25非简并定态微扰理论

( ( (1 ( ( ( ( ( c k 2 ) E k( 0 )δ mk + ∑ / c k1) H mk) = E n0 ) ∑ c k 2 )δ mk + E n1) ∑ / c k1)δ mk + E n2 )δ mn ∑ k k k k
( ( ( (1 ( ( (1 ( ( c m2 ) E m0 ) + ∑ / c k1) H mk) = E n0) c m2 ) + H nn) c m1) + E n2)δ mn k
因此
ψ
(1) n
=∑ c ψ
/ (1) m m
=∑
m
/
求和号上加一撇， 求和号上加一撇，表示不包含 m = n 项。 所以， 所以，波函数一级修正为 总结： 总结： 一级近似解为
(1) λψ n = ∑ / m
(1) H mn (0) ψm (0) (0) En − Em
′ H mn (0) ψm (0) (0) En − Em
ℏ2 d 2 1 ˆ H =− + µω 2 x 2 −eε x 2µ dx 2 2 ˆ H′
ˆ H (0)
其中 E ′ = − D ⋅ ε = −ex ⋅ ε x0 = −eε x
ˆ H (0) 的本征解
(0) 1 En = n + ℏω 2 1 2 2 ψ (0) = N e − 2α x H (α x) = n n n
( ( ˆ ˆ H ( 0) ∑ c k2)ψ k( 0) + H (1) ∑ / c k1)ψ k( 0) k k ( ( ( ( ( ( = E n0) ∑ c k2)ψ k( 0) + E n1) ∑ / c k1)ψ k( 0) + E n2)ψ n0) k k
*( 做运算 ∫ψ m 0 ) ⋯ dx ，得
( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 ) ∑ c k1)ψ k( 0 ) + H (1)ψ n0 ) = E n0 ) ∑ c k1)ψ k( 0 ) + E n1)ψ n0 ) k k
∑c
k
(1) k
( ( ( ( ( ˆ E k( 0 )ψ k( 0 ) + H (1)ψ n0 ) = E n0 ) ∑ c k1)ψ k( 0 ) + E n1)ψ n0 ) k
ˆ H (0) 的本征方程
( 0)
(0) (0) ψ 已经解出， En 、 n 已经解出，且 En 不简并。 不简并。 设体系的定态薛定谔方程为 ˆ Hψ n = Enψ n 都与微扰有关， 由于 En 和ψ n 都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的 的函数， 的幂级数， 参数 λ 的函数，将它们展为 λ 的幂级数，即
′ H12 (0) ′ E2 + H 22 ...
可见，在 H(0)表象中， H′的对角元素就是各能级的一级修正， 矩阵 表象中， ˆ 的对角元素就是各能级的一级修正， 可见， H 的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。 的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。 作用， 例1．一电荷为e 的线性谐振子受恒定弱电场ε 作用，电场沿 x正 方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。 方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。 解：
得
( ( ( ( ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( 0 )ψ n0 ) + λ ( H ( 0 )ψ n1) + H (1)ψ n0 ) ) + λ2 ( H ( 0 )ψ n2 ) + H (1)ψ n1) ) + ⋯ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = E n0 )ψ n0 ) + λ ( E n0 )ψ n1) + E n1)ψ n0 ) ) + λ2 ( E n0 )ψ n2 ) + E n1)ψ n1) + E n2 )ψ n0 ) ) + ⋯
例如： 例如：库仑场
E
(0) n
1 ∝ 2 n
(0) (0) En − Em → 0
n→∞
故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。 故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。 注意： 注意：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情 况。
ˆ 2． H 在 H (0) 表象中的矩阵形式
E1(0) H = H (0) + H ′ = 0 ... ′ E1(0) + H11 ′ = H 21 ... 0 (0) E2 ... ′ ... H11 ′ ... + H 21 ... ... ... ... ... ′ H12 ′ H 22 ... ... ... ...
