复合函数求导练习题
文科求函数的导数练习题
文科求函数的导数练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 的导数。
2. 求函数 f(x) = 5x^2 的导数。
3. 求函数 f(x) = 3x + 7 的导数。
4. 求函数 f(x) = 1/x 的导数。
5. 求函数f(x) = √x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 3x + 2)^5 的导数。
7. 求函数f(x) = √(4x^2 9) 的导数。
8. 求函数 f(x) = e^(2x 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = ln(3x + 1) 的导数。
10. 求函数f(x) = sin(πx) 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^2 + 3xy + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^3 + y^3 = 6xy，求 dy/dx。
13. 已知 e^x + e^y = xy，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = ycosx，求 dy/dx。
15. 已知 lnx + ln(y 1) = x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = 2t^3，y = t^2 + 1，求 dy/dx。
17. 已知参数方程x = cosθ，y = sinθ，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = e^t，y = ln(t)，求 dy/dx。
19. 已知参数方程x = 3cosθ，y = 3sinθ，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = t^2 + 1，y = 2t + 3，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x 的二阶导数。
23. 求函数 f(x) = sinx 的三阶导数。
24. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
25. 求函数 f(x) = arctanx 的一阶导数。
六、分段函数求导26. 求函数 f(x) = { x^2 + 1, x < 0{ 2x 3, x ≥ 0 的导数。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
复合求导练习题
复合求导练习题复合求导练习题在微积分学中，求导是一项基本的技能。
而复合求导则是在求导的过程中，遇到复合函数时所需要掌握的一种求导方法。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，其求导的过程需要运用链式法则。
为了更好地理解和掌握复合求导，我们来进行一些练习题。
1. 设有函数 f(x) = (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1)^4，求 f'(x)。
解析：首先，我们可以将 f(x) 看作是一个外层函数和一个内层函数的复合。
外层函数是 g(x) = x^4，内层函数是 h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1。
根据链式法则，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
我们先来求解 g'(h(x)) 和 h'(x)。
g'(x) = 4x^3，h'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
将 g'(h(x)) 和 h'(x) 代入链式法则，得到 f'(x) = 4(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1)^3 *(6x^2 - 10x + 3)。
2. 设有函数 f(x) = sin(3x^2 + 2x + 1)，求 f'(x)。
解析：在这个例子中，我们需要求解 sin 函数的复合求导。
sin 函数的导数是cos 函数，所以我们需要求解 (3x^2 + 2x + 1) 的导数，并将其与 cos 函数相乘。
f'(x) = cos(3x^2 + 2x + 1) * (6x + 2)。
3. 设有函数 f(x) = ln(2x^3 - 4x + 1)，求 f'(x)。
解析：对于 ln 函数的复合求导，我们需要求解 (2x^3 - 4x + 1) 的导数，并将其除以 (2x^3 - 4x + 1)。
f'(x) = (6x^2 - 4) / (2x^3 - 4x + 1)。
复合函数求导练习题及解答
复合函数求导练习题及解答1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.22例6求y=sin3x的导数.2222解：y′=［］′sin3x+′2222=2′sin3x+cos3x′222=2sin3x+3cos3x.1．求下函数的导数.y?cosy= y=5y=y=232c； ?y?sinx；?y?oxy?3y=2?112y= y=siny=cos363x?1?4?x)； ?y?lnsin．函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。
导数--复合函数的导数练习题
函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a xx ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
复合函数求导例题
复合函数求导例题问题描述考虑函数y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导。
现给定 $f(x)=\\sqrt{x}$ 和g(x)=x2，求复合函数y=f(g(x))的导数。
解法分析要求复合函数的导数，一种有效的方法是使用链式法则。
根据链式法则，如果有函数y=f(u)和u=g(x)，那么y对于x的导数可表示为：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mat hrm{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}} $$应用链式法则，我们可以得到复合函数的导数。
