6.3阻尼振动受迫振动共振MOOC

编者：陈信义
*6.3.4 品质因数（Quality factor）
振动系统（如弹簧、电感线圈）所 受阻尼作用的大小，可以用系统能量衰 减情况反映。 品质因数定义为
Q 2π E(t) E(t) E(t T)
Q值越大，系统在阻尼振动中能量衰减 得越慢。
通常阻尼很小， 2 02 ，计算公式： Q 0 2
Q值越高（阻尼小），共振峰值就 越大、越尖锐，系统对外界激励的选 择性就越好。
20
证明：t 时刻系统的能量
E(t)

1 2
kA02e2 t
k：系统等效劲度系数
Q

2π E(t) E(t) E(t T)

1
2π E(t
T)

2π 1 e2T
作近似计算：
E(t)
2 02， T 2π 02 2 2π 0
*6.3 阻尼振动 受迫振动 共振 *6.3.1阻尼振动 *6.3.2受迫振动 *6.3.3共振 *6.3.4品质因数
【演示实验】耦合摆球演示共振
简谐振动是一种自由振动。 实际振动系统总会受到阻力而 损耗能量，振幅不断减小。通 过施加周期性外力可以维持等 幅振动，在一定条件下，会发 生共振现象。
*6.3.1 阻尼振动 振幅不断减小的振动，称为阻尼振动。 当物体的运动速度不太大时，粘性力
通常所说的受迫振动，都是指这种欠阻 尼、稳态受迫振动。
x 2x 02 x hcos t
x Acos( t )
代入方程，令 sin t 和 cos t 的系数
等于零，得受迫振动的振幅和初相：
A
h
(02 2 )2 02 2
“周期”：T 2π 2π

02 2
T 2π 0 ：阻尼使振动变慢
通常阻尼都很小，阻尼振动一
般指欠阻尼振动。
x 2 x 02 x 0
（2）过阻尼（ 2 02 ）
x C e C e 解：
( 2 02 )t 1
( 2 02 )t 2
T 2π 0 1，e2T 1 2T
Q
2π 1 e2T

2π
2T

0 2
编者：陈信义
编者：陈信义
*6.3.2受迫振动 在周期性外力的持续作用下发生的
振动，称为受迫振动。 施加的周期性外力，称为驱动力或
强迫力。设驱动力以角频率ω随时间 按余弦规律变化，初相为零：
F F0 cos t
动力学方程：
x 2x 02 x hcos t
——二阶常系数非齐次微分方程
小号发出的声波足以使 酒杯破碎
发生共振时由于振幅过大可能 损坏机器、设备或建筑。
1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动
随后在大风中因产生 共振而断塌
微观世界也存在共振现象， 如核磁共振——处于恒定外 磁场中具有磁矩的原子核， 对某一频率电磁波的能量发 生共振吸收。
共振吸收的情况与样品 中原子核的密度、周围环境 等因素有关。因此，核磁矩 可以看成是安置在样品中的 微小探针，通过共振频率的 变化探测样品的有关信息。
不能作往复运动，经相当长时间才 能回到平衡位置。
（3）临界阻尼（ 2 02 ）
解：x (C1 C2t)e t
刚开始不能作往复运动，但能很快回 到平衡位置。
临界阻尼 过阻尼
欠阻尼
希望物体在一段时间内近似作简谐 振动，应减小阻尼；希望物体不发生 往复运动，尽快回到平衡位置（如电 磁仪表的表针），应对系统施加临界 阻尼。
因φ < 0，而驱动力的初相为零，所以
位移变化落后于驱动力的变化。
编者：陈信义
A
h
(02 2 )2 4 22
*6.3.3 共振
振幅出现极大值，称
为位移共振，简称共振。
把A对ω求极值可得 发生共振时驱动力的频 率：
r 02 2 2
共振振幅：
Ar 2
h
02 2 【演示实验】耦合摆球演示共振
x 2 x 02 x 0
按照 β 的大小，可分成三种阻 尼情况：
x 2 x 02 x 0
（1）欠阻尼（ 2 02 ）
解：x A0e t cos( t 0 )
02 2
—— 振 幅 随 时 间不断衰减，β 越大，衰减得 越快。
与速度成正比：
fr v x
系数 γ 决定于物体的形状、大小、表面 状况和介质的性质。
在线性恢复力、粘性力的作用下， 牛顿方程为
kx x mx
kx x mx
设 0
k
（无阻尼本征角频率）
m
（阻尼系数）
2m
阻尼振动动力学方程：
x 2x 02 x hcos t
实际往往是欠阻尼受迫振动，解：
x A0e t cos( 02 2 t 0) Acos( t )
左边第一项：欠阻尼振动，振幅随时间不 断衰减；第二项：等幅振动。
达到稳定状态，留下的只是等幅振动：
x Acos( t )