第六讲 B类不确定度的评定计算
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6.7 当已知量 X 之值 x 分散区间的半宽为 a，且 x 落在 x-a 至 x+a 区间的概率 p 为100%， 即全部落在此范围内，如何评定标准不确定度 u(x)？
在 x±a 内包含了 X 的全部可能值。a 处于 x 的两侧，而且，x 处于已知区间 x-a 至 x+a 的中央。拿 a 作为扩展不确定度 U(k=3)或是 U99未必不可以，只是不太确切，也不很可靠。 p=100%可认为接近99%，而 k=3则不一定确切。在这一情况下要评定其标准不确定度 u(x)时， 与 X 可能值的分布类型关系很大，因而必须对其分布作出一个近似的估计，需要有一定的经 验。分布的情况与包含因子 k 的关系是:越接近(向正态分布趋近)正态分布，k 值越大。从 两点分布到正态分布，k 值由1增加到3。
为: p=0.90 kp=1.64； p=0.95 kp=1.96； p=0.99 kp=2.58。 例如肖氏硬度计用 U95，而(273.15～903.15)K 温度计用 U99。显然，如给出的是 U95，则
u=U95/1.96，如给出的是 U99，则 u=U99/2.58。
6.6 如果校准证书上既给出了 Up，又给出了其自由度υ，应如何评定其标准不确定度 u？
(1)以前的观测数据。 例如，对某一型号的测量仪器的重复性(参阅《JJF1001—1998》第7.27条)按 A 类评定 方法，重复了20次观测，得出了其单次示值的分散性，即重复性标准偏差 sr。由于这个 sr 的自由度υ=20-1=19，一般来说，也是充分可靠的了。所以，这个数据可以用作该测量仪器 进行一次、或重复几次测量结果的不确定度评定信息。 但是，同一型号的某测量仪器的重复性如果彼此并不一定接近，例如，有1/3或1/4左右
B 类不确定度只是其评定方法与 A 类不同，如此而已。在合成过程以及对测量不确定度 的贡献中完全一样，它们都以标准偏差给出，也都可以评定其自由度。
6.2 用于评定 B 类不确定度的信息一般有哪一些？ 由于 B 类评定方法不是按统计方法进行的，一般不需要对被测量在统计控制状态下(或 是重复性条件下或复现性条件下)进行重复观测，而是按现有信息加以评定。所用信息一般 有:
对于例如液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概率为99.73%的情 况下，由于原假设为理想的正态分布，而且所得到的合成标准不确定度又十分可靠，在这一 情况下给出了上述置信概率，尽管从实际上说不十分合理，虽原为3σ的含义在进行不确定 度评定时，可按 U99处理，即除以2.6，但也未必不可以除3，前者偏保守即稍可靠一些。作 这种评定时，自由度可估计大一些，而用除以3来评定 u 时，自由度就不能估计得太大。
(6)技术规范中对某些测量方法所规定的重复性限 r 或复现性限 R。 在一些检测方法的国家标准或其他技术规范中给出的 r 或 R 一方面用于查明实验过程是 否处于所规定的状态，是否出现过大的误差，另一方面，说明了这一方法的不确定度。 B 类标准不确定度 u(qi)的二次方，可简称为 B 类方差。
6.3 当已知扩展不确定度 U 及包含因子 k 时，如何评定其标准不确定度？ 例如当前对圆锥量规、锥度仪器、热电偶、维氏硬度计、色温度仪器、发光强度计、核 素活度计等类，在其检定系统中均明确规定校准结果要按 k=3给出扩展不确定度 U。而例如 超声功率计、橡胶硬度计、黑白密度计等，采用 k=2给出扩展不确定度 U。在这些情况下，
