Z-空间上的有界线性泛函的性质
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ＪＡＮＧ Ｓ ｅ Ｉ ｈ ｎ— ｍｉｇ ｎ
（ ａｃａｇＨ ｎ ｋｎ ｎｖｒｔ，ａ ｃａｇ Ｊ ｎｘ ３ ０ ３ Ｃ ｉａ Ｎ ｎｈｎ ａｇ ｏｇＵ ｉ ｓｙ Ｎ ｎｈ ｎ ，ｉ ｇ ｉ ０ ６ ，ｈｎ ） ｅｉ ａ ３
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｚ—ｓ ａ ｅ ； ｘｓｅ ｃ ｅ ｒ ｍ ；ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｔｅ ｒ ｍ； ｏ ｎ ｅ ｉ ｅ ｒＦ ｎ ｔ ｎ ｐ ｃ ｓ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｏｅ ｈ ｅ ａａ ｉ ｈ ｏ ｅ ｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ａ ｕ ｃ ｉ ｏ ｎ ｏ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｅ ｉｔｎ ｅｔ ｅ ｒｍ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔｅ ｒ ｍ ｆｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ｅ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｇ ｉ ｅ —ｓ ａ ｅｂ ｐ ｌｉ ｇ Ｈａ ｎ ｓｒ ｃ ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｘ ｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ａ ｄ ｓ ｐ ｒ ｔ ｏ ｅ ｏ ｏ ｎ ｅ ｎ ａ ｆ ｃｉ ａ ｎ ｄ ｉ Ｚ ｏ ｈ ｉ ｒ ｕ ｏ ｒ ｎ ｐ ｃ ｙａ ｐｙ ｎ ｈ
有 很好 的潜在 应 用 前 景 。在此 基 础 上 ， 文将 泛 函 本 ～ 。为 了方 便 ， 文 将 （ ， ０ ｌ・ 本 ＋， ，１ 分 析 中的泛 函存 在 定 理 、 隔性 定 理 推 广 到 ｚ 空 称为 Ｚ 空 间 ） 分 一
间之 中。为 了节省 读 者 查 阅资 料 的 时 间 ， 简 要 介 先
定义 １ｌ 设 （ ＋，） Ａ ｅ 群 ， ＿ ， ０ 是 ｂｌ ｚ是 整 数 加 为 上 的次范诱 导 的距 离 。
群 。如果 （）对 Ｖ（ ）∈（ ） 中有 唯一 的元 ｉ ｍ， ｚ， ， 定 义 ２２ 设 是 ｚ一空 间 ， 上 的有 界 线性 ［
泛 函全体 记 为 （ 的共扼 空 间 ） 。设 ｛ ｝ 是 中
列｛ ｝ 的极 限 ， 称序 列 ｛ ｝ 次 范收 敛 于 ， 依 或序 列 ｛ ｝ 次强收敛于 ， 为ｌ ＝ 记 ｉ ｍｘ 或 — ｎ÷ 。 （＿ ∞）
其 中 ｍ， ｎ∈Ｚ， Ｙ ， ∈Ｘ。
［ 收稿 日期】００ ０ ２ ２１ — ４— ７ ［ 修回 日期 ］００ ０ — ８ ２１ — ５ ２
文献 ［ ］ １ 中研 究 了平 移 空 间 的 线 性 结 构 ， 人 引
了次 范整 线性 空 间 （ 称为 ｚ 空 间 ） 简 一 的概 念 ， 类 这
（ｉ 可 在 上 引人 次范 ： ｚ， 足条 件 ： ｉ） 满