解法步骤根据链式法则，我们可以按以下步骤求解复合函数y=f(g(x))的导数：1.先求f(x)对u的导数 $\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}$2.再求u=g(x)对x的导数$\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$3.最后将两个导数乘积，得到复合函数的导数$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathr m{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$解法推导首先，求 $f(x)=\\sqrt{x}$ 对u的导数$\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{u}}} $$然后，求u=g(x)=x2对x的导数$\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}=2x $$将导数相乘，得到复合函数的导数$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\math rm{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{u}}} \\cdot2x $$最后，将u=g(x)=x2带入，并化简导数表达式，得到：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{x^2}}}\\cdot 2x=\\frac{x}{{\\sqrt{x^2}}}=\\frac{x}{|x|} $$结论经过推导，我们得到复合函数 $y=f(g(x))=\\sqrt{x^2}$ 的导数为$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{x}{|x|}$。
求导数练习题
求导数练习题一、基本求导公式应用题1. 求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数 \( f'(x) \)。
2. 计算函数 \( g(t) = t^3 - 4t^2 + 7t \) 的导数 \( g'(t) \)。
3. 给定函数 \( h(z) = z^4 + \frac{1}{z} \)，求 \( h'(z) \)。
二、复合函数求导4. 若 \( u(x) = \sin(x^2) \)，求 \( u'(x) \)。
5. 求函数 \( v(y) = \ln(y^2 + 1) \) 的导数 \( v'(y) \)。
6. 计算 \( w(θ) = e^{θ^2} \) 的导数 \( w'(θ) \)。
三、隐函数求导7. 给定方程 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。
8. 若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( y' \)。
四、参数方程求导9. 参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
10. 若 \( x = e^{\sin t} \) 和 \( y = e^{\cos t} \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
五、高阶导数11. 求函数 \( f(x) = x^3 \) 的二阶导数 \( f''(x) \)。
12. 计算 \( g(t) = t^5 - 3t^4 + 2t^3 \) 的三阶导数 \( g'''(t) \)。
六、应用题13. 某物体的位移函数为 \( s(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t \)，求其速度和加速度函数。
14. 一个物体的体积 \( V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \) 随半径\( r \) 变化，求其表面积 \( A(r) \) 关于 \( r \) 的导数。
知识点18 复合函数的求导
e lim
x 0
1 ln(1 x ) 1 x
x
e . 2
2sin x 1 2 2sin x 1 2 sin x 1 2 sin x 1
2 sin x 2cos x 2 sin x cos x 2sin x 1 ( x 时, cos x 0 ) 2 2 2 3cos x 2 sin x
例18.6(难度系数0.4) 求函数 y x x 的导数. 解析：此函数既不是指数函数也不是幂函数，而是“幂指函数”，对幂指函数 可以两边取对数后再求导.这也是“对数求导法”适合的类型.
解：两边取对数，得 ln y x ln x ，两边求导
y 1 ln x x 1 ln x ，故有 y x
学科：高等数学
第二章 导数与微分
知识点18 复合函数的求导 精选习题 作者：邹群
例18.1(难度系数0.2) y = arcsin e x ，求 y . 解析：基础题型.对于复合函数的求导要注意分析函数的结构，搞清楚中间变 量（必要时可以设出中间变量），详细步骤是：分解—求导—相乘— 回代.具体操作时可省略“回代”. 解： y
f x x 1 x x 1 ， g x ， f x ， 2 2 1 x 1 f x 1 x 1 x
1
f x f x 1 x 1 . 1 f x f x f x g x 2 2 2 2 x 2 x 1 1 f x 1 f x 1 1 x
当 x 0 时，
1 1 ln(1 x ) 1 (1 x ) x 1 f x f 0 (1 x ) e ex 1 e f 0 lim lim e lim e lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x
高中数学同步练习 简单复合函数的求导法则
第2章 §5 简单复合函数的求导法则A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝xln(2x ＋5)的导数为( B ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2xln(2x ＋5)D ．x 2x ＋5[解析] y′x ＝[xln(2x ＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x·12x ＋5·(2x＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．已知f(x)＝12sin2x ＋sinx,那么f′(x)( B )A ．是仅有最小值的奇函数B ．是既有最大值又有最小值的偶函数C ．是仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] f′(x)＝(12sin2x ＋sinx)′＝(12sin2x)′＋(sinx)′＝12cos2x·(2x)′＋cosx ＝cos2x ＋cosx.因为f′(x)＝cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－98,又－1≤cosx≤1,所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x ＋cosx ＝f(x),所以f′(x)是偶函数．