计算出来的，式中μ为对被测量 Q 进行无限多次的算术平均值，称为总 体均值，N 是重复观测次数，为无限大。由于实际测量中的重复次数 n 是极为有限的，按贝 塞尔公式算出的实验标准偏差 s 只是σ的一个估计，应该说，把 s 等同于σ是不合理的，s 本身还有不确定度，而σ的不确定度为零。但是，现在在一些测量仪器既已用了σ的情况下， 我们在评定标准不确定度时，可以把σ直接作为标准不确定度 u 处理，即从量值上说σ=u。 又如，射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等，它们用3σ给出时，采用 其三分之一即获得标准不确定度。对于那些燃烧热、气体流量、石油螺纹测量仪器等，它们 用2σ给出时，采用其一半即获得相应标准不确定度。
至于极限误差，目前还在 JJG2009《射频与微波功率计量器具检定系统》、JJG2010《射 频与微波衰减计量器具检定系统》、JJG2016《粘度计量器具检定系统》、JJG2027《磁感应强 度计量器具检定系统》等为数尚不少的技术规范中使用，这是我国50年代以来的作法，由于 对极限误差的评定缺乏统一的规范，导致其含义不确切。当前不应再使用这一概念来表述测 量结果，但对早已存在的规范，未修订以前，还应可以作为评定标准不确定度的依据。
(1)正态分布 a)重复性条件或复现性条件下多次测量的算术平均值或加权平均值的分布； b)被测量 Y 在校准证书中用扩展不确定度 Up 给出，而对其分布又没有特殊说明时，估
计值 y 的分布； c)在被测量 Y 的合成标准不确定度 uc(y)中，相互独立的分量 ui(y)较多，它们之间的大
接近正态分布: k=3
三角分布: k= ≈2.45 梯形分布: k=2 矩形分布: k= ≈1.73 反正弦分布:k= ≈1.41 两点分布: k=1 以上梯形分布指其上底与下底之比β=0.71的较为多见的标准状态。当包含因子 k 增大， 评定出的标准不确定度 u(x)=a/k 就减小。 分散区间的半宽 a 可以理解为可能出现的误差极限值之模。即绝对值最大的误差，一般 用误差限这个概念。但表述为误差限时，带有正负号(±)，例如测量仪器的最大允许误差。
(3)生产部门提供的技术说明文件 例如对某些装备了玻璃短标尺的测长光学仪器，一般，生产厂是给出了该尺的线膨胀系 数的，我们就可以依据它对由于温度测量导致的不确定度进行评定。
(4)校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还暂 在使用的极限误差等。
校准是指在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考 物质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。简而言之，即为确
的差，那么，如果我们对例如只有三台这样的测量仪器，分别各进行了20次观测试验，并分 别得出它们的重复性分别为 sr1=3.4，sr2=2.4，sr3=2.9。这三个标准偏差可认为充分可靠， 而这样的差别则是反映了仪器本身重复性的不同。这一现象，说明不能用一台仪器的 sr 代 替同类型的其他仪器的 sr 使用。如果，如上例，把这三个 sr 取平均值 =2.9，那么其标准偏 差按贝塞尔公式
(5)手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。 例如手册上给出的基本物理常量、阿伏加德罗常数 L=(6.022 136 7±0.000 003 6)×1023 mol-1，并声明±号后之值为标准偏差，其自由度为17。 又如国际上1992年公布的相对原子质量。例如对于碳原子 Ar(C)=12.011(1)，括弧中的1 表示相对原子质量值的标准偏差为0.001。可惜的是没有指明不确定度的自由度。但这可用 于对不确度分量的评定。
一般用 a-，表示小于 x 的那个下界，而用 a+表示大于 x 的那个上界，或称为 x 的下限、 上限值。
