数字图像处理 第7章

( A) A ( AB)
(7-11)
图7-8解释了边缘提取的过程。它表示了一个简 单的二值图像，图7-8(b)中的结构元素是最常用的
一种，但它决不是唯一的。如果采用一个5×5全
“1”的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的
边缘。应注意的是，当集合B的原点处在集合的边
界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件 下的通常的处理是约定集合边界外的值为0。
连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。
此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也
经常与上述算法相结合在图像预处理和图像后处理 中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图 像，即只有黑和白两级灰度，1表示黑，0表示白。
7.5.1边缘提取算法
集合 A 的边界记为 (A)，可以通过下述算法
提取边缘：设 B 是一个合适的结构元素，首先令 A 被 B 腐蚀，然后求集合 A 和它的腐蚀的差。如下式 所示：
论是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立 在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。
7.2 数学形态学的基本概念
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。 集合代表图像中物体的形状。数学形态学的应用 可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性， 并除去不相干的结构。
数学形态学的基础运算有4个：膨胀、腐蚀、开启 和闭合。 基本思想： 利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动， 在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间 的相互关系，从而了解图像的结构特征。 用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中 的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
X k ( X k 1 B) Ac
k 1,2,3
(7-12)
其中， X 0 P ，B为对称结构元素，如图7-9(c) 所示。当 k 迭代到 X k X k 1 时，算法终止。 集合 X k 和 A 的并集包括填充的集合和边界。
如果公式(7-11)的膨胀过程一直进行，它将 填满整个区域。然而，每一步与AC的交把结果限制 在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为 条件膨胀）。图7-9剩下的部分解释了公式(7-11) 的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只 要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在
“桥”的宽度小于结构元素的直径；由于同样的原
因 A
的最右边的部分也被切除掉了。
图7-5(d)画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过 程，而图7-5(e)示出了开运算的最后结果。同样 地，图7-5(f)─7-5(i)示出了用同样的结构元素
对 A 作闭运算的结果。结果是去掉了A
的左
边对于 B 来说较小的弯。注意，用一个圆形的
图7-8 边缘提取算法示意图
7.5.2 区域填充算法
下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和 取交的区域填充的简单的算法。在图7-9中，A 表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8 字形的连接边界的区域。从边界内的一点P开始，
目标是用1去填充整个区域。
假定所有的非边界元素均标为 0 ，我们把一个 值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域 用1来填充：
总之:开操作体现“分开”，闭操作体现“联接”
图7-5图释了集合A 被一个圆盘形结构元素作
开运算和闭运算的情况。图7-5(a)是集合 A
，
7-5(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位 置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于 图7-5(c)。
注意，A
的两个主要部分之间的桥梁被去掉了。
＊一种特殊定义的邻域称之为“结构元素” （Structure Element），在每个像素位置上它与 二值图像对应的区域进行特定的逻辑运算，逻辑运 算的结果为输出图像的相应像素。 ＊形态学运算的效果取决于结构元素的大小、内容 以及逻辑运算的性质。
膨胀 Dilation
＊ 膨胀：使图像扩大 ＊ A用B来膨胀写作A B ，定义为： ˆ) A A B x | (B x ＊ 上式表示：B的反射进行平移与A的交集不能为空 ＊ B的反射：B相对于自身的映像 ＊ B的反射进行移位，以便它能滑过集合（图像）A
输入图像
移位、交、并等集合运算
输出图像
结构元素
图7.1
数学形态学的方法
一些基本的定义
（1）集合：具有某种性质的确定的有区别 的事物的全体。如果某种事物不存在，称为 空集。集合常用大写字母 A,B,C,„ 表示，空集用 Φ 表示。
（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元 素，元素常用小写字母 a, b, c, 表示，应注意的 是任何事物都不是空集的元素。

