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中考数学热点题型一一规律探索篇

新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，乂要考查数学应用能力，考杏和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近儿年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考杏潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：

一、从数的运算中探索规律

例1(广西河池课改试题)古希腊数学家把1, 3, 6, 10, 15, 21,……,叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为.

分析观察这一,组数有以下特征：1 = L(F+1), 3 = - (22+2), 6=-(32+3), 10 =

2 2 2

-(42+4)，15=-(52+5), 21 =上(62+6),……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三2 2 2

角形数的大小，即可求解.

解因为1 = -(12+1), 3=-(22+2), 6=-(32+3), 10=-(42+4), 15=-(52+5), 21

2 2 2 2 2

1 ,

=—(6~+6), ........... ,

2

所以第98个这样的三角形数是-(982+98),第100个这样的三角形数是-(1002+100),

2 2

即第100个三角形数与第98个三角形数的差为1(1002+100)—上(982+98)=上(100」2

2 2

982+100 - 98)=-(I98X 2+2)= 199.故应填199.

2

说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.

二、从式的运算中探索规律

X3X5X7计

例2 (杭州市)给定下面一列分式：—,,…，(其中A-^0)

y )广y3y4

(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

(2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.

分析(1)后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，(2)观察2知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1,分子的指数是分母指数的2 倍加1,并且分母的指数是偶数的分式带有“一"号.

5 3 7 5 9 7 2

解(1)因为—二！七=、！(—二)=一与m—%)=••・=—^，y y y y y y )‘

所以任意一个分式除以前而一个分式的规律是恒等于一—.

y

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、 ④.相应矩形的周长如卜-表和如图所示：

序号 ① ②

③ ④| 周长 6 10 16 26 | 若按此规律继续作矩形,

分析由数据1，1，2,

③ 图2 则序号为⑩的矩形周长是

3, 5, 8, 13,…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相

应的长分别为 2=1 + 1, 3=1+2, 5 = 2+3, 8 = 3+5,…，89 = 34+55, 144 = 55+89, 233 = 89+144,…，相应的宽分别为1, 1 + 1, 1+2, 2+3, 3+5,…, 由此可以获解. 解依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55 = 89,长为 矩形周长是（89+144）X2 = 233X2=466.故应填上466. 说明求解本题的关键一要正确理解1, 1, 2, 3, 5, 8,

21+34, 34+55, 55+89,…. 55+89=144,所以号为⑩的 13,…的规律，二是以这组

（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1,分子的指数是分母指数

X 15

的2倍加1,并且分母的指数是偶数的分式带有“一”号，所以第7个分式应该是二.

V .

说明 求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一•个式子的特点, 及时地发现、归纳出一般规律.

三、从图形特征中探索规律

例3 （温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以 这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：

数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2 个、3个、4个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.

5 1 1 ④ ① 图3 ②

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.

特征1：;特征2： .

（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.

分析通过观察每一个图案的特征可以发现:它们既是轴对称图案,乂是中心对称图案, 并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.

解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的而积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.

说明本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中

五、从阅读理解中探索规律

例5 （乐山市）如图5,在直角坐标系中，已知点R）的坐标为（1, 0）,将线段OP。按逆时针方向旋转45。，再将其长度伸长为。气的2倍，得到线段OR ；乂将线段。Pi按逆时针方向旋转45。,长度伸长为OPi的2倍,得到线段。户2；如此下去，得到线段OP3, 0户4，…，OP n（〃为正整数）

（1）求点。尸6的坐标；

（2）求左户5。户6的而积；

（3）我们规定：把点P n（x…, »）（〃=0, 1, 2, 3,…）的横坐标&、纵坐标见都取绝对值后得到的新坐标（kJ, |y…|）称之为点P〃的“绝对坐标”.根据图中点PJKJ分布规律，请你

猜想点P〃的“绝对坐标”，并写出来.

分析先从中探索出一•般规律，然后再进一步求解.

解（1）根据旋转规律，点P6落在），轴的负半轴，而点n到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍,故其坐标为尸6（0, 26）,即尸6（0, 64）. （2）由已知可得,△PoOPi sZ\P]0P2s..・s^PL]0n，设则），I=2sin45°=㈤，所以S^OP] = - XIX 扼

2

=—.乂因为竺=32,所以里些=[兰）=1024,即S/\P5#6=1024X V2 =512 J3.

2 OP X S MQR I 1 ） 2

（3）由题意知，OP。旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P〃分别落在坐标象限的平分线上或、轴或.y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点n的坐标可分三类情况：令旋转次数为〃.①当〃=次或〃=8灯4时（其中上为自然数），点n落在工轴上，此时,点的绝对坐标为（2”, 0）；②当〃=8k+1或〃=8*+3或〃=8*+5或〃=8奸7时（其中*为

自然数）,点P”落在各象限的平分线上,此时，点n的绝对坐标为（Y-X2”，— X2n）,即

2 2

（2" 1V2 , 扼）;③当〃=8奸2或〃=次+6时（其中二为自然数）,点P 〃落在），轴上，此时, 点PJKJ绝对坐标为（0, 2〃）.

说明本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还