（ ）Ｉ ｌ ，Ｉｌ ， ５ Ｉｌ ｘ ≥０ Ｉ Ｉ ｘ ＝０ 当且 仅 当 ＝ （ ） ； ６
间的泛 函存在定理 、 ห้องสมุดไป่ตู้性定理 。 分
［ 中图分类号 ］０ ５ ． １７６
［ 文献标 志码 ］Ａ
［ 文章编号 ］１０ — ９ ６ ２ １ ）２— ０ ０— ３ ０ １ ４ ２ （０ ０ ０ ０ ６ ０
Ｂ ｕ ｄ ｄＬ ｎ ａ ｕ ｃｉｎ’ ａｉ ｎ Ｚ —Ｓ ａ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｅ ｒＦ ｔ ｎ ｏ ＳＱｕ ｌｙｏ ｔ ｐ ｃｓ
则称 （ ， ０ ｌ・ ｌ 为 次 范 整 线性 空 间 （ ＋， ，Ｉ １ ） 简
Ｉ ｙ ≤Ｉ ｌ ｙ ；７ ｌ ｌ ｘ ， Ｙ Ｘ ｘ ｘ ＋ｌ Ｉ — ＝Ｉ ｌ 空 间是传 统赋 范线 性 空 间 的一 个 很 好推 广 ， 因而 具 ｌ ＋ ｌ Ｉｌ ｌｌ（ ）ｌ Ｉ Ｉｌ ， ∈
６ ０
Ｚ一空 间上 的 有 界 线 性 泛 函 的 性 质
◎ 江 慎 铭
（ 南昌航 空大学 ， 江西 南昌 ３０ ６ ） ３ ０ ３
［ 关键词】 一 空间 ； 函存在定理 ； ｚ 泛 分隔性定理 ； 有界线性泛 函
［ 摘 要］ 文章在次范整线性空间 中利用 Ｈ ｈ ａｎ—Ｂ ｎｃ ａａｈ扩张定理给出泛 函存 在定理 ， 隔性定理 ， 分 这些定理推广赋 范线性空
—
Ｂ ｎ ｃ ｘｅ ｓｏ ｈ ｏ ｅ ． ｘｓｅ ｃ ｈ ｏｅ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ｆｎ ｒ ｄ ｌ ｅ ｒｓ ａ ｅ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ． ａ ａ ｈ ｅ ｔｎ ｉｎ ｔ ｅ ｒｍ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ａ ｄ ｓ ｐ ｔ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｍｅ ｉ ａ ｐ ｃ ｒ ｅ ｅａ ｉ ｄ ｒ ｏ ｎ ｚ
［ 作者简 介］ 江慎铭 （９２ ） 男， １７ 一 ， 南昌航空大学数学与信息科学学院讲师， 硕士。主要研究方向： 泛函分析。
葛誊 ’ 鸵官士 謦学 报
Ｊ ｏｕｒ ｎａｌｏ ｆＮａｎ ａｎｇ Ｈａｎ ｃｈ ｇｋｏｎ ｉ ｅｒ ｉｙ ｇ Ｕｎ ｖ ｓ ｔ
自然 科 学版 … … … ・ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ
２ｌ ００年 ６月
第２ ４卷
第２ 期
ｚ一空 间 上 的 有 界线 性泛 函 的性 质 ６ １
如果 存 在 ∈Ｘ， ｆ∈Ｘ 使 得 ｌ （ ）＝ Ｖ ， ｉ ｍｆ 厂 （ ， 称 为 序列 ｛ ｝ ）则 的弱极 限 ， 序列 ｛ ｝ 收 （ 称 弱
的序列 。
与之对 应 ， 满足 ： 且 （ ）ｍ（ Ｙ １ ｘ＋ ）＝， ＋ｍ ；（ ） ｍ ＋ ＝， ＋ 似 ｙ ２ （ ） 砒 ／ ；３ （ ｎ ＝，（ ） （ ） ｘ＝ ｔ （ ） ， ） ｎ 眦 ；４ Ｉ ｘ ｎ
如果存在 ∈ 使得ｌ Ｉ— ｌ ０则称 为序 Ｘ， ｉ ｘ ｌ ， ｍＩ ：
绍ｚ 一空 间 的概 念及 引理 。
Ｉ 简记为 。 Ｊ ） 当 为 次 范 整 线 性 空 间 时 ， 义 ｜（ Ｙ 定 ｐ ， ）＝
ｆ — 』则得到 上的一个距离 Ｐ 从而 ｚ一 Ｉ Ｙ， ｘ ｌ ， 空间必 １ 概 念 及 引理
