异面直线的夹角,线面角(含答案).doc

空间角

1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0, ]

2 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几

何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的

点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中

一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是

常用的方法之一。

例 1 在正方体ABCD A B C D 中，E是AB的中点，

//

（1）求 BA与 CC夹角的度数 .

//

（2）求 BA与 CB夹角的度数．

(3)求 A/ E 与 CB/夹角的余弦值．

例 2：长方体 ABCD— A1B1C1D1中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 a 的

平行线。

解法一：如图④，过B1点作 BE∥ BC1交 CB的延长线于 E 点。

则∠ DBE 就是异面直线DB 与 BC 所成角，连结 DE交 AB于 M， DE=2DM=3 5，

1 1 1

1 7 34

cos ∠DBE= 170

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过 B 点作 BE∥ DB1交 D1B1的延长线于E，则∠ C1BE就是异面直线DB1与 BC1所成的

角，连结 C1E，在△ B1C1E 中，

∠ C1B1E=135°， C1E=3 5

7 34 ， cos ∠C1BE=

170

课堂思考：

1. 如图， PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

D

j1

C 1 A1

D

C A B

B 1

C

D

A

B

2. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1， AB= 3，求 D B 和 AC所成角的余弦值.

例 3如图所示，长方体A1B1C1 D1- ABCD中，∠ ABA1=45°,∠ A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.

例3题图

课堂练习

如图空间四边形ABCD中，四条棱AB， BC，CD， DA及对角线AC， BD均相等， E 为 AD的中点， F 为 BC中，（1）求直线 AB 和 CE 所成的角的余弦值。

（2）求直线 AF 和 CE 所成的角的余弦值。

二、线面角

π

1、线面角的范围：θ∈[0，2]．

2、线面角的求法

1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角．在某一直角三角形内求解．

2）线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d，利用sinα＝d

可求. AB

直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在

平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例 1 （如图 1 ）四面体 ABCS中， SA,SB,SC 两两垂直，∠ SBA=45°,∠SBC=60°, M为AB的中点，

求（ 1） BC与平面 SAB所成的角。

（ 2） SC与平面 ABC所成的

角。解 : （ 1）∵ SC⊥

SB,SC⊥SA,

C

H

S

B

M

A 图 1

∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB上的射影，

∴∠ SBC是直线 BC与平面 SAB所成的角为 60°。

（2）连结 SM,CM，则 SM⊥ AB,

又∵ SC⊥ AB,∴ AB⊥平面 SCM,

∴面 ABC⊥面 SCM

过 S 作 SH⊥ CM于 H,则SH⊥平面ABC

∴CH即为 SC 在面 ABC内的射影。

∠ SCH 为 SC与平面 ABC所成的角。

sin∠ SCH=SH／SC

∴ SC与平面 ABC所成的角的正弦值为√7／ 7

（“垂线”是相对的，SC是面 SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线 .作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）

2.利用公式 sin θ =h／ι

其中θ是斜线与平面所成的角，

h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的

距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例 2 （ 如图 2）

长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB 1C 1 D 所成的

角。

解：设点 B 到 AB 1C 1D 的距离为 h,

∵ V B ﹣AB1C1=V A ﹣ BB1C1∴ 1／ 3 S △ AB1C1·h= 1／3 S △ BB1C1·AB ，易得 h=12／ 5

设 AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ , 则sin θ =h ／ AB=4／5

D

C

2

A

3

B

4

H

D 1

C 1

A 1

B 1

图 2

∴ AB 与面 AB 1C 1D 所成的角为 arcsin 4 ／5

例 3、如图甲，在平面四边形

ABCD 中∠ A ＝ 45°，∠

C ＝90°，∠ ADC ＝ 105°， AB ＝B

D ，再将四边形

ABCD

沿

BD 折

起，

使平面

ABD ⊥平面

BDC (如图乙 ) ，设点

E 、

F 分别为棱

AC 、 AD 的中点．

(1) 求证： DC ⊥平面 ABC ；

(2) 求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值．

证明：在图甲中，∵ AB ＝BD 且∠ A ＝ 45°， ∴∠ ADB ＝ 45° . ∴∠ ABD ＝ 90°，即 AB ⊥

BD .

在图乙中，∵平面

ABD ⊥平面 BDC ，且平面 ABD ∩平面 BDC ＝ BD ，

∴ AB ⊥平面 BDC .∴ AB ⊥ CD .

又∠ DCB ＝ 90°，∴ DC ⊥ BC ，且 AB ∩ BC ＝ B .

∴ DC ⊥平面 ABC .

2) ∵ E 、 F 分别为 AC 、 AD 的中点，∴ EF ∥ CD .

又由 (1) 知 DC ⊥平面 ABC ，

∴ EF ⊥平面 ABC ，垂足为点 E .

∴∠ FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角．

在图甲中，∵∠ ADC ＝105°，∴∠ BDC ＝60°，∠ DBC ＝30°.

2 1 1

设 CD ＝ a ，则 BD ＝ 2a ， BC ＝ 3a ， BF ＝ 2 BD ＝ 2a ， EF ＝2CD ＝ 2a .

1

EF

2

a

2