式子a-b-2＜0；③存在实数k，满足x≤k时，函数y的值都随x的值增大而增大；④当a-b为整数时，ab的值为1；其中正确的是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.方程=的解是______．14.一组数据：1、3、4、5、x、8的众数是5，在这组数据的中位数是______．15.已知是整数，则满足条件的最小自然数n的值为______．16.连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：______．17.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是______米（结果保留根号）．18.如图，在平面直角坐标系中，已知四个定点A（-3，0）、B（1，-1）、C（0，3）、D（-1，3），点P在四边形ABCD内，则到四边形四个顶点的距离的和PA+PB+PC+PD最小时的点P的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简，再求值：（n+m）（m-n）-（4m3n-2mn3）÷2mn，其中m=-2，．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）20.计算：．21.某校为了解九年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：（）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生400人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A 组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．22.如图，▱ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂足为E，已知∠DBA=∠DBC，AB=5．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若sin∠ADB=，求线段OE的长．23.《复仇者联盟4：终局之战》上映后，场场爆满，上映17天票房突破40亿，梅溪湖某影院有两种不同的票价：3D票和iMax票，其中iMax票每张比3D票贵60元，购买3张3D票和2张iMax票共需270元．（1）购买一张3D票和一张iMax票共需要多少元？（2）某班45位同学组织一起去观影，预计费用为2500元，则至多有多少位同学将观看iMax电影？24.如图，M、N是线段AB上的两点，AB=16，MN=6，将线段AM绕点M旋转，将线段BN绕点N旋转，点A、点B的对应点恰好重合，记为点C，设AM=x．（1）求x的取值范围；（2）过点C作CH⊥AB于点H，若CM+MH=CN+NH，试判断△CMN的形状，并说明理由；（3）在（2）的前提下，以C为圆心，CH为半径的圆的内接正三角形、正方形、正六边形边心距分别为d1、d2、d3，求以d1、d2、d3为三边长的三角形面积．25.如图，∠APB与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，已知O为坐标原点，P（-1，-1），且∠PAO+∠PBO=45°．（1）求∠APB的度数；（2）判断OA•OB是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由；（3）射线PA、PB分别与反比例函数的图象交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，设A（0，m），令T=（x1-x2）（y1-y2-1），当m≤4时，求T的取值范围．26.若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有______；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB=3，则BC=______；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP=1，PC=5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（-3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为，若二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2019的倒数是：．故选：B．直接利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.00015=1.5×10-4．故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】D【解析】解：a3•a2=a5，故选项A不合题意；b4+b4=2b4，故选项B不合题意；23=8，故选项C不合题意；27÷2=26，正确，故选项D符合题意．故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的定义以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了幂的运算、有理数的乘方以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4.【答案】B【解析】解：三视图均为正方形的几何体是正方体．故选：B．依题意，一个几何体的三视图都是正方形，则只有正方体符合条件．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对几何体的认识．5.【答案】A【解析】解：将平面直角坐标系中点（-1，2）向右平移1个单位后得到的点的坐标是（-1+1，2），即（0，2）．故选：A．将点（-1，2）的横坐标加1，纵坐标不变即可求解．本题考查了坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=-x+1中k=-1＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．先根据一次函数y=-x+1中k=-1，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2-y-=0y2-y=y2-y+=（y-）2=1故选：B．8.【答案】B【解析】解：由题意知，第n个等式为（-1）n+1•a n，当n=12时，（-1）n+1•a n+1=-a12，即第12个单项式为-a12，故选：B．根据已知单项式得出第n个等式为（-1）n+1•a n，将n=12代入可得答案．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知整式得出第n个等式为（-1）n+1•a n．9.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，故A选项正确；∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，故B选项正确；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，即∠ABE=∠ACE，故C选项正确；根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE，所以，AE=BE不一定正确，故D选项错误．