故选B. 3．曲线y ＝xe x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )A ．2eB ．eC ．2D ．1[解析] 本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上,对y 求导得y ＝e x －1＋xex －1,所以在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝2.曲线上某一点的导函数值,就是过该点的切线的斜率．4．若函数f(x)＝3cos(2x ＋π3),则f′(π2)等于( B ) A ．－3 3 B ．3 3 C ．－6 3D ．6 3[解析] f′(x)＝－6sin(2x ＋π3),∴f′(π2)＝－6sin(π＋π3)＝6sin π3＝3 3.5．函数y ＝cos2x ＋sin x 的导数为( A ) A ．－2sin2x ＋cos x2xB ．2sin2x ＋cos x2xC ．－2sin2x ＋sin x2xD ．2sin2x －cos x2x[解析] y′x ＝(cos2x ＋sin x )′＝(cos2x)′＋(sin x )′＝－sin2x·(2x)′＋cos x ·(x )′＝－2sin2x ＋cos x2x.二、填空题6．(2019·三亚市一中月考)曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线为l,则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是[解析] y′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1,∴切线方程为y －1＝－(x －1),即x ＋y －2＝0,圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22,圆的半径r ＝1,∴所求最近距离为22－1.7．(2018·南昌一模)设函数f(x)在(0,＋∞)内可导,其导函数为 f ′(x),且f(lnx)＝x ＋lnx,则f ′(1)＝1＋1e.[解析] f ′(lnx)＝1＋1x ；∴f ′(lne)＝1＋1e ；即f ′(1)＝1＋1e .故答案为1＋1e .8．已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)＝e －x －1－x,则曲线y ＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是y ＝2x__.[解析] 当x>0时,－x<0,则f(－x)＝e x －1＋x.又f(x)为偶函数,所以f(x)＝f(－x)＝exe＋x,所以当x>0时,f ′(x)＝ex －1＋1,则曲线y ＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2,所以切线方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e 3x；(2)y ＝cos 42x －sin 42x.[解析] (1)引入中间变量u ＝φ(x)＝3x,则函数y ＝e 3x是由函数f(u)＝e u与u ＝φ(x)＝3x 复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝e u,φ′(x)＝3. 根据复合函数求导法则可得(e 3x)′＝f′(u)φ′(x)＝e u·3＝3e 3x.(2)y ＝cos 42x －sin 42x ＝(cos 22x ＋sin 22x)(cos 22x －sin 22x)＝cos4x.引入中间变量u ＝φ(x)＝4x,则函数y ＝cos4x 是由函数f(u)＝cosu 与u ＝φ(x)＝4x 复合而成的． 查导数公式表可得f′(u)＝－sinu,φ′(x)＝4. 根据复合函数求导法则可得(cos 42x －sin 42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x. 10．求y ＝ln(2x ＋3)的导数,并求在点(－12,ln2)处切线的倾斜角．[解析] 令y ＝lnu,u ＝2x ＋3,则y′x ＝(lnu)′·(2x＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时,y′＝23－1＝1,即在点(－12,ln2)处切线的倾斜角的正切值为1,所以倾斜角为π4.B 级 素养提升一、选择题1．y ＝log 3cos 2x 的导数是( A ) A ．－2log 3e·tanx B ．2log 3e·cotx C ．－2log 3cosxD ．log 3e cos 2x[解析] y′＝1cos 2x log 3e·(cos 2x)′＝1cos 2xlog 3e·2cosx·(cosx)′ ＝1cos 2xlog 3e·2cosx(－sinx)＝－2log 3e·tanx. 2．已知f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·x ,则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝( A )A.23 B ．－23C ．0D ．无法确定[解析] ∵f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·x ,∴f′(x)＝2x ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13, ∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13,∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23,即f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.二、填空题3．f(x)＝ax －1,且f′(1)＝1,则a 的值为2__. [解析] ∵f′(x)＝12ax －1·(ax－1)′＝a2ax －1,∴f′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y ＝ax 2＋b x (a,b 为常数)过点P(2,－5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行,则a ＋b 的值是－3__.[解析] 曲线y ＝ax 2＋b x 过点P(2,－5),则4a ＋b2＝－5①又y′＝2ax －b x 2,所以4a －b 4＝－72②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以a ＋b ＝－3.函数在某点处的导数值即为经过该点的切线的斜率． 三、解答题5．求f(x)＝x 2·e 2x的导数．[解析] f′(x)＝(x 2)′e 2x＋x 2·(e 2x)′ ＝2xe 2x＋x 2·(e 2x)·2 ＝e 2x(2x ＋2x 2)＝2x(1＋x)e 2x.6．