非线性规划模型-

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§2.7 非线性规划模型
在现实问题中，大量的问题是非线性的。

因此，除线性规划外，应用更多的是非线性规划。

本节简单介绍非线性规划的有关概念。

一. 引例
例1． 如图2-68，预建一猪舍，
围墙与隔墙的总长不能超过40米，问长、宽各多少时，面积最大？
设长、宽分别是1x 米、2x 米时，问题即为下述优化问题：求
⎩⎨⎧≥≤+0,4052max 2
1212
1x x x x st
x x 易知，本问题的最优解是.4,1021
==x x
例2．
某企业生产一种产品，其生产要素（可以是某种原材料，也可以是劳
力、资本等）编号为n ,,2,1 . 已知该产品的生产函数为),,,(21n x x x g (第i 种生产要素的投入量为i x 时的产品产出量)一般为非线性函数,设给定产品的总产量为a ,第
i 种生产要素的单位生产费用为i c ,问如何安排生产成本最低?
数学模型为:
⎩⎨⎧≥=∑0),,,(min 21i
n i
i x a x x x g st
x c 例3．
最优国民经济计划模型
国民经济由n 个部门所组成, 编号为n ,,2,1 ,各部门间直接消耗的系数矩阵为
()n j i ij
a A 1,==,ij a 为第i 个部门生产价值一个单位的产品直接消耗j 部门产品的价值
11
x
2x ⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫图2-68
--
单位,
j 部门的生产函数),(i i i i K L f x =其中i x 为第i 部门总产品的价值.i K 为投入
i 部门的资金数i L 为投入i 部门的劳力数.问在总劳动力L ,资金K 给定的前提下,如何
安排各部门的资金数及劳力投入,可使国民收入最大?
设i y 表示第i 部门最终产品的总价值,则数学模型为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥=≤≤+=∑∑∑∑0,,,),(max
i
i i i i i i i i i i j ij i i
K L y x L K f x K
K L L y x a x st
y 例4． 确定经验公式－非线性回归分析
设(i t , i y ) (n i ,,2,1 =)为实际问题中的一组数据,且i y 与i t 有关系
ct be a y -+=,现求系数c b a ,,使得ct be a y -+=与数据组“最接近”。

化为数学问题,
即求
,,)(min
2
1
>+--=∑c b a be a y i
ct
k
i i
一般地，称
min ),,(1n x x f
s.t. m i x x g n i ， ,1,0),,(1=≥ l j x x h n j ,,1,0),,(1 ==
为规划问题(或称为条件极值问题)。

特别1. 当j i h g ,为线性函数，f 为二次函数，称上述问题为二次规划；
2. 当f h g j i ,,均为线性函数，称上述问题为线性规划。

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0,0=≥j i h g 称为约束条件，f 称为目标函数。

二. 二变量非线性规划问题的图解法 考虑规划问题
min ),(21x x f s.t. 0),(21≥x x g i
0),(21=x x h j
可以用图解法求出. 先给出若干概念.
1. 约束集合
首先我们知道,在平面上,一个不等式可确定一个区域。

如：02<-y x ，表示2x y =上方部分；12
2≤+y x ，表示12
2=+y x 内部部分等.
一个等式可确定一条曲线。

将所有不等式、等式确定的区域的公共部分称为约束集合。

2. 等高线
对于目标函数),(21x x f ，),(21x x f =z 取定值时，确定平面上一条曲线，而),(21x x f z =，z 取不同值为平面上一条曲线。

