高一数学-余弦定理1

技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
BC BA AC 数量化吗？
（师生共同探究）那么，学过向量之后，能否用向量 的方法证明余弦定理呢？
已知AB,AC和它们的夹角A，求CB
证明： CBCA AB
C
2
CB
CA
AB
2
2
AB
AC22CA
AB
AB2 AC22 AB AC COS( A) A
B
2
AB
AC
2
2
AB
AC COSA
即 a2b2c22bccos A
C是锐角 C是直角 C是钝角
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
归纳：
利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角
总结
余弦定理能解决的问题： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
C
b
c
A
D
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2 b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A b2c22bccos A
B
在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求BC
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2[cbcos( A)]2
b
(bsin A)2(cbcos A)2
同理可证 b2 c2 a2 2accosB ，
c2 a2 b2 2ab cos C
注：此法的优点在于不必对是锐 角、直角、钝角进行分类讨论．
解析法
方法2：a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C
a提2 示b2 ：c2 能 1 否• sin用2 A正 si弦n2 B定 si理n2 C证明 余2弦ab定理2？ sin Asin B
D
Ac
B b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A b2c22bccos A
当C为直角时，a2b2c2
余弦定理：
a2b2c22bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的
平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
*正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工 具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正 确选用
方法1： 如图建立直角坐标系，则
A(0,0余), B(c弦cos A定,csi理n A),C还(b,0有) ，所其以 它证明方 法吗？ a2 (c cos A b)2 (c sin A)2
c2 cos2 A c2 sin2 A 2bc cos A b2 b2 c2 2bc cos A
向量法
（学生分组活动）证明：
从 AC ABBC 出发， 证得b2a2c22accosB 从 AB ACCB 出发，证得 c2a2b22abcosC
C
A
B
余弦定ຫໍສະໝຸດ Baidu：
a2b2c22bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
①看清定理的结构，注意“平方”“夹
角”“余弦”等；
②当夹角为 90 时，即三角形为直角三角
形时即为勾股定理（特例）；
回忆正弦定理的向量证明方法
在上节中，我们通过等式 BC BA AC 的 两边与 AD （ AD 为 ABC 中 BC 边上的高）
作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而 推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式
= 1 • sin 2 A sin 2 B sin 2 ( A B)
2
sin Asin B
= 1 • sin 2 A sin 2 B (sin Acos B cos Asin B)2
2
sin Asin B
证明余弦定理的方法很多有：几何法， 向量法、坐标法等
（证明余弦定理的其余几种方法详见阅读材料）
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
在 ABC 中 ， b=1, c= 1 3 , A=600, 2
你能求出 a 吗？
b=1, A=600,
C
AD= 1 ，CD= 3 ，BD= 3
2
2
2
BC= 6 ，即 a= 6
2
2
B
a cD
b A
在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求BC
2
22 4
7
BC
2
定理的简单应用
1、ABC中，已知 a=2，b= 2 ，c= 3 1,求 A 和 ABC 的面积。
C
a
b
B
c
A
余弦定理的变形：
cos Ab2c2a2
2bc
cosB a2c2b2
2ac
cosC a2b2c2
2ab
余弦定理的应用
2、若三条线段长分别为5，6，7，则用
这三条线段（ B）
作业布置 P16： 1、2、3、4
A.能组成直角三角形
B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形
D.不能组成三角形
分析：根据两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边，得出结论可以构成三角形，排除D
假设，a=5,b=6,c=7则
cos C
a2
b2
c2
52 =
62
72
1
0，
2ab
256 5
所以 C 为锐角，所以三角形为锐角三角形
三角形形状的判断：
余弦定理
C
b
a
c
A
B
在三角形ABC中，已知 ∠A、∠ B和 AB=c， 求三角形的其他边和角
C
b
a
c
A
B
在三角形ABC中，已知 BC=a、AC=b和 ∠A ， 求三角形的其他边和角
C
b
c A
a B
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。