因为本题选择不正确的，故选：D．根据等腰三角形三线合一，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解答即可．本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x-2）=2x+9．故选B.11.【答案】C【解析】解：如图连接OB．∵OA=OC，OB⊥AC，∴S△ABC=a2，S半圆=πa2，∴S阴=a2+πa2=（+1）a2，故选：C．根据阴影部分的面积=半圆面积+△ABC的面积，计算即可；本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积；12.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=ax2-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（-1，0），∴抛物线的开口向上可得a＞0，抛物线与x轴有两个交点，a+b-2=0，-＞0，∴b＞0，b2-4ac＞0，∴b2-4a×（-2）＞0，∴b2＞-8a；故①错误；由a+b-2=0，b＜0可知：a+b-2-2b＞0，即a-b-2＞0，故②错误；当x＜-时，函数y的值都随x的增大而减小，当k=-时，当x＜k时，函数y的值都随x的值增大而减小；故③错误；∵a+b-2=0，b＜0，∴b=2-a，a-b=a-（2-a）=2a-2，于是0＜a＜2，∴-2＜2a-2＜2，又a-b为整数，∴2a-2=-1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故④错误．故选：A．根据题意可确定a的符号，根据抛物线的对称轴的位置可确定b的符号，进而确定与x 轴的交点情况即可判断①；代入（-1，0）求得a+b-2=0，进而求得a+b-2+2b＜0，即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；根据a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a-b为整数确定a、b的值，从而确定④．本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．13.【答案】x=-4【解析】解：去分母得：x=2x+4，解得：x=-4，经检验x=-4是分式方程的解，故答案为：x=-4分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14.【答案】4.5【解析】解：∵这组数据的众数为5，∴x=5，则这组数据为1、3、4、5、5、8，∴其中位数为=4.5，故答案为：4.5．先根据众数的定义求出x的值，再根据中位数的概念求解可得．此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．15.【答案】2【解析】解：∵是整数，n为最小自然数，∴18-n=16，∴n=2，故答案为：2．根据自然数和二次根式的性质得出18-n=16，求出即可．本题考查了二次根式的定义和自然数，能根据题意得出18-n=16是解此题的关键．16.【答案】1：4【解析】解：如图所示：∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，∴=，∴△DEF∽△CBA，∴△DEF的面积：△CBA的面积=（）2=．故答案为：1：4．证出DE、EF、DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出=，证出△DEF∽△CBA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．17.【答案】50【解析】解：如图，作AC⊥OB于点C，∵AO=100米，∠AOC=60°，∴AC=OA•sin60°=100×=米．故答案为：50．根据解直角三角形的方法即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|AC|+|BD|=，此时P的坐标为：（-，）故答案为：（-，）设AC与BD交于F点，则由不等式的性质可得，|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，可求最小值．本题主要考查了轴对称问题，关键是根据不等式的性质在求解最值中的应用解答．19.【答案】解：原式=m2-n2-2m2+n2=-m2，当m=-2，n=-时，原式=-4．【解析】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：=2-1+4×-2=1+2-2=1【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，∴B组发言的人数占20%，由直方图可知B组人数为10人，所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，∴样本容量为50人．F组人数为：50×（1-6%-20%-30%-26%-8%）=50×（1-90%）=50×10%，=5（人），C组人数为：50×30%=15（人），E组人数为：50×8%=4人补全的直方图如图；（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：400×（8%+10%）=72（人）；（3）∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，∴A组发言的有2位男生，∵E组发言的学生：4人，∴有2位女生，2位男生．∴由题意可画树状图为：∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为．【解析】（1）求得B组所占的百分比，然后根据B组有10人即可求得总人数，即样本容量，然后求得C组的人数，从而补全直方图；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据B 组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DBA=∠DBC，∴∠ADB=∠DBA，∴AD=AB，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AD=AB=5，OB=OD，∵sin∠ADB==，∴OA=4，∴OB=OD==3，∵OE⊥AB，△OAB的面积=AB×OE=OA×OB，∴OE===．【解析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠ADB=∠DBA，证出AD=AB，即可得出四边形ABCD为菱形；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，AD=AB=5，OB=OD，由三角函数得出OA=4，由勾股定理得出OB=OD==3，由△OAB的面积=AB×OE=OA×OB，即可得出结果．