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(π12t ＋5π6)(0≤t≤24),其中s 的单位是m,t 的单位是h,求函数在t ＝18时的导数,并解释它的实际意义．[解析] 函数y ＝s(t)＝3sin(π12t ＋56π)是由函数f(x)＝3sinx 和函数x ＝φ(t)＝π12t ＋5π6复合而成的其中x 是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝3cosx,φ′(t)＝π12.再由复合函数求导法则得y′t ＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·π12＝π4cos(π12t ＋5π6)．将t ＝18时代入s′(t),得s′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18时,潮水的高度上升的速度为π8m/h.C 级 能力拔高曲线y ＝f(x)＝e 2x·c os3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5,求直线l 的方程． [解析] ∵y′＝(e 2x)′·cos3x＋e 2x(cos3x)′ ＝2e 2xcos3x －3e 2xsin3x,∴f′(0)＝2,∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0),即y ＝2x ＋1. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋b(b≠1)． 由题意得5＝|b －1|5,∴b ＝6或－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
复合导数求导练习题
复合导数求导练习题在微积分中，复合函数是一种由多个简单函数通过组合而成的函数。
求解复合函数的导数是微积分中的重要内容之一。
本文将给出一些复合导数求导的练习题，帮助读者巩固这一概念。
练习题一：设函数y = y^3−2y+1，函数y = y^2+2y−1，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = (y)^2+2(y)−1 = (y^3−2y+1)^2+2(y^3−2y+1)−1接下来，我们将求解导数y′= yy/yy对于复合函数的求导，我们需要使用链式法则。
根据链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y+1) ×y(y^3−2y+1)/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y+1)：yy/y(y^3−2y+1) = 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)然后，我们计算导数y(y^3−2y+1)/yy：y(y^3−2y+1)/yy = 3y^2−2将两个导数相乘，得到：y′= 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
练习题二：设函数y = sin(y^2)，函数y = yyy(y^3−2y)，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。
解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。
将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = yyy((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))接下来，我们将求解导数y′= yy/yy同样使用链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y) ×y(y^3−2y)/yy ×yy/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y)：yy/y(y^3−2y) = cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))然后，我们计算导数y(y^3−2y)/yy：y(y^3−2y)/yy = 3(y^2−2)最后，我们计算导数yy/yy：yy/yy = cos(y^2) × 2y将三个导数相乘，得到：y′= cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2))) × 3(y^2−2) × cos(y^2) × 2y至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。
函数求导公式和复合函数
1、y=c，y'=0（c为常数）。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ－1)（μ为常数且μ≠0）。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x。
4、y=logax，y'=1/(xlna)（a>0且a≠1）；y=lnx，y'=1/x。
5、y=sinx，y'=cosx。
6、y=cosx，y'=-sinx。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y'=1/√（1-x^2)。
10、y=arccosx，y'=-1/√（1-x^2)。
11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2)。
12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2)。
13、y=shx，y'=ch x。
14、y=chx，y'=sh x。
15、y=thx，y'=1/(chx)^2。
16、y=arshx，y'=1/√（1+x^2)。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
复合函数：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
复合函数如何求导：f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)。