6.8 如何对分散区间 x-a 至 x+a 范围内，x 可能值的分布类别进行估计？ 如果测量结果 x 是几个观测值的平均值(例如三个以上)(经常用算术平均值作为测量结 果)，则其分布必定是正态的。如果被测量 Y 是由两三个以上的分量按线性合成时(例如相 加)，而这些分量彼此的大小又比较接近，则 y 的分布是接近正态的，如果 Y 是由两个分量 线性合成，而这两个分量接近，且是三角分布，则 y 的分布也会是正态的。自由度的大小与 分布无关，不能作为考虑分布的依据。 在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布(均匀分布)。但如果已知 Y 的可能 值出现在 a-至 a+中心附近的可能性大于接近区间边界时，则可按三角分布评定 u(y)。 以下给出几种分布类别的情况:
6.5 已知 Up 的情况下，对标准不确定度的评定如何？ 从现在起，将会越来越多地在校准证书上给出校准结果的扩展不确定度 U95，或 U99，这
样就十分明确地交代了置信概率 p 的大小。如果没有特殊说明，一般总按正态分布考虑，并 据以评定其标准不确定度。在正态分布情况下，置信概率 p 与包含因子 kp 之间的对应关系
计量培训：测量不确定度表述讲座 国家质量技术监督局 李慎安
6.1 什么叫不确定度的 B 类评定？ 测量不确定度的评定方法主要分成两大类。一类是用统计方法进行评定，称之为 A 类评 定(参阅1.2)，而其他的非统计方法，统称之为 B 类评定，又称之为非统计方法的评定，由 此评定出来的不确定度一般称为 B 类不确定度或称为 B 类标准不确定度。要注意的是 INC—1(1980)(参阅1.2)中以及《JJF1027》中都曾规定 A 类不确定度分量用符号 si，而 B 类不确定度分量用符号 uj 表示，这一方式在《导则》以及《JJF1059》中已作了更改，s 只 是实验标准偏差的符号，当它作为不确定度时，则不论是 A 类还是 B 类方法所得到，一律用 u 作为符号而只以数字序号作为下标相区别，一般则写作 ui。从量值上说 s=u，但含义不同。
只要用 U 除以 k 即可得出标准不确定度。例如:某交流数字电流表，流量上限为10A，相对扩 展不确定度为5×10-4，k=3，则其相对标准不确定度 urel=5×10-4/3=1.7×10-4。
6.4 如果检定、校准证书上给出总体标准偏差σ的倍数时，如何评定标准偏差？ 当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯，用总体标准偏差σ及其倍数表示校准 结果的可靠程度。例如:真空测量仪器、燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量测量仪器、 某些压力测量仪器等。本来σ只是一种理想概念，在计量学中的总体指重复性条件下，对同 一被测量进行了无限多次的重复观测，通过这无限多个观测结果按下式:
定测量仪器示值、量块、标准电池的赋值等。当然，在校准证书中必定要给出其校准结果的不确定度， 甚至还要给出其自由度。给出该测量仪器所属的等别(order)或(和)级别(class)，这些都是 据以评定标准不确定度的极为常见的信息。
在《JJF1059》中，推荐在给出扩展不确定度 U99或 U95时，同时给出其自由度。当这些信 息已在校准证书中给出后，使用者不仅可以更有把握地给出标准不确定度 u，而且这个 u 之 值会比6.5所评定出的要小一些，对不确定度评定是有利的。
当有了自由度υ以后，可以按以下 t 值在表格中查出 kp=tp(υ)这个值。例如:已知的自 由度υ=10，采用的置信概率 p=0.99，表中给出 kp=3.17，这个值比上述6.5中的2.58大了不 少，约五分之一。这样，通过 Up/kp 所得的标准不确定度就会比用 k=2.58除得出的值要小约 五分之一。油水不少!