是距 离空 间 ， 因而 具有 拓 扑 结 构 。我们 称 这个 距 离
（ ａｃａｇＨ ｎ ｋｎ ｎｖｒｔ，ａ ｃａｇ Ｊ ｎｘ ３ ０ ３ Ｃ ｉａ Ｎ ｎｈｎ ａｇ ｏｇＵ ｉ ｓｙ Ｎ ｎｈ ｎ ，ｉ ｇ ｉ ０ ６ ，ｈｎ ） ｅｉ ａ ３
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｚ—ｓ ａ ｅ ； ｘｓｅ ｃ ｅ ｒ ｍ ；ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｔｅ ｒ ｍ； ｏ ｎ ｅ ｉ ｅ ｒＦ ｎ ｔ ｎ ｐ ｃ ｓ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｏｅ ｈ ｅ ａａ ｉ ｈ ｏ ｅ ｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ａ ｕ ｃ ｉ ｏ ｎ ｏ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｅ ｉｔｎ ｅｔ ｅ ｒｍ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔｅ ｒ ｍ ｆｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ｅ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｇ ｉ ｅ —ｓ ａ ｅｂ ｐ ｌｉ ｇ Ｈａ ｎ ｓｒ ｃ ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｘ ｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ａ ｄ ｓ ｐ ｒ ｔ ｏ ｅ ｏ ｏ ｎ ｅ ｎ ａ ｆ ｃｉ ａ ｎ ｄ ｉ Ｚ ｏ ｈ ｉ ｒ ｕ ｏ ｒ ｎ ｐ ｃ ｙａ ｐｙ ｎ ｈ
有 很好 的潜在 应 用 前 景 。在此 基 础 上 ， 文将 泛 函 本 ～ 。为 了方 便 ， 文 将 （ ， ０ ｌ・ 本 ＋， ，１ 分 析 中的泛 函存 在 定 理 、 隔性 定 理 推 广 到 ｚ 空 称为 Ｚ 空 间 ） 分 一
间之 中。为 了节省 读 者 查 阅资 料 的 时 间 ， 简 要 介 先
定义 １ｌ 设 （ ＋，） Ａ ｅ 群 ， ＿ ， ０ 是 ｂｌ ｚ是 整 数 加 为 上 的次范诱 导 的距 离 。
群 。如果 （）对 Ｖ（ ）∈（ ） 中有 唯一 的元 ｉ ｍ， ｚ， ， 定 义 ２２ 设 是 ｚ一空 间 ， 上 的有 界 线性 ［
泛 函全体 记 为 （ 的共扼 空 间 ） 。设 ｛ ｝ 是 中
列｛ ｝ 的极 限 ， 称序 列 ｛ ｝ 次 范收 敛 于 ， 依 或序 列 ｛ ｝ 次强收敛于 ， 为ｌ ＝ 记 ｉ ｍｘ 或 — ｎ÷ 。 （＿ ∞）
其 中 ｍ， ｎ∈Ｚ， Ｙ ， ∈Ｘ。
［ 收稿 日期】００ ０ ２ ２１ — ４— ７ ［ 修回 日期 ］００ ０ — ８ ２１ — ５ ２
文献 ［ ］ １ 中研 究 了平 移 空 间 的 线 性 结 构 ， 人 引
了次 范整 线性 空 间 （ 称为 ｚ 空 间 ） 简 一 的概 念 ， 类 这
（ｉ 可 在 上 引人 次范 ： ｚ， 足条 件 ： ｉ） 满
（ ）Ｉ ｌ ，Ｉｌ ， ５ Ｉｌ ｘ ≥０ Ｉ Ｉ ｘ ＝０ 当且 仅 当 ＝ （ ） ； ６