对应于该曲线上的点，其函数值相同，称这些曲线为等高线。

例5. 2
22
121),(x x x x f z +==的等高线为一族以原点为圆心的同心圆，c z =时，这些同心圆半径为c 。

随着圆的半径增大，圆上的函数值增大（如图2-69）。

图2-69
图2-70
--
例6. 2
2
21211
),(x x x x f z +=
=的等高线也为一族以原点为圆心的同心圆，半径为
c
1。

随着圆的半径扩大，圆上的函数值变小。

（见图2-70）。

3. 几何意义及图解法 例7. 非线性规划问题
min 2
22
1)2()2(+++x x
122
21
≤+
x x st
0≥i x
的可行域（约束集合）如图2-71阴影部分，最优解为（0，0）.
解“猪舍问题”（例1）
4052..max 212
1≥≤+i x x x t s x x
可行域即图2-72阴影部分，做出等高线c x x =21，取30,40,50,60=c ，易知最优解为4021=x x 与
405221=+x x 的交点).4,10(
三. 函数的梯度及最速下降法
约束问题转化为无约束问题(如Lagrange 乘数法)后可用最速下降法求解。

1. 求解无约束极值－多元函数极值
min ),,()(1n x x f x f =
图2-72
图2-71
--
经典数学方法：令n i f i x ,,2,1,0' == ，解得驻点，是否极值点？看矩阵)(''j i x x f 的正定性即可，从
0))()
((),,(0
10110
01x n
n n n f x x x x x x x x f f ∂∂-++∂∂-+= )())()
((2
20
10110∑∆+∂∂-++∂∂-+i x n
n n x o f x x x x x x
)
(
))()(,,(),,(2
00110
0011001∑∆+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--''--+=⨯i n n
n n x x n n n x o x x x x x f x x x x x x f j i
当矩阵n n x x x f j i ⨯))((0
'
'正定时，)(x f 在0x 取极小； 当矩阵n n x x x
f j i ⨯))((0
''负定时，)(x f 在0x 取极大。

这种做法的困难是○
1要解方程组；○2判定正定性。

2. 规划方法
首先回顾梯度的性质：
○1)(x f 在给定点0x 的负梯度即))(,,,()(0
021x f f f x f n
x x x x '''-=- 是函数)(x f 在0
x 点下降最快的方向；
○
22=n 时，梯度方向为曲线),
(),(020
121x x f
x x f =在⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛020
1x x 的法向。

最速下降法：
我们假设稳定点又是最优点。

给定初始点T n x x x ),,(0010 =，若0)(0
=x f x ，则
0x 即为最优点；
否则，0)(01≠x f x ，则按梯度意义，)(0
x f x -为f 下降最快的方向，沿
--
)(00x f z x -=方向，求0λ，使)()(min 0
00000
z x f z x f λλλ+=+≥（其中)(00z x f λ+是
λ的一元函数）。

令0001z x x λ+=，则)()(0
1x f x f <
（)()(,000000z x f z x f λλλ+≤+≥∀ ，特别取0=λ，有)()(0
1x f x f <）
从1
x 依次迭代即可得到最优解。

步骤：
1. 取初始点0,0
>εx ； 2. 若ε≤+++=
-222)()()()(21k x k x k x k x x f x f x f x f n ，止；
3. 计算ε>-)(k x x f ，求极值)()(min k
k k k k z x f z x f λλ+=+；
4. 令k k k k z x x
λ+=+1
，1:+=k k ，转2。

例9. 求无约束问题
2221)1(4)1(min -+-x x 。

解：1. 取4)(10)
0,1(020
===-x f x T
ε；
2. )8,0()1(8),1(2021'
=--=-x x x x f ； 3. ε>=8'
x f ；
4. 8/1,)18(4))8,1((m in ))8.0((m in 2
=-==+λλλλf x f ；
5.
ε<=-=+=0)(,)1,1()8,0(81
1'01x f x x x T T 。

故
T x f )1,1(,0*min ==。

四. 罚函数法
考虑非线性规划问题
--
)(min x f
st ⎩⎨⎧=≥0)(0)(x h x g j
i
引入函数
{}⎩⎨⎧<≥=-==0
,
0,
0)2(
),0(min )(22
2t t t t t t t ϕ
{}t t t t ,0min 20
,
20,0=⎩⎨
⎧<≥='ϕ
用)(t ϕ构造函数
{}
∑∑∑∑++=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧++===2
2112
))(())](,0([min )())(())(()(),(x h x g M x f x h x g M x f M x T j i m i l j j i ϕ 其中M 是一个很大的数。