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u) 所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x 代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x). 从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^213：复合函数求导：（uv)'=uv'+u'v(u+v)'=u'+v'(u/)'=(u'v-uv')/^214：y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)15：y'={sin(3-x)]'=-cos(x)16:F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx .(1)g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x).(2)g(x+dx) = g(x) + dg(x) .(3)F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx =[ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx =F'(g) * g'(x)。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。
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复合函数求导练习题1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.1．求下函数的导数. y?cos y= y=5y=y=y=2xy?3?112y= y=siny=cos363x?1c3； ?y?sinx2；?y?o1．求下列函数的导数y =sinx3+sin33x； y??4?x)； ?y?lnsin．sin2xlogax?1技能演练基础强化1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是 A．y＝un，u ＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C2．y＝ex2－1的导数是 A．y′＝e22x2－1B．y′＝2xeD．y′＝ex2－1x2－1C．y′＝e解析y′＝e答案 B3．下列函数在x＝0处没有切线的是 A．y＝3x2＋cosx1C．y＝＋2xxx2－1xx2－1′＝e2·2x.B．y＝xsinx 1D．y＝cosx11解析因为y＝2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．xx答案 C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 A．2x－y＋3＝0C．2x－y＋1＝0解析设切点为，则斜率k＝2x0＝2，∴x0＝1，∴切点为．故切线方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. 答案 D5．y＝loga的导数是x?2x－1?lna1?2x－1?lna4xB.2x－12x2－1lnaB．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0 14x解析y′＝x2－1)′＝?2x－1?lna?2x－1?lna答案 A 6．已知函数f＝ax－1，且f′＝2，则a的值为 A．a ＝1C．a＝11解析f′＝·′22＝＝12ax2ax－1axax－1B．a＝D．a>0由f′＝2，得a＝2，∴a＝2. a－1答案 B7．曲线y＝sin2x在点M处的切线方程是________．解析y′＝′＝cos2x·′＝2cos2x，∴k＝y′|x＝π＝2.又过点，所以切线方程为y＝2．答案 y＝2f′?x?8．f＝e2x－2x，则＝________.e－1解析f′＝′－′＝2e2x－2＝2．f′?x?2?e2x－1?∴2． e－1e－1答案能力提升9．已知函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．解∵函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P， ?2×23＋2a＝0，?∴?得a＝－8,4b＋c＝0，?b×2＋c＝0，?∴f＝2x3－8x，f′＝6x2－8. 又当x＝2时，f′＝16，g′＝4b，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b ＝4，c＝－16.110．已知函数f＝lnx，g＝2＋a，直线l与函数f、g 的图像都相切，2且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．1解∵f＝lnx，∴f′＝，∴f′＝1，x即直线l的斜率为1，切点为．∴直线l的方程为y＝x－1.y＝x－1，??1又l与g的图像也相切，等价于方程组?1x2－x＋1＋a ??y＝22＋a2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12＝0，∴a12品味高考11．曲线y＝e－2x＋1在点处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为′e－2x＝－2e－2x，∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2，即y＝－2x＋2.如图，由y＝－2x＋2，?得交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为，∴所求面积为S ＝12×1×2133.答案 A12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点处的切线方程是x－y ＋1＝0，则)A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′＝a＝1.B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则y x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4?4设y?u，u?1?3x，则y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x?5?1?x?4‘?451?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′= ??u?x=12u3?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x-?2xsin x2?2xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?2.小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.22例6求y=sin3x的导数.2222解：y′=［］′sin3x+′2222=2′sin3x+cos3x′222=2sin3x+3cos3x.1．求下函数的导数.y?cosy= y=5y=y=232c； ?y?sinx；?y?oxy?3y=2y= y=siny=cos3 63x?1?4?x)； ?y?lnsin．。