自由度为2，因此，拿2.9作为其他同类型测量仪器的 单次测量的分散性标准差也是不行的。这个例子说明:对以前的观测数据应加以分析，看其 是否可用于当前的测量结果。
(2)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验。 例如50 mm 的量块，其中心长度最大允许示值误差，对于零级来说是±0.25μm，一级 是±0.50μm、二级是±1.00μm。仅是这样的信息是不够的，还应了解在二级量块中是不会 出现示值误差在±0.50μm 内的量块；同样，在一级量块中，也决不会出现示值误差在 ±0.25μm 内的量块。原因是在成批生产出同一标称尺寸的量块后，按最大允许示值误差把 ±0.25μm 者作为零级挑出，把从±0.26μm 至±0.50μm 者挑出作为一级，如此类推。因 而虽然有最大允许示值误差的信息，按上述特性，只是接近两点分布，有了这一信息，就可 以评定其标准不确定度了。
在 x±a 内包含了 X 的全部可能值。a 处于 x 的两侧，而且，x 处于已知区间 x-a 至 x+a 的中央。拿 a 作为扩展不确定度 U(k=3)或是 U99未必不可以，只是不太确切，也不很可靠。 p=100%可认为接近99%，而 k=3则不一定确切。在这一情况下要评定其标准不确定度 u(x)时， 与 X 可能值的分布类型关系很大，因而必须对其分布作出一个近似的估计，需要有一定的经 验。分布的情况与包含因子 k 的关系是:越接近(向正态分布趋近)正态分布，k 值越大。从 两点分布到正态分布，k 值由1增加到3。
为: p=0.90 kp=1.64； p=0.95 kp=1.96； p=0.99 kp=2.58。 例如肖氏硬度计用 U95，而(273.15～903.15)K 温度计用 U99。显然，如给出的是 U95，则
u=U95/1.96，如给出的是 U99，则 u=U99/2.58。
6.6 如果校准证书上既给出了 Up，又给出了其自由度υ，应如何评定其标准不确定度 u？
(1)以前的观测数据。 例如，对某一型号的测量仪器的重复性(参阅《JJF1001—1998》第7.27条)按 A 类评定 方法，重复了20次观测，得出了其单次示值的分散性，即重复性标准偏差 sr。由于这个 sr 的自由度υ=20-1=19，一般来说，也是充分可靠的了。所以，这个数据可以用作该测量仪器 进行一次、或重复几次测量结果的不确定度评定信息。 但是，同一型号的某测量仪器的重复性如果彼此并不一定接近，例如，有1/3或1/4左右
B 类不确定度只是其评定方法与 A 类不同，如此而已。在合成过程以及对测量不确定度 的贡献中完全一样，它们都以标准偏差给出，也都可以评定其自由度。
6.2 用于评定 B 类不确定度的信息一般有哪一些？ 由于 B 类评定方法不是按统计方法进行的，一般不需要对被测量在统计控制状态下(或 是重复性条件下或复现性条件下)进行重复观测，而是按现有信息加以评定。所用信息一般 有:
对于例如液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概率为99.73%的情 况下，由于原假设为理想的正态分布，而且所得到的合成标准不确定度又十分可靠，在这一 情况下给出了上述置信概率，尽管从实际上说不十分合理，虽原为3σ的含义在进行不确定 度评定时，可按 U99处理，即除以2.6，但也未必不可以除3，前者偏保守即稍可靠一些。作 这种评定时，自由度可估计大一些，而用除以3来评定 u 时，自由度就不能估计得太大。
(6)技术规范中对某些测量方法所规定的重复性限 r 或复现性限 R。 在一些检测方法的国家标准或其他技术规范中给出的 r 或 R 一方面用于查明实验过程是 否处于所规定的状态，是否出现过大的误差，另一方面，说明了这一方法的不确定度。 B 类标准不确定度 u(qi)的二次方，可简称为 B 类方差。
6.3 当已知扩展不确定度 U 及包含因子 k 时，如何评定其标准不确定度？ 例如当前对圆锥量规、锥度仪器、热电偶、维氏硬度计、色温度仪器、发光强度计、核 素活度计等类，在其检定系统中均明确规定校准结果要按 k=3给出扩展不确定度 U。而例如 超声功率计、橡胶硬度计、黑白密度计等，采用 k=2给出扩展不确定度 U。在这些情况下，