间的泛 函存在定理 、 ห้องสมุดไป่ตู้性定理 。 分
［ 中图分类号 ］０ ５ ． １７６
［ 文献标 志码 ］Ａ
［ 文章编号 ］１０ — ９ ６ ２ １ ）２— ０ ０— ３ ０ １ ４ ２ （０ ０ ０ ０ ６ ０
Ｂ ｕ ｄ ｄＬ ｎ ａ ｕ ｃｉｎ’ ａｉ ｎ Ｚ —Ｓ ａ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｅ ｒＦ ｔ ｎ ｏ ＳＱｕ ｌｙｏ ｔ ｐ ｃｓ
则称 （ ， ０ ｌ・ ｌ 为 次 范 整 线性 空 间 （ ＋， ，Ｉ １ ） 简
Ｉ ｙ ≤Ｉ ｌ ｙ ；７ ｌ ｌ ｘ ， Ｙ Ｘ ｘ ｘ ＋ｌ Ｉ — ＝Ｉ ｌ 空 间是传 统赋 范线 性 空 间 的一 个 很 好推 广 ， 因而 具 ｌ ＋ ｌ Ｉｌ ｌｌ（ ）ｌ Ｉ Ｉｌ ， ∈
６ ０
Ｚ一空 间上 的 有 界 线 性 泛 函 的 性 质
◎ 江 慎 铭
（ 南昌航 空大学 ， 江西 南昌 ３０ ６ ） ３ ０ ３
［ 关键词】 一 空间 ； 函存在定理 ； ｚ 泛 分隔性定理 ； 有界线性泛 函
［ 摘 要］ 文章在次范整线性空间 中利用 Ｈ ｈ ａｎ—Ｂ ｎｃ ａａｈ扩张定理给出泛 函存 在定理 ， 隔性定理 ， 分 这些定理推广赋 范线性空
—
Ｂ ｎ ｃ ｘｅ ｓｏ ｈ ｏ ｅ ． ｘｓｅ ｃ ｈ ｏｅ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ｆｎ ｒ ｄ ｌ ｅ ｒｓ ａ ｅ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ． ａ ａ ｈ ｅ ｔｎ ｉｎ ｔ ｅ ｒｍ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ａ ｄ ｓ ｐ ｔ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｍｅ ｉ ａ ｐ ｃ ｒ ｅ ｅａ ｉ ｄ ｒ ｏ ｎ ｚ
［ 作者简 介］ 江慎铭 （９２ ） 男， １７ 一 ， 南昌航空大学数学与信息科学学院讲师， 硕士。主要研究方向： 泛函分析。
葛誊 ’ 鸵官士 謦学 报
Ｊ ｏｕｒ ｎａｌｏ ｆＮａｎ ａｎｇ Ｈａｎ ｃｈ ｇｋｏｎ ｉ ｅｒ ｉｙ ｇ Ｕｎ ｖ ｓ ｔ
自然 科 学版 … … … ・ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ
２ｌ ００年 ６月
第２ ４卷
第２ 期
ｚ一空 间 上 的 有 界线 性泛 函 的性 质 ６ １
如果 存 在 ∈Ｘ， ｆ∈Ｘ 使 得 ｌ （ ）＝ Ｖ ， ｉ ｍｆ 厂 （ ， 称 为 序列 ｛ ｝ ）则 的弱极 限 ， 序列 ｛ ｝ 收 （ 称 弱
的序列 。
与之对 应 ， 满足 ： 且 （ ）ｍ（ Ｙ １ ｘ＋ ）＝， ＋ｍ ；（ ） ｍ ＋ ＝， ＋ 似 ｙ ２ （ ） 砒 ／ ；３ （ ｎ ＝，（ ） （ ） ｘ＝ ｔ （ ） ， ） ｎ 眦 ；４ Ｉ ｘ ｎ
如果存在 ∈ 使得ｌ Ｉ— ｌ ０则称 为序 Ｘ， ｉ ｘ ｌ ， ｍＩ ：
绍ｚ 一空 间 的概 念及 引理 。
Ｉ 简记为 。 Ｊ ） 当 为 次 范 整 线 性 空 间 时 ， 义 ｜（ Ｙ 定 ｐ ， ）＝
ｆ — 』则得到 上的一个距离 Ｐ 从而 ｚ一 Ｉ Ｙ， ｘ ｌ ， 空间必 １ 概 念 及 引理
是距 离空 间 ， 因而 具有 拓 扑 结 构 。我们 称 这个 距 离