同余问题(一)

同余问题

例1：著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

例2：（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？

例3：(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．

例4：(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

例5：(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

例6：(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．

例7：(2002年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．

例8：设21n +是质数，证明：21，22，…，2

n 被21n +除所得的余数各不相同．

例9：试求不大于100，且使3

74n n

++能被11整除的所有自然数n 的和．

例

10：若a 为自然数，证明2005194910()a a -．

例11：设n为正整数，2004n

k ，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值．

例12：有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．

例13：一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．

例14：(2008年西城实验考题)从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？

例15：从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？

，那例16：将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为12319992000

么这个自然数除以99余几？

例17：将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．

例18：(2008年清华附中考题)已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯ ，

令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则整数m 除以2008的余数为多少？

例19：1351991⨯⨯⨯⨯ 的末三位数是多少？

例20：有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

例21：设20092009

的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？

例22：一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．

例23：(首师大附中实验班分班测试题)有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

例24：一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？

例25：一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？

例26：一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？

例27：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？