7.4 开运算和闭运算
如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。 另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开
运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，
去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与
开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，
去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。
开运算（Opening）
设 A 是原始图像，B 是结构元素图像，则集
一条线了。
图 7-4 腐蚀操作的例子
不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响
不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响
E1=3*3方形结构单元
原图
E1膨胀后图像
E1腐蚀后图像
不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响
不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响
E2=5*5方形结构单元
原图
E1膨胀后图像
E1腐蚀后图像
筛选
（a）含长度为1，3，5，7，9，15的正方形 （b）结构元素为13×13，对（a）腐蚀的结果 （c）结构元素为13×13，对（b）进行膨胀
结构元素对集合 A 作开运算和闭运算均使A 的
一些部分平滑了。
图 7-5 开运算和闭运算的图示
图7-6为开、闭具体实例：
图7-7 细胞组织图像的灰值形态运算
7.5 数学形态学的应用
在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨 形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态 学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成 分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、
7.5.4 粗化运算
粗化是细化的形态学上对偶，记为A⊙B, 定义为
A⊙B＝A ( A B)
(7-16)
其中 B是适合粗化的结构元素。象细化一样，
粗 化 可 以 定 义 为 一 个 序 列 运 算 ：
根据这个概念，我们现定义被一个结构元素 序列的细化为
A {B} (((( A B1 ) B 2 )) B n ) (7-15)
换句话说，这个过程是用 B 1 细化A，然后用 B 2 细化前一步细化的结果等等，直到A被 B n 细化。 整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止。
腐蚀 Erosion
A 被 B 腐蚀，记为 AB ，其定义为：
AB {x (B) x A}
(7-8)
也就是说 A 被 B 的腐蚀的结果为所有使 B 被
x平移后包含于 A 的点x的集合。
腐蚀运算的示例
图(a)中的阴影部分为集合A，图(b)中的中的阴影部分为结构 元素B，而图(c)中黑色部分给出了结果。 用B来腐蚀A得到的集合是B完全包括在A中时B的原点位置 的集合。 由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。
合 A 被结构元素 B 作开运算，记为 Aο B ，
其定义为： A B ( AB) B (7-9)
换句话说，A 被 B 开运算就是A 被 B 腐蚀后的结果再 被B 膨胀。
作用：使用对象轮廓平滑，断开狭窄的间断、消除细的
凸出物，去除小亮点（相对于结构元素）----“减”
闭运算(Closing)
Ac {x x A}
（6）差集：定义集合A和B的差集为
(7-2)
A B
A B {x x A, x B} A B c
(7-3) (7-4)
（7）映像：定义集合B的映像为 B

B {x x -b, b B}

(7-5)
（8）并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的 并集。 A B （9）交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的 交集。 A B
是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方
法。
数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科
学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简
单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要
求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它
涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随
机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集合
i B 其中 是 B i 1 的旋转。
(7-13)
对称细化 A 的一个更有用的表达是基于结构元素 序列： (7-14)
①集合B包含于X（表示为 B X ）
②集合B击中X（表示为
③集合B相离于X 即：
B X），即： B X

B X
图 7-1 B1 击中X，B2 相离于X， B3 包含于X
任何有限个这样的子集中。
图 7-9 区域填充算法
7.5.3 细化
集合 A被结构元素的细化用 A B 表示，根据 击中（hit）(或击不中miss)变换定义：
A B A ( A B} c A ( A B)
{B} {B , B , B ,, B }
1 2 3 n


用B来膨胀A得到的集合是 B的位移与A至少 有1个非零元素相交时B的原点位置的集合。 例题：《图像处理与分析》P256
Hale Waihona Puke Baidu

B A
ˆ B
A B
图 7-3 膨胀操作的例子
图7-3(a)表示一个简单的集合，图7-3(b)表示
一个结构元素及其“映射”。在此图情况下，因为
结构元素B关于原点对称，所以，结构元素B及其映
图7-2 (a)集合A； (b)用x平移集合A后的结 果；
(c)集合B；
(d)B的反转； (e)集合A和它的补集； (f)两个集合的差集(如阴 影所示)。 前四幅图的黑点表示 了每个集合的起点。
二值图像的逻辑运算
7.3 二值形态学的膨胀和腐蚀
二值图像 腐蚀 膨胀
结构元素
＊形态学图像处理表现为一种邻域运算形式；
射 B 相同。图7-3(c)中的虚线表示作为参考的原
始集合，实线示出若 B 的原点平移至x点超过此界 限，则 B 与A的交集为空。


这样实线内的所有点构成了A被B的膨胀。图7-3(d)
表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到 一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图7-3(e)显示 为用此构成元素膨胀后得到的结果。
数字图像处理
第七章 数学形态学及应用
本章主要内容
形态学的发展 形态学的基础知识 腐蚀与膨胀 开操作与闭操作 形态学的主要应用
7.1 数学形态学的发展
形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动 物和植物的形状和结构。 “数学形态学（Mathematical Morphology）
图7-4表示了类似于图7-3的一个过程。象以前 一样，集合A在图7-4(c)用虚线表示作为参考。实 线表示若B的原点平移至x点超过此界限，则A不能 完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成了
A被B的腐蚀。
图7-4(d)画出了伸长的结构元素，图7-4(e)显示了 A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成
设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集
合 A 被结构元素 B 作闭运算，记为 A B ，其
定义为：
A B ( A B)B
(7-10)
换句话说，A 被 B 开运算就是 A 被 B 膨胀后的结果再被 B 腐蚀。
作用：使轮廓平滑，融联狭窄间断和长细的深沟，消除小孔洞，
填补轮廓线的断裂----“加”
（3）平移转换： 设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a (a1 , a2 ),
b (b1 , b2 )
定义 x ( x1 , x2 ) ，对集合A的平移转换为:
Ax
{c c a x, for a A}
(7-1)
（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A 为B的子集。 A B （5）补集：定义集合A的补集为:
图7-10(a)是一组用于细化的结构元素，图710(b)为用上述方法细化的集合A 。图7-10(c)示出 用 B 1 细化A得到的结果，图7-10(d)-(k)为用其它 结构元素细化的结果。当第二次通过 B 4 时收敛。 图7-10(k)示出细化的结果。
图 7-10 细化处理
图 7-10 细化处理