第十三讲勾股定理的判定

第十三讲勾股定理的判定

第一部分、教学目标：

（1）知识与技能：体会勾股定理逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理。（2）过程与方法：通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程；通过用三角形的三边数量关系来判断三角形的形状，体会数形结合方法的应用。

（3）情感、态度与价值观：培养学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度。第二部分、教学重点、难点

本节课的重点是证明勾股定理的逆定理，用勾股定理的逆定理解决具体的问题。本节课的难点是理解勾股定理的逆定理的推导。

第三部分、教学过程

例题讲解：

例1、a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2

B．a＝3，b＝4，c＝5

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）

【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

【解答】解：A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；

B．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；

C．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；

D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．

故选：C．

练1.1、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ C ）A．三个角的比是2：3：5

B．三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2

C．三条边的比是2：4：5

D．三边长为1，2，3

练1.2、下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ B ）A．1，3，2 B．5

,3C．5，1，2 D．7，24，25

,4

例2、已知a，b，c是三角形的三边，如果满足（a﹣3）2+4

-

b+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是（）

A．底与腰不相等的等腰三角形

B．等边三角形

C．钝角三角形

D．直角三角形

【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．

【解答】解：∵（a﹣3）2≥0，4

b≥0，|c﹣5|≥0，

-

∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，

解得：a＝3，b＝4，c＝5，

∵32+42＝9+16＝25＝52，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

故选：D．

练2.1、如果△ABC的三边长a，b，c满足条件a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c, 则ABC是直角三角形．

练2.2、已知|x﹣12|+（y﹣13）2与z2﹣10z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是直角三角形．

例3、已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．求四边形ABDC的面积．

【分析】连接BC ，根据勾股定理可求得BC 的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD 也是直角三角形，从而求得△ABC 与△BCD 的面积和即得到了四边形

ABDC 的面积．

【解答】解：连接BC ， ∵∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3 ∴BC ＝5，

∵BC ＝5，BD ＝13，CD ＝12 ∴BC 2+CD 2＝BD 2 ∴△BCD 是直角三角形 ∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABC ＝

21×4×3+2

1

×5×12＝36．

练3.1如图，△ABD 内有一点C ，∠ACB ＝90°．已知AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，AD ＝12cm ，DB ＝13cm ，求图中阴影部分的面积S ．

解：因为∠ACB ＝90°， 由勾股定理得AB 2＝AC 2+BC 2， 即AB 2＝32+42＝25，所以AB ＝5，

在△ABD 中，AB 2+AD 2＝52+122＝25+144＝169＝BD 2，

所以∠BAD是直角，

所以S＝S△ABD﹣S△ABC＝（cm2）．

练3.2、如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，CB=3，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．

解：在Rt△DAB中，BD＝＝，

∵CD＝1，BC＝，

∴CD2+BD2＝3，BC2＝3，

则CD2+BD2＝BC2，

∴∠CDB＝90°，

∴四边形ABCD的面积＝×AD×AB+×CD×DB

＝×1×1+××1

＝．

例4、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．以上答案都不对

【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，利用勾股定理逆定理进行判定，

得到其形状．

【解答】解：∵正方形小方格边长为1， ∴BC ＝1326422=+,

AC ＝133222=+， AB ＝658122=+， 在△ABC 中，

∵22AC BC +＝52+13＝65，2AB ＝65， ∴22AC BC +＝2AB ， ∴△ABC 是直角三角形．故选D

练4.1、 如图，A ，B ，C 三点在边长为1的正方形网格的格点上，则∠BAC 的度数为（ B ）

A ．30°

B ．45°

C ．50°

D ．60°

练4.2、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为（ A ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上答案都不对

例5、已知，如图△ABC 中，∠C ＝90°，M 为BC 中点，MD ⊥AB 于D ．求证：

222BD AC AD +=．