非线性规划模型-

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§2.7 非线性规划模型

在现实问题中，大量的问题是非线性的。因此，除线性规划外，应用更多的是非线性规划。本节简单介绍非线性规划的有关概念。

一. 引例

例1． 如图2-68，预建一猪舍，

围墙与隔墙的总长不能超过40米，问长、宽各多少时，面积最大？

设长、宽分别是1x 米、2x 米时，问题即为下述优化问题：求

⎩⎨⎧≥≤+0,4052max 2

1212

1x x x x st

x x 易知，本问题的最优解是.4,1021

==x x

例2．

某企业生产一种产品，其生产要素（可以是某种原材料，也可以是劳

力、资本等）编号为n ,,2,1 . 已知该产品的生产函数为),,,(21n x x x g (第i 种生产要素的投入量为i x 时的产品产出量)一般为非线性函数,设给定产品的总产量为a ,第

i 种生产要素的单位生产费用为i c ,问如何安排生产成本最低?

数学模型为:

⎩⎨⎧≥=∑0),,,(min 21i

n i

i x a x x x g st

x c 例3．

最优国民经济计划模型

国民经济由n 个部门所组成, 编号为n ,,2,1 ,各部门间直接消耗的系数矩阵为

()n j i ij

a A 1,==,ij a 为第i 个部门生产价值一个单位的产品直接消耗j 部门产品的价值

11

x

2x ⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫图2-68

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单位,

j 部门的生产函数),(i i i i K L f x =其中i x 为第i 部门总产品的价值.i K 为投入

i 部门的资金数i L 为投入i 部门的劳力数.问在总劳动力L ,资金K 给定的前提下,如何

安排各部门的资金数及劳力投入,可使国民收入最大?

设i y 表示第i 部门最终产品的总价值,则数学模型为

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥=≤≤+=∑∑∑∑0,,,),(max

i

i i i i i i i i i i j ij i i

K L y x L K f x K

K L L y x a x st

y 例4． 确定经验公式－非线性回归分析

设(i t , i y ) (n i ,,2,1 =)为实际问题中的一组数据,且i y 与i t 有关系

ct be a y -+=,现求系数c b a ,,使得ct be a y -+=与数据组“最接近”。化为数学问题,

即求

,,)(min

2

1

>+--=∑c b a be a y i

ct

k

i i

一般地，称

min ),,(1n x x f

s.t. m i x x g n i ， ,1,0),,(1=≥ l j x x h n j ,,1,0),,(1 ==

为规划问题(或称为条件极值问题)。

特别1. 当j i h g ,为线性函数，f 为二次函数，称上述问题为二次规划；

2. 当f h g j i ,,均为线性函数，称上述问题为线性规划。

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0,0=≥j i h g 称为约束条件，f 称为目标函数。

二. 二变量非线性规划问题的图解法 考虑规划问题

min ),(21x x f s.t. 0),(21≥x x g i

0),(21=x x h j

可以用图解法求出. 先给出若干概念.

1. 约束集合

首先我们知道,在平面上,一个不等式可确定一个区域。如：02<-y x ，表示2x y =上方部分；12

2≤+y x ，表示12

2=+y x 内部部分等.

一个等式可确定一条曲线。

将所有不等式、等式确定的区域的公共部分称为约束集合。

2. 等高线

对于目标函数),(21x x f ，),(21x x f =z 取定值时，确定平面上一条曲线，而),(21x x f z =，z 取不同值为平面上一条曲线。对应于该曲线上的点，其函数值相同，称这些曲线为等高线。

例5. 2

22

121),(x x x x f z +==的等高线为一族以原点为圆心的同心圆，c z =时，这些同心圆半径为c 。随着圆的半径增大，圆上的函数值增大（如图2-69）。

图2-69

图2-70

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例6. 2

2

21211

),(x x x x f z +=

=的等高线也为一族以原点为圆心的同心圆，半径为

c

1

。随着圆的半径扩大，圆上的函数值变小。（见图2-70）。

3. 几何意义及图解法 例7. 非线性规划问题

min 2

22

1)2()2(+++x x

122

21

≤+

x x st

0≥i x

的可行域（约束集合）如图2-71阴影部分，最优解为（0，0）.

解“猪舍问题”（例1）

4052..max 212

1≥≤+i x x x t s x x

可行域即图2-72阴影部分，做出等高线c x x =21，取30,40,50,60=c ，易知最优解为4021=x x 与

405221=+x x 的交点).4,10(

三. 函数的梯度及最速下降法

约束问题转化为无约束问题(如Lagrange 乘数法)后可用最速下降法求解。

1. 求解无约束极值－多元函数极值

min ),,()(1n x x f x f =

图2-72

图2-71