体育比赛问题

体育比赛问题

基础知识：

1.淘汰赛：每场比赛的胜者继续参加比赛，负者被淘汰。

如果n支球队参加淘汰赛，最终决出冠军，那么进行的比赛场次为

________场。

2.单循环赛：每两支球队之间恰进行一场比赛。

如果n支球队参加单循环赛，那么进行的比赛场次为________场。

3.两分制和三分制：

在单循环赛中，往往依据每支球队最终的积分高低来评定名次。

两分制：每场比赛，胜者得2分，负者得0分，如果是平局则各得1分。

两分制的特点：所有球队的总积分＝比赛场次×2

三分制：每场比赛，胜者得3分，负者得0分，如果是平局则各得1分。

请你思考：三分制比赛中，所有球队的总积分可以如何计算呢？

例1.A，B，C，D，E，F，6个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B 对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C.那么第五天与A队比赛的是________.

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[答疑编号505721570101]

【答案】B

总结：在进行推理时，经常采用假设法和分类讨论法，但是要选取好切入点，才能使得讨论尽可能的简洁、清晰。

例2.A、B、C、D、E五支球队参加一次篮球邀请赛，每两支球队比赛一场，共进行10天，每天进行一场比赛，并且要求同一支球队不能连续两天参加比赛.已知第一天是A队与B队比赛，第二天是C队与D队比赛，并且B队在第四天有比赛，D队在第五天和第九天都有比赛，那么第三天参加比赛的球队是________？第十天参加比赛的球队是________？

[答疑编号505721570102]

【答案】AE；BE

例3.甲、乙、丙、丁、戊五人比赛中国象棋，每两人之间恰比赛一盘.比赛全部结束后，甲说：“我胜的盘数比其他任何人都多.”乙说：“我没

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输过.”丙说：“我没有和棋过.”丁说：“我战胜了甲.”戊说：“丙和棋过，并且每个人都至多下了一盘和棋.”结果发现他们当中恰有一人记错了，那么与丁下和棋的是________.

[答疑编号505721570103]

【答案】与丁下和棋的是乙和戊

【解答】

分析：当已知有人说假话时，我们应该抓住其中说话矛盾的两个人，这样他们两人中间至少有一个人说假话。那么

你能发现哪两个人说的话是矛盾的吗？

解：由于丙和戊所说的话有矛盾，所以这两个人中至少有一个人记错了。那么另外三人（即甲、乙、丁）说的都是

真话。

根据丁所说，他战胜了甲；根据乙所说，他没有输给甲。

这就说明甲最多只可能胜两盘。

根据甲所说，他胜的盘数应该多于丁，而丁已经至少胜了一盘，所以甲肯定是恰胜了两盘（战胜了丙和戊）。

我们用一个图来直观的表示选手之间的比赛情况：

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如果戊说的是真话，那么乙最多只下了一盘和棋，另外

三盘都分出了胜负，那么根据他自己所说，这三盘他都获胜

了。可这时与甲所说的话矛盾了！

因此戊一定记错了，那么丙说的就是真话，即丙没有下

过和棋。

由于乙没输过，并且他与丙不是和棋，因此一定是乙战

胜了丙。而乙胜的盘数必须少于甲，所以其余三盘乙都与对

方下成了和棋。

由于丁已经战胜了甲，所以他不能再战胜丙，只能是丙

战胜了丁（丙没有和棋）。

那么此时丙也已经胜了一盘，所以他必须输给了戊。

最后，在丁和戊之间，他们两人都已经胜了一盘，不能

再胜其他人，所以他们两人之间只能是和棋。

最终，与丁下和棋的是乙和戊。

总结：

（1）抓住相互矛盾的话是解决有真话有假话问题的关

键；

（2）在分析循环赛比赛结果的时候，我们经常用本题

中采用的点线图来直观、清晰的表示比赛结果，利于我们进

行分析。

例4.有四个人进行象棋比赛，每两个人比赛一局.记分规则是赢一局得

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3分，平一局得1分，输一局不得分.当比赛还没有结束时，小明发现四个人的得分是四个连续自然数，且得分最低的人恰输了一局.于是，小明就对裁判说：“得分最低的人一定输给了得分最高的人.”裁判笑着说：“你说的不对.”那么，所有恰输一场的人的得分总和是________.

[答疑编号505721570104]

【答案】4分

【解答】

四个人本应该进行了4×3÷2＝6局比赛，因此他们的总得分不超过5×3＝15分。

那么四个连续自然数可能是0～3，或者1～4，或者2～5。为方便叙述，我们将得分从低到高的四个人称作是甲，

乙，丙，丁。

如果是0，1，2，3，那么只能是甲输给了丁，与裁判所说不符。

如果是2，3，4，5，因为2＋3＋4＋5＝14，所以肯定是进行了5场比赛，并且其中只有一场平局。但是甲得2分，

必须是两场平局的得分，矛盾！

因此得分只能是1，2，3，4。甲得1分说明他有一场平局，乙得2分说明他有两场平局，丁得4分说明胜一局平一

局（想想为什么不能是四场平局？）。因此平局的总数是偶

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数（这又是为什么？），所以丙肯定是胜一局。

根据以上的分析并结合图示，不难得到甲输给了丙，丙输给了丁，所求得分之和为

1＋3＝4。

总结：从本例中我们学习了从整体入手分析的方法。

例5.5支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，采用三分制。现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是5个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分？

[答疑编号505721570105]

【答案】4分

【解答】

由于5支球队最多进行10场比赛，因此积分总和不超过3×10＝30分.如果5个连续的偶数是2、4、6、8、10，

那么和恰好是30，说明所有比赛都已经进行，与已知条件不

符.因此5个连续的偶数是0、2、4、6、8.

积8分的球队必然是2胜2平，积4分的球队必然是1胜1平（负几场还不能确定），积2分的球队必然是0胜2

平，积0分的球队必然是0胜0平.这时如果积6分的球队

是2胜0平的话，那么5个队的平局总数是5，不是偶数，

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