高中数学人教A版必修5简单线性规划课件

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探索结论
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3：已知x、y满足
x －4y≤－3
3x+5y≤25 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ x≥1
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
解决方案二
问题：
不化为斜截式能求 最值吗？
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
B
o
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x
x-4y≤-3 设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 3x+5y≤25 ，
x≥1
求ｚ的最大值和最小值。
解决方案一：将z＝2ｘ+ｙ变形?
ｙ＝-2ｘ+ z
z几何意义是____斜__率__为__-_2_的__直__线__在__y_轴__上__的__截__距。
y
3.3.2简单的线性规划(1)
y kx b中的b几何意义？
B是直线与y轴交点的纵坐标，即截距
直线y kx b1与y kx b2有何关系？
平行
问题展示：
x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1 y
x=1
C
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
Ａ
(5,2)
x
由 x3－x＋4y5＝y＝－235得A点坐标__(5_,_2_)；由 x3=x1＋5y＝25得C点坐标_(_1_,_4_.4_)_；
∴
zmax＝2×5－2＝8
zmin＝2×1－4.4＝ －2.4
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：目标函数变形为 y 1x1z 22
画 1、 画出线性约束条件所表示的可行域；
移 2、 在线性目标函数所表示的一组平行线 中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线；或 由z=ax+by中x、y变化判断z的增减.
求 3、 通过解方程组求出最优解； 答 4、 作出答案。
课堂训练
x －4y≤－3
1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件
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变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
作斜率为 3 的直线
5
l：5y -3x z，
y x=1
6
5• 4 C•
本题以最大值解为坐 标的点落在线段AC上， 即线段AC上所有点的 坐标为最大值解
3
2 1 B•
zmin 31 5 1 8 -1 O 1
线性规划
目标函数
问题： （线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
可行域
y
x=1 C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
O
x
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
-1
z max
z max
35
31
5
5
2
22
25 或
25
5
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23
l0
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
4 56 7
l1
l
l
x
2
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两个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 —— 在 y 轴上的截距倍数或其相反数。
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2.(2004高考全国卷4理科数学试题（必修+选修Ⅱ
甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值， 使式中x、y满足下列条件：
x y 1,
y
x,
y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
3x+5y≤25
求ｚ的最大值和最小值。 解：作出可行域如图：
x≥1
y
2x－y＝0
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 3x+5y=25
平移l0， 得l:y=2x-z,当l经过可行域上点A时，
C (1,4.4)
－z 最小，即ｚ最大。
o 当l经过可行域上点C时，－ｚ最大，x－4y=－3
即ｚ最小。
B
x=1
y x=1
6
5• C•
4
注意：直线取最大截距时， l1
等价于
1z
取得最大值，则2z取得
最小值
3
2 1 B•
-1 O 1
z min
1 2 22 5
39 l0
5
l2 -1
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
A
x-4y+3=0
•
23 4
3x+5y-25=0
56 7
x
zmax 5 2 2 1
O
x
z=2x+y向右上方平移时x、y如何变化？
z=2x+y
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 ， 3x+5y≤25
x≥1
2ｘ+ｙ=0
y x=1
C
z=2x+y向右上方平移 时x、y如何变化？
x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
z＝2ｘ+ｙ
解线性规划问题的步骤：
y
y 2x 3
求z=2x+y的最大值和最小值。 所以z最大值12 z最小值为3
A(5, 2)
5
y 2x
O
B(1, 1)
C
C(1, 22 )。
5
x-4y+3=0
A B
1
5
x
x=1
3x+5y-25=0
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
由z 2x y y 2x z
z就是直线y 2x z在y轴上的截距.
目标函数：欲求最值的Z关于x、y的解析式。
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数达到最大值
y
或 最小值 的可 行 解。
C
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
C
B
o
x=1
析: 作直线l0 ：y=-2ｘ, 则直线 l：
y=- 2ｘ+z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平
移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
xห้องสมุดไป่ตู้
zmax＝2×5+2＝12 。