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形以及三角形面积公式；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：（1）设购买一张3D票需要x元，购买一张iMax票共需要y元，依题意有，解得，16+76=92（元）．答：购买一张3D票和一张iMax票共需要92元；（2）设m位同学将观看iMax电影，则（45-m）位同学观看3D电影，依题意有92m+16（45-m）≤2500，解得m≤23，∵m为整数，∴至多有23位同学将观看iMax电影．【解析】（1）设购买一张3D票需要x元，购买一张iMax票共需要y元，根据题意由等量关系：①iMax票每张比3D票贵60元，②购买3张3D票和2张iMax票共需270元；建立方程求出其解即可；（2）设m位同学将观看iMax电影，则（45-m）位同学观看3D电影，根据题意由费用为2500元建立不等式组求出其解就可以了．本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时根据等量关系及不等关系建立方程组或不等式组是关键．24.【答案】解：（1）如图1，∵AM=x，BN=16-6-x=10-x，依题意得：AM+AN≥MN≥|AM-BN|，∴10＞6≥|x-（10-x）|，解得：2≤x≤8．（2）结论：△CMN是等腰三角形．理由如下：设AM=CM=x．MH=y，∴BN=CN=16-6-x=10-x，NH=6-y．∵CH⊥AB，∴CM2-MH2=CN2-NH2，又∵CM+MH=CN+NH，依题意得：，解得：，∴MC=NC=5，∴△CMN是等腰三角形．（3）由（2）得CH===4，则CH为半径的圆的内接正多边形的边心距：正三角形的边心距为d1=4×cos60°=2．四边形的边心距为d2=4×cos45°=2，正六边形的边心距为d3=4×cos30°=2．∵，∴d1、d2、d3为三边长的三角形是直角三角形，∴三角形面积==．【解析】（1）由旋转性质可知，线段AM绕点M旋转，将线段BN绕点N旋转，点A、点B的对应点分别在以点M为圆心，AM为半径的圆上和以点N为圆心，AN为半径的圆上，点A、点B的对应点恰好重合，故两圆相交或相切，即R-r≤d≤R+r，即可求解．（2）由CH⊥AB可知CM2-MH2=CN2-NH2，设AM=CM=x．MH=y，结合已知可列方程组求出MC=NC=5．即可判断△CMN是等腰三角形．（3）由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．此题考查了圆与圆的位置关系、圆与多边形的关系、方程组的解法．题（2）注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．题（3）解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．25.【答案】解：（1）如图1中，连接PO，延长PO到K．∵∠AOK=∠OPA+∠OAP，∠KOB=∠OPB+∠OBP，∴∠POPA+∠OAP+∠OPB+∠OBP=90°，∵∠PAO+∠PBO=45°，∴∠OPA+∠OPB=45°，∴∠APB=45°．（2）结论：OA•OB=2，理由：∵P（-1，-1），∴KO平分∠AOB，OP=，∴∠AOK=∠BOK=45°，∵∠AOK=∠OPA+∠OAP=45°，∠OPA+∠OPB=45°，∴∠OAP+∠OPB，∵∠AOP=∠BOP=135°，∴△POA∽△BOP，∴=，∴OA•OB=OP2=2．（3）∵A（0，m），∴OA=m，∵OB•OA=2，∴OB=，∴B（，0），∴直线PA的解析式为y=（m+1）x+m，直线PB的解析式为y=x-，由，相切y得到：（m+1）x2+mx-1=0，∵x1•（-1）=-，∴x1=，y1=m，同法可得x2=，y2=，∴T=（x1-x2）（y1-y2-1）=（-）（m--1）=-，∵0＜m≤4，∴T＜0，∵T（m+2）=-（m2+2m+2），∴m2+（2+T）m+2+2T=0，∵△≥0，∴4+4T+T2-4（2+2T）≥0，∴T2-4T-4≥0，解得T≤2-2或T≥2+2，∵T＜0，∴T≤2-2．【解析】（1）如图1中，连接PO，延长PO到K．利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构建一次函数，求出点M，N的坐标，两条二次函数的性质解决问题即可．本题属于反比例函数综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，二次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】菱形、正方形3或【解析】解：（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°∴AO=BO=CO=DO∵矩形ABCD是“美丽四边形”∴AC、BD夹角为60°i）如图1，若AB=3为较短的边，则∠AOB=60°∴△OAB是等边三角形∴∠OAB=60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB=∴BC=AB=3ii）如图2，若AB=3为较长的边，则∠BOC=60°∴△OBC是等边三角形∴OCB=60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB=∴BC=故答案为：3或．（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD∴∠OHP=∠OHD=90°，BH=DH=BD∵AP=1，PC=5∴⊙O直径AC=AP+PC=6∴OA=OC=OD=3∴OP=OA-AP=3-1=2∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠OPH=60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH=∴OH=OP=∴Rt△ODH中，DH=∴BD=2DH=2（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N∴∠BMO=∠DNO=90°∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM=∠DON=60°∴tan∠DON=，即∴直线BD解析式为y=x∵二次函数的图象过点A（-3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C∴用交点式设二次函数解析式为y=a（x+3）（x-2）∵整理得：ax2+（a-）x-6a=0∴x B+x D=-，x B•x D=-6∴（x B-x D）2=（x B+x D）2-4x B•x D=（-）2+24∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AC•BM+AC•DN=AC（BM+DN）=AC（y D-y B）=AC （x D-x B）=（x B-x D）∴（x B-x D）=15∴x B-x D=6∴（-）2+24=36解得：a1=，a2=∴a的值为或．（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B-x D）2．又由四边形面积可求得x B-x D=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．。