由
ϕ的定义，及约束条件的集合为{}
0)(,0)(=≥=x h x g x R j i ，故
⎩⎨
⎧∉>∈=R
x x f R x x f M x T ),
(),
(),(，
由于R x ∉时，
0))(())](,0[min(2
2>+=∆∑∑x h x g j i
及M 为很大的正数，故∆M 也是一个很大的正数。

于是，当R x ∉时，
∆+=M x f M x T )(),(也是很大的数。

我们称函数),(M x T 为罚函数，∆称为罚款项，M 称为罚因子。

对于固定的M ，),(M x T 为x 的函数。

下面求无条件约束问题的最优解。

（可用最
图2-73
--
速下降法）
设其最优解为x ˆ。

由于),(M x T 为很大的数，故无约束问题),(min M x T 的最优解x
ˆ应满足条件R x ∉ˆ。

可以证明：
),(min M x T 的最优解x
ˆ为规划问题 ⎩⎨
⎧=≥0
)(0)()(min x h x g st x f j i
的最优解。

这里M 取多大合适，我们事先不知道。

但从上述结论，若对1M M =，
),(m in 1M x T 的最优解R x ∈'，则x '为原规划问题的最优解。

否则，R x ∉'，则说明1M 不够大。

从而取1210M M M ==，再求解
),(m in 2M x T 。

依次下去，若求得),(min k M x T 的最优解R x k ∈，则k
x 为原问题的最优解。

或k x 与R 足够接近，如：εε≤-≥)(,)(k j k
i x h x g ，迭代停止。

否则， 令k k M M M 101==+，继续上述步骤。

这个方法称为罚函数方法。

罚函数方法的实际意义：
考虑我们购买n ,,2,1 中货物，对每种货物的采购量分别为n x x ,,1 ，则我
们把目标函数
),,()(1n x x f x f =
看成采购量分别为n x x ,,1 时，所需总钱数。

约束集合，理解为某种“规定”。

因此，非线性规划问题
--
⎩⎨
⎧=≥0
)(0)()(min x h x g st x f j i 的经济意义为：在“规定”的范围内购物，使花钱最少。

对于罚函数，),(k M x T 的意义是：
相对“规定”制定一种“罚款”政策。

若符合规定（即R x ∈），则罚款为0。

若违反规定，则需交纳一笔正罚款（即罚款项）
2
1
2
1
))(())]
(,0([min ∑∑==+l
j j k m
i i
k k
x h M x g M
于是，罚函数),(k M x T 即为采购的总代价。

不难理解，当k M 很大时，相当于对违反“规定”的采购规定了苛刻的罚款，这当然不合算。

于是迫使我们在考虑总代价为最小时，要符合规定。

在数学上表现为：当k M 很大时，无约束极值问题的最优解k
x 应满足约束条件，即R x k
∈。

例10. 利用罚函数法求解
{}
0min ≥x st x
解： ))),0(((min ),(2
x M x M x T +=
2)2
(
x x M x ++=
⎩⎨⎧
≤+≥=0
,
210,1),(2
x x M x M x T k k x
若x 为极值，则0),(=k x M x T 。

故无约束问题的最优解满足021=+x M k ，即
--
k
M x 21
=。

当∞→k 时，得021
lim
==k
M x 。

例11. 解非线性规划问题
{}
01min 3212
3
2221=-++++x x x st x x x
解： 23212
32
22
1)1(),(-+++++=x x x M x x x M x T k
0)1(22)1(22)1(22),(321332123211=⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+++-+++-+++=x x x M x x x x M x x x x M x M x T k k k k x
得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+++=-+++=-+++0
)1(220)1(220
)1(223213
32123211x x x M x x x x M x x x x M x k k k 解得
03)(3)(321321=-+++++k k M x x x M x x x
得
k
k
M M x x x 313321+=
++
∴k
k
k k k M M M M M x x x 31))1313(
(321+=-+-===
∞→k M ，有3/1321===x x x 。