计算出来的，式中μ为对被测量 Q 进行无限多次的算术平均值，称为总 体均值，N 是重复观测次数，为无限大。由于实际测量中的重复次数 n 是极为有限的，按贝 塞尔公式算出的实验标准偏差 s 只是σ的一个估计，应该说，把 s 等同于σ是不合理的，s 本身还有不确定度，而σ的不确定度为零。但是，现在在一些测量仪器既已用了σ的情况下， 我们在评定标准不确定度时，可以把σ直接作为标准不确定度 u 处理，即从量值上说σ=u。 又如，射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等，它们用3σ给出时，采用 其三分之一即获得标准不确定度。对于那些燃烧热、气体流量、石油螺纹测量仪器等，它们 用2σ给出时，采用其一半即获得相应标准不确定度。
至于极限误差，目前还在 JJG2009《射频与微波功率计量器具检定系统》、JJG2010《射 频与微波衰减计量器具检定系统》、JJG2016《粘度计量器具检定系统》、JJG2027《磁感应强 度计量器具检定系统》等为数尚不少的技术规范中使用，这是我国50年代以来的作法，由于 对极限误差的评定缺乏统一的规范，导致其含义不确切。当前不应再使用这一概念来表述测 量结果，但对早已存在的规范，未修订以前，还应可以作为评定标准不确定度的依据。
(1)正态分布 a)重复性条件或复现性条件下多次测量的算术平均值或加权平均值的分布； b)被测量 Y 在校准证书中用扩展不确定度 Up 给出，而对其分布又没有特殊说明时，估
计值 y 的分布； c)在被测量 Y 的合成标准不确定度 uc(y)中，相互独立的分量 ui(y)较多，它们之间的大
接近正态分布: k=3
三角分布: k= ≈2.45 梯形分布: k=2 矩形分布: k= ≈1.73 反正弦分布:k= ≈1.41 两点分布: k=1 以上梯形分布指其上底与下底之比β=0.71的较为多见的标准状态。当包含因子 k 增大， 评定出的标准不确定度 u(x)=a/k 就减小。 分散区间的半宽 a 可以理解为可能出现的误差极限值之模。即绝对值最大的误差，一般 用误差限这个概念。但表述为误差限时，带有正负号(±)，例如测量仪器的最大允许误差。
(3)生产部门提供的技术说明文件 例如对某些装备了玻璃短标尺的测长光学仪器，一般，生产厂是给出了该尺的线膨胀系 数的，我们就可以依据它对由于温度测量导致的不确定度进行评定。
(4)校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还暂 在使用的极限误差等。
校准是指在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考 物质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。简而言之，即为确
的差，那么，如果我们对例如只有三台这样的测量仪器，分别各进行了20次观测试验，并分 别得出它们的重复性分别为 sr1=3.4，sr2=2.4，sr3=2.9。这三个标准偏差可认为充分可靠， 而这样的差别则是反映了仪器本身重复性的不同。这一现象，说明不能用一台仪器的 sr 代 替同类型的其他仪器的 sr 使用。如果，如上例，把这三个 sr 取平均值 =2.9，那么其标准偏 差按贝塞尔公式
(5)手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。 例如手册上给出的基本物理常量、阿伏加德罗常数 L=(6.022 136 7±0.000 003 6)×1023 mol-1，并声明±号后之值为标准偏差，其自由度为17。 又如国际上1992年公布的相对原子质量。例如对于碳原子 Ar(C)=12.011(1)，括弧中的1 表示相对原子质量值的标准偏差为0.001。可惜的是没有指明不确定度的自由度。但这可用 于对不确度分量的评定。
一般用 a-，表示小于 x 的那个下界，而用 a+表示大于 x 的那个上界，或称为 x 的下限、 上限值。
6.8 如何对分散区间 x-a 至 x+a 范围内，x 可能值的分布类别进行估计？ 如果测量结果 x 是几个观测值的平均值(例如三个以上)(经常用算术平均值作为测量结 果)，则其分布必定是正态的。如果被测量 Y 是由两三个以上的分量按线性合成时(例如相 加)，而这些分量彼此的大小又比较接近，则 y 的分布是接近正态的，如果 Y 是由两个分量 线性合成，而这两个分量接近，且是三角分布，则 y 的分布也会是正态的。自由度的大小与 分布无关，不能作为考虑分布的依据。 在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布(均匀分布)。但如果已知 Y 的可能 值出现在 a-至 a+中心附近的可能性大于接近区间边界时，则可按三角分布评定 u(y)。 以下给出几种分布类别的情况:
6.5 已知 Up 的情况下，对标准不确定度的评定如何？ 从现在起，将会越来越多地在校准证书上给出校准结果的扩展不确定度 U95，或 U99，这
样就十分明确地交代了置信概率 p 的大小。如果没有特殊说明，一般总按正态分布考虑，并 据以评定其标准不确定度。在正态分布情况下，置信概率 p 与包含因子 kp 之间的对应关系
计量培训：测量不确定度表述讲座 国家质量技术监督局 李慎安
6.1 什么叫不确定度的 B 类评定？ 测量不确定度的评定方法主要分成两大类。一类是用统计方法进行评定，称之为 A 类评 定(参阅1.2)，而其他的非统计方法，统称之为 B 类评定，又称之为非统计方法的评定，由 此评定出来的不确定度一般称为 B 类不确定度或称为 B 类标准不确定度。要注意的是 INC—1(1980)(参阅1.2)中以及《JJF1027》中都曾规定 A 类不确定度分量用符号 si，而 B 类不确定度分量用符号 uj 表示，这一方式在《导则》以及《JJF1059》中已作了更改，s 只 是实验标准偏差的符号，当它作为不确定度时，则不论是 A 类还是 B 类方法所得到，一律用 u 作为符号而只以数字序号作为下标相区别，一般则写作 ui。从量值上说 s=u，但含义不同。
只要用 U 除以 k 即可得出标准不确定度。例如:某交流数字电流表，流量上限为10A，相对扩 展不确定度为5×10-4，k=3，则其相对标准不确定度 urel=5×10-4/3=1.7×10-4。
6.4 如果检定、校准证书上给出总体标准偏差σ的倍数时，如何评定标准偏差？ 当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯，用总体标准偏差σ及其倍数表示校准 结果的可靠程度。例如:真空测量仪器、燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量测量仪器、 某些压力测量仪器等。本来σ只是一种理想概念，在计量学中的总体指重复性条件下，对同 一被测量进行了无限多次的重复观测，通过这无限多个观测结果按下式:
定测量仪器示值、量块、标准电池的赋值等。当然，在校准证书中必定要给出其校准结果的不确定度， 甚至还要给出其自由度。给出该测量仪器所属的等别(order)或(和)级别(class)，这些都是 据以评定标准不确定度的极为常见的信息。
在《JJF1059》中，推荐在给出扩展不确定度 U99或 U95时，同时给出其自由度。当这些信 息已在校准证书中给出后，使用者不仅可以更有把握地给出标准不确定度 u，而且这个 u 之 值会比6.5所评定出的要小一些，对不确定度评定是有利的。
当有了自由度υ以后，可以按以下 t 值在表格中查出 kp=tp(υ)这个值。例如:已知的自 由度υ=10，采用的置信概率 p=0.99，表中给出 kp=3.17，这个值比上述6.5中的2.58大了不 少，约五分之一。这样，通过 Up/kp 所得的标准不确定度就会比用 k=2.58除得出的值要小约 五分之一。油水不少!
自由度为2，因此，拿2.9作为其他同类型测量仪器的 单次测量的分散性标准差也是不行的。这个例子说明:对以前的观测数据应加以分析，看其 是否可用于当前的测量结果。
(2)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验。 例如50 mm 的量块，其中心长度最大允许示值误差，对于零级来说是±0.25μm，一级 是±0.50μm、二级是±1.00μm。仅是这样的信息是不够的，还应了解在二级量块中是不会 出现示值误差在±0.50μm 内的量块；同样，在一级量块中，也决不会出现示值误差在 ±0.25μm 内的量块。原因是在成批生产出同一标称尺寸的量块后，按最大允许示值误差把 ±0.25μm 者作为零级挑出，把从±0.26μm 至±0.50μm 者挑出作为一级，如此类推。因 而虽然有最大允许示值误差的信息，按上述特性，只是接近两点分布，有了这一信息，就可 以评定其标准不确定度了。