一、一级近似解
(0) ˆ 的修正。 考虑 H (0) 的第n个能量本征值 En(0) 和相应本征函数ψ n 的修正。
(0) 把ψ n 用{ψ n } 展开
(1)
( ( ψ n1) = ∑ c k1)ψ k( 0) k
ˆ ˆ 代入到一级等式 H (0)ψ n(1) + H (1)ψ n(0) = En(0)ψ n(1) + En(1)ψ n(0) 中，得
…………………………… 已经归一化， 假定 ψ n (λ ) 已经归一化，则
* ψ n (λ )ψ n (λ )dτ = 1 ∫
(0) (1) (2) (0) (1) (2) (ψ n + λψ n + λ 2ψ n + ⋅⋅⋅)* (ψ n + λψ n + λ 2ψ n + ⋅⋅⋅)dτ = 1 ∫
(1) 当 m = n 时，上式变成 En(1) = H nn
所以， 所以，能量一级修正值为
′ λ En(1) = H nn
(1) H mn = (0) (0) En − Em
(0) m
(1) (0) (1) (1) 当 m ≠ n 时，上式变成 cm Em + H mn = En(0) cm
(1) cm
*( 0 ) 做运算 ∫ψ m ⋯ dx ，得
∑c
k
(1Байду номын сангаас k
*(0) *(0) ˆ (0) Ek(0) ∫ψ m ψ k(0) dx + ∫ψ m H (1)ψ n dx
(0) (1) *(0) (1) *(0) (0) = En ∑ ck ∫ψ m ψ k(0) dx + En ∫ψ m ψ n dx
ˆ ˆ ˆ H = H (0) + H ′
ˆ （ 其中 H (0) 不显含 t） 的解已知或可精确求解，它包括了体系的主要 的解已知或可精确求解， 性质； 对体系的影响很小，可作扰动处理。这样， ˆ H 性质；ˆ ′对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在 H (0) 的解的基 ˆ ˆ 的近似解。 ˆ 的解， 础上用 H ′修正H (0)的解，就得到了复杂体系的H 的近似解。 分为两种情况： 分为两种情况： ˆ 即定态问题， （1） H ′不显含 t ，即定态问题，它又分为非简并和简并两种情 况；
第五章 微扰理论
§5-1 非简并定态微扰理论 §5-2 简并情况下的微扰理论
前面，利用薛定谔方程求解了一些简单的能量本征问题。例如： 前面，利用薛定谔方程求解了一些简单的能量本征问题。例如： 线性谐振子、方势阱、氢原子问题等。实际上， 线性谐振子、方势阱、氢原子问题等。实际上，能用薛定谔方程严 格求解的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。 格求解的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。 求近似解的方法很多，例如微扰理论 变分法等 微扰理论、 求近似解的方法很多，例如微扰理论、变分法等。每一种方法都有 它的适用范围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。 它的适用范围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。 微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式
ˆ （2） H ′显含 t ，可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题 及光的发射和吸收等问题。 及光的发射和吸收等问题。 本章主要介绍定态微扰理论 定态微扰理论。 本章主要介绍定态微扰理论。
§5-1 非简并定态微扰理论
一、一级近似解 二、二级近似解 三、结果讨论
§5-1 非简并定态微扰理论
ˆ 不显含时间， 已知 H 不显含时间，且 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H = H (0) + H ′ H ′ = λ H (1) （ λ 是很小的实参量） 是很小的实参量）
∑c
k
(2) k
*( ( *( ˆ E k( 0) ∫ψ m 0)ψ k( 0) dx + ∑ / c k1) ∫ψ m 0) H (1)ψ k( 0 ) dx k
( ( *( ( ( *( ( *( ( = E n0) ∑ c k2 ) ∫ψ m 0 )ψ k( 0 ) dx + E n1) ∑ / c k1) ∫ψ m 0 )ψ k( 0 ) dx + E n2 ) ∫ψ m 0 )ψ n0 ) dx k k
(0) ′ En = En + H nn
ψ n =ψ
(0) n
+∑
m
/
′ H mn (0) ψm (0) (0) En − Em
二、二级近似解
令
( ( ψ n2) = ∑ c k2)ψ k( 0) k
ˆ ˆ 代入到二级等式 H (0)ψ n(2) + H (1)ψ n(1) = En(0)ψ n(2) + En(1)ψ n(1) + En(2)ψ n(0) 中，得
( ( ( (1 ( ( (1 (1 ( c m2 ) E m0) + ∑ / c k1) H mk) = E n0 ) c m2 ) + H nn) c m ) + E n2 )δ mn k
( 当 m = n 时，c m1) = 0 ，上式变成
( ( ( (1 ( ( ( c n2 ) E n0) + ∑ / c k1) H nk) = E n0) c n2 ) + E n2) k
逐级近似方程
λ0 λ1 λ2
(0) (0) (0) ˆ H (0)ψ n = En ψ n ˆ ˆ H (0)ψ (1) + H (1)ψ (0) = E (0)ψ (1) + E (1)ψ (0)
n n n n n n
(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ H (0)ψ n + H (1)ψ n = En ψ n + En ψ n + En ψ n
(0) (1) (2) En (λ ) = En + λ En + λ 2 En +⋯
(0) (1) (2) ψ n (λ ) = ψ n + λψ n + λ 2ψ n +⋯
(0) (0) (0) ˆ H (0)ψ n = En ψ n
将展开式代入薛定谔方程中， 将展开式代入薛定谔方程中，得
(0) (1) (2) ˆ ˆ ( H (0) + λ H (1) )(ψ n + λψ n + λ 2ψ n + ⋯) (0) (1) (2) (0) (1) (2) = ( En + λ En + λ 2 En + ⋯)(ψ n + λψ n + λ 2ψ n + ⋯)
′ H mn
2
( ( E n0) − E m0)
能量的二级近似值为
(0) ˆ′ En = En + H nn + ∑ / m
′ H mn
2
(0) (0) En − Em
三、结果讨论
1．微扰论的适用条件
′ H mn << 1 (0) (0) En − Em
(0) (0) ( E n ≠ Em )
(0) (0) ˆ 要足够小（ ′ （1） 一方面 H ′要足够小（即 H mn << En − Em ），可把它看成 扰动项； 扰动项； (0) (0) 要足够大， （2）另一方面能级间距 En(0) − Em 要足够大，所有 Em 要足够远 (0) 离被修正的能级 En 。
∑c
k
(1) k
(1) (0) (1) (1) Ek(0)δ mk + H mn = En ∑ ck δ mk + En δ mn k
k
(1) (0) (1) (0) (1) (1) cm Em + H mn = En cm + En δ mn
(1) (0) (1) (0) (1) (1) cm Em + H mn = En cm + En δ mn
(2) n
E
=∑ c H
/ (1) k k
(1) nk
=∑ c H
/ (1) m m
(1) nm
=∑/
m
H H (1) H nm = ∑ / (0) (0) (0) (0) En − Em En − Em m
(1) mn
(1) 2 mn
所以， 所以，能量二级修正值为
( λ2 E n